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1、 第二十一章 一元二次方程 211 一元二次方程 1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题 2掌握一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a0)及有关概念 3会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项 一、自学指导(10 分钟)问题 1：如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒 如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600
2、cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为_(1002x)cm_，宽为_(502x)cm_列方程_(1002x)(502x)3600_，化简整理，得_x275x3500_ 问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为_4728_ 设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他_(x1)_个队各赛 1 场，所以全部比赛共x（x1）2_场列方程_x（x1）228_，化简整理，得_x2x560_ 探究：(1)方程中未知数的个
3、数各是多少？_1 个_(2)它们最高次数分别是几次？_2 次_ 归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是_整式_，只含有_一个_未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_的方程 1一元二次方程的定义 等号两边都是_整式_，只含有_一_个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_(二次)的方程，叫做一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2bxc0(a0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中_ax2_是二次项，_a_是二次项系数，_bx_是一次项，_b_是一次项系数，_c_是常数项 点拨精讲：二次项系数、一次项系数
4、、常数项都要包含它前面的符号二次项系数 a0是一个重要条件，不能漏掉 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟)1判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x32x250；(2)x21；(3)5x22x14x22x35；(4)2(x1)23(x1)；(5)x22xx21;(6)ax2bxc0.解：(2)(3)(4)点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程 2 将方程 3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项 解：去括号，得 3x23x5x10.移项，合并同类项
5、，得 3x28x100.其中二次项系数是 3，一次项系数是8，常数项是10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分钟)1求证：关于 x 的方程(m28m17)x22mx10，无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 证明：m28m17(m4)21，(m4)20，(m4)210，即(m4)210.无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程 点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m28m170即可 2下面哪些数是方程 2x210 x120 的根？4，3，2，1，
6、0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有2 和3 满足等式，所以 x2 或 x3 是一元二次方程 2x210 x120 的两根 点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(9 分钟)1判断下列方程是否为一元二次方程(1)1x20;(2)2(x21)3y；(3)2x23x10;(4)1x22x0；(5)(x3)2(x3)2;(6)9x254x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是 2若 x2 是方程 ax24x50 的一个根，求 a 的值 解：x2
7、 是方程 ax24x50 的一个根，4a850，解得 a34.3根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x；(2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x.解：(1)4x225，4x2250；(2)x(x2)100，x22x1000.学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)1一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程 2一元二次方程的一般形式 ax2bxc0(a0)，特别强调 a0.3要会判断一个数是否是一元二次方程的根 学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)212
8、解一元二次方程 212.1 配方法(1)1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程 2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能 重点：运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程；领会降次转化的数学思想 难点：通过根据平方根的意义解形如 x2n(n0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(xm)2n(n0)的方程 一、自学指导(10 分钟)问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为_6x2_dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：_106x2150
9、0_，由此可得_x225_，根据平方根的意义，得 x_5_，即 x1_5_，x2_5_ 可以验证_5_和5 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_5_dm.探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x1)25 及方程 x26x94?方程(2x1)25 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为_2x1 5_，即将方程变为_2x1 5和_2x1 5_两个一元一次方程，从而得到方程(2x1)25 的两个解为 x1_1 52，x2_1 52_ 在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解
10、决了 方程 x26x94 的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x_3_)24，进行降次，得到 _x32_，方程的根为 x1 _1_，x2_5_.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程 如果方程能化成 x2p(p0)或(mxn)2p(p0)的形式，那么可得 x p或 mxn p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(6 分钟)解下列方程：(1)2y28；(2)2(x8)250；(3)(2x1)240;(4)4x24x10.解：(1)2y28，(2)2(x8)250，y24，(x8)225，y2，x85，y12，y22；x85 或 x85，x113，
11、x23；(3)(2x1)240，(4)4x24x10，(2x1)2450)，每月销售这种篮球获利 y 元(1)求 y 与 x 之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利 8000 元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y10 x21400 x40000(50 x0 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点a 越大，抛物线的开口越小；当 a0 时，开口向上；a0，即 m2，只能取 m2.这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，m20，即 m0 时，y 随 x 的增大而减小 二、
12、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5 分钟)1二次函数 yax2与 yax2的图象之间有何关系？2已知函数 yax2经过点(1，3)(1)求 a 的值；(2)当 xx20，则 y1与 y2的关系是_y1y2_ 4二次函数 yax2与一次函数 yax(a0)在同一坐标系中的图象大致是(B)点拨精讲：1.二次函数 yax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取 57个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2抛物线 yax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小
13、，|a|相等，则其形状相同 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)221.3 二次函数 ya(xh)2k 的图象和性质(1)1会作函数 yax2和 yax2k 的图象，能比较它们的异同；理解 a，k 对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 2了解抛物线 yax2上下平移规律 重点：会作函数的图象 难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 一、自学指导(10 分钟)自学：自学课本 P3233“例 2”及两个思考，理解 yax2k 中 a，k 对二次函数图象的影响，完成填空 总结归纳：二次函数 yax2的
14、图象是一条抛物线，其对称轴是 y 轴，顶点是(0，0)，开口方向由 a 的符号决定：当 a0 时，开口向上；当 a0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大抛物线有最_低_点，函数 y 有最_小_值当 a0 时，向_上_平移；当 k0 时，向_下_平移 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟)1在抛物线 yx22 上的一个点是(C )A(4，4)B(1，4)C(2，2)D(0，4)2抛物线 yx216 与 x 轴交于 B，C 两点，顶点为 A，则ABC 的面积为_64_ 点拨精讲：与 x 轴的交点的横坐标即当 y 等于
15、0 时 x 的值，即可求出两个交点的坐标 3画出二次函数 yx21，yx2，yx21 的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(5 分钟)探究 1 抛物线 yax2与 yax2c 有什么关系？解：(1)抛物线 yax2c 的形状与 yax2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线 yax2向上平移 c 个单位得到抛物线 yax2c；抛物线 yax2向下平移 c 个单位得到抛物线 yax2c.探究 2 已知抛物线 yax2c 向下平移 2 个单位后，所得抛物线为 y2x24，试求
16、a，c 的值 解：根据题意，得a2，c24，解得a2，c6.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(13 分钟)1函数 yax2a 与 yaxa(a0)在同一坐标系中的图象可能是(D)2二次函数的图象如图所示，则它的解析式为(B)Ayx24 By34x23 Cy32(2x)2 Dy32(x22)3二次函数 yx24 图象的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，4)，当 x0 时，在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大，抛物线有最低点，函数 y 有最小值；当 a0)；抛物线 yax2向右平移 h 个单位，即为抛物线 ya(xh)
17、2(h0)二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟)1教材 P35 练习题；2抛物线 y12(x1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是 x1，通过向左平移 1 个单位后，得到抛物线 y12x2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分钟)探究 1 在直角坐标系中画出函数 y12(x3)2的图象(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数 y12x2的图象得到函数 y1
18、2(x3)2的图象？解：(1)对称轴是直线 x3，顶点坐标(3，0)；(2)当 x3 时，y 随 x 的的增大而增大；当 x3 时，y 有最小值；(3)将函数 y12x2的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位得到函数 y12(x3)2的图象 点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点 探究 2 已知直线 yx1 与 x 轴交于点 A，抛物线 y2x2平移后的顶点与点 A 重合(1)求平移后的抛物线 l 的解析式；(2)若点 B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线 l 上，且12x1x2，试比较 y1，y2的大小 解：(1)yx1，令 y0，则 x1，A(1，0
19、)，即抛物线 l 的顶点坐标为(1，0)，又抛物线 l 是由抛物线 y2x2平移得到的，抛物线 l 的解析式为 y2(x1)2.(2)由(1)可知，抛物线 l 的对称轴为 x1，a21 时，y 随 x 的增大而减小，又12x1y2.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10 分钟)1不画图象，回答下列问题：(1)函数 y3(x1)2的图象可以看成是由函数 y3x2的图象作怎样的平移得到的？(2)说出函数 y3(x1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标(3)函数有哪些性质？(4)若将函数 y3(x1)2的图象向左平移 3 个单位得到哪个函数图象？点拨精讲：性质从增
20、减性、最值来说 2与抛物线 y2(x5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是 y2(x5)2 3对于函数 y3(x1)2，当 x1 时，函数 y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，函数取得最大值，最大值 y0 4二次函数 yax2bxc 的图象向左平移 2 个单位长度得到 yx22x1 的图象，则 b6，c9 点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)221.3 二次函数 ya(xh)2k 的图象和性质(3)1进一步熟悉作函数图象的主
21、要步骤，会作函数 ya(xh)2k 的图象 2能正确说出 ya(xh)2k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 3掌握抛物线 ya(xh)2k 的平移规律 重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数 ya(xh)2k 的图象 难点：能正确说出 ya(xh)2k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线ya(xh)2k 的平移规律 一、自学指导(10 分钟)自学：自学课本 P3536“例 3、例 4”，掌握 ya(xh)2k 与 yax2之间的关系，理解并掌握 ya(xh)2k 的相关性质，完成填空 总结归纳：一般地，抛物线 ya(xh)2k 与 yax2的形状相同，位置不同，把抛物线 ya
22、x2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线 ya(xh)2k，平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定：当 h0 时，表明将抛物线向右平移 h 个单位；当 k0 时，开口向上；当 a3 时，函数值 y 随自变量 x 的值的增大而减小 一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13 分钟)探究 1 填写下表：解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y2x2 向下 y 轴(0，0)y12x21 向上 y 轴(0，1)y5(x2)2 向下 x2(2，0)y3(x1)24 向上 x1(1，4)点拨精讲：解这类型题要将不同形式的解析式统一为 ya(xh)2k 的形式，便于解答
23、 探究 2 已知 ya(xh)2k 是由抛物线 y12x2向上平移 2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度得到的抛物线(1)求出 a，h，k 的值；(2)在同一坐标系中，画出 ya(xh)2k 与 y12x2的图象；(3)观察 ya(xh)2k 的图象，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大；当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察 ya(xh)2k 的图象，你能说出对于一切 x 的值，函数 y 的取值范围吗？解：(1)抛物线 y12x2向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到的抛物线是 y12(x1)22，a12，h1，k2；(2)函数
24、y12(x1)22 与 y12x2的图象如图；(3)观察 y12(x1)22 的图象可知，当 x1 时，y 随x 的增大而减小；(4)由 y12(x1)22 的图象可知，对于一切 x 的值，y2.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5 分钟)1将抛物线 y2x2向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线解析式是 y2(x3)22 点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动 2若直线 y2xm 经过第一、三、四象限，则抛物线 y(xm)21 的顶点必在第二象限 点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别 3把 y2x21
25、的图象向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的新抛物线的解析式是 y2(x1)23 4已知 A(1，y1)，B(2，y2)，C(2，y3)在函数 ya(x1)2k(a0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y2y30 时，开口向上，此时二次函数有最小值，当 xh 时，y 随 x 的增大而增大，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；当 a0 时，开口向下，此时二次函数有最大值，当 xh 时，y 随 x 的增大而减小；用配方法将 yax2bxc 化成 ya(xh)2k 的形式，则 hb2a，k4acb24a；则二次函数的图象的顶点坐标是(b2a，4acb24a)，对称轴是 xb
26、2a；当 xb2a时，二次函数 yax2bxc 有最大(最小)值，当 a0 时，函数 y 有最小值 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(5 分钟)1求二次函数 yx22x1 顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象 点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13 分钟)探究 1 将下列二次函数写成顶点式 ya(xh)2k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴(1)y14x23x21；(2)y3x218x22.
27、解：(1)y14x23x21 14(x212x)21 14(x212x3636)21 14(x6)212 此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是 x6.(2)y3x218x22 3(x26x)22 3(x26x99)22 3(x3)25 此抛物线的开口向下，顶点坐标为(3，5)，对称轴是 x3.点拨精讲：第(2)小题注意 h 值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解 探究 2 用总长为 60 m 的篱笆围成的矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化，l 是多少时，场地的面积 S 最大？(1)S 与 l 有何函
28、数关系？(2)举一例说明 S 随 l 的变化而变化？(3)怎样求 S 的最大值呢？解：Sl(30l)l230l(0l30)(l230l)(l15)2225 画出此函数的图象，如图 l15 时，场地的面积 S 最大(S 的最大值为 225)点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5 分钟)1y2x28x7 的开口方向是向下，对称轴是 x2，顶点坐标是(2，1)；当 x2时，函数 y 有最大值，其值为 y1 2已知二次函数 yax22xc(a0)有最大值，且
29、 ac4，则二次函数的顶点在第四象限 3抛物线 yax2bxc，与 y 轴交点的坐标是(0，c)，当 b24ac0 时，抛物线与 x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(b2a，0)；当 b24ac0 时，抛物线与 x轴有两个交点，交点坐标是(b b24ac2a，0)；当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点，若抛物线与 x 轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则 yax2bxca(xx1)(xx2)点拨精讲：与 y 轴的交点坐标即当 x0 时求 y 的值；与 x 轴交点即当 y0 时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所
30、以二次函数与 x 轴的交点情况也分三种 注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标时，可先用交点式：ya(xx1)(xx2)，x1，x2为两交点的横坐标 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)221.4 二次函数 yax2bxc 的图象和性质(2)能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式 重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式 一、自学指导(10 分钟)自学：自学课本 P3940，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空 总结归纳：若知道函数图象上的任意三
31、点，则可设函数关系式为 yax2bxc，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为 ya(xh)2k，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与 x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)，可设函数的关系式为 ya(xx1)(xx2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟)1二次函数 y4x2mx2，当 x2 时，y 随 x的增大而增大，则当 x1 时，y 的值为 22 点拨精讲：可根据顶点公式用含 m 的代数式表示对称轴，从而求出 m 的值 2抛物线 yx26x2 的顶点坐标是(3，11)3二
32、次函数 yax2bxc 的图象大致如图所示，下列判断错误的是(D)Aa0 Cc0 Dac0 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4如图，抛物线 yax2bxc(a0)的对称轴是直线 x1，且经过点 P(3，0)，则 abc 的值为(A)A0 B1 C1 D2 点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与 x 轴的另一交点坐标为(1，0)，将此点代入解析式，即可求出 abc 的值 5如图是二次函数 yax23xa21 的图象，a 的值是1 点拨精讲：可根据图象经过原点求出 a 的值，再考虑开口方向 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13 分钟)探究 1
33、已知二次函数的图象经过点 A(3，0)，B(2，3)，C(0，3)，求函数的关系式和对称轴 解：设函数解析式为 yax2bxc，因为二次函数的图象经过点 A(3，0)，B(2，3)，C(0，3)，则有9a3bc0，4a2bc3，c3.解得a1，b2，c3.函数的解析式为 yx22x3，其对称轴为 x1.探究 2 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A(3，0)，B(1，0)，且经过点 C(2，9)试求该抛物线的解析式及顶点坐标 解：设解析式为 ya(x3)(x1)，则有 a(23)(21)9，a3，此函数的解析式为 y3x26x9，其顶点坐标为(1，12)点拨精讲：因为已知点为抛物线与 x 轴的交
34、点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单 而顶点可根据顶点公式求出 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(5 分钟)1已知一个二次函数的图象的顶点是(2，4)，且过点(0，4)，求这个二次函数的解析式及与 x 轴 交点的坐标 2若二次函数 yax2bxc 的图象过点(1，0)，且关于直线 x12对称，那么它的图象还必定经过原点 3如图，已知二次函数 y12x2bxc 的图象经过 A(2，0)，B(0，6)两点(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA，BC，求ABC
35、的面积 点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式 yax2bxc；2.顶点式 ya(xh)2k；3.交点式 ya(xx1)(xx2)利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分(10 分钟)222 二次函数与一元二次方程(1)1理解二次函数与一元二次方程的关系 2会判断抛物线与 x 轴的交点个数 3掌握方程与函数间的转化 重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与 x 轴的交点个数 难点：掌握方程与函数间的转化 一、自学指导(10 分钟)自学：自学课
36、本 P4345.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空 总结归纳：抛物线 yax2bxc 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 xx0时，函数的值是 0，因此 xx0就是方程 ax2bxc0 的一个根 二次函数的图象与 x 轴的位置关系有三种：当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有两个交点；当 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，即(4k1)242(2k21)0，解得 k98.点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之
37、间的对应关系 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(12 分钟)1抛物线 yax2bxc 与 x 轴的公共点是(2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是 x1 点拨精讲：根据对称性来求 2画出函数 yx22x3 的图象，利用图象回答：(1)方程 x22x30 的解是什么？(2)x 取什么值时，函数值大于 0?(3)x 取什么值时，函数值小于 0?点拨精讲：x22x30 的解，即求二次函数 yx22x3 中函数值 y0 时自变量 x的值 3用函数的图象求下列方程的解(1)x23x10；(2)x26x90；(3)x2x20;(4)2xx20.点拨精讲：(3 分钟)：本节
38、课所学知识：1.二次函数 yax2bxc(a0)与一元二次方程之间的关系，当 y 为某一确定值 m 时，相应的自变量 x 的值就是方程 ax2bxcm 的根 2若抛物线 yax2bxc 与 x 轴交点为(x0，0)，则 x0是方程 ax2bxc0 的根 3有下列对应关系：二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的位置关系 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的情况 b24ac 的值 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b24ac0 只有一个公共点 有两个相等的实数根 b24ac0 无公共点 无实数根 b24ac0 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)学习至此，请使用本课时对应训练
39、部分(10 分钟)222 二次函数与一元二次方程(2)1会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解 2熟练掌握函数与方程的综合应用 3能利用函数知识解决一些简单的实际问题 重点：根据函数图象观察方程的解和不等式的解集 难点：观察抛物线与直线相交后的函数值、自变量的变化情况 一、自学指导(10 分钟)自学：自学课本 P46.理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与 x 轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空 总结归纳：抛物线 yax2bxc 与 x 轴的交点坐标实质上是抛物线与直线 y0 组成的方程组的解；抛物线 yax2bxc 与 y 轴的交点坐标实
40、质上是x0，yax2bxc的解；抛物线 yax2bxc 与直线的交点坐标实质上是ykxb，yax2bxc的解 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟)1若二次函数 y(k3)x22x1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围为(D)Ak4 Bk4 Ck4 且 k3 Dk4 且 k3 2已知二次函数 yx22ax(bc)2，其中 a，b，c 是ABC 的边长，则此二次函数图象与 x 轴的交点情况是(A)A无交点 B有一个交点 C有两个交点 D交点个数无法确定 3若二次函数 yx2mxm3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，则 A，B 两点的距离的最小值是(C)A2
41、 3 B0 C2 2 D无法确定 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13 分钟)探究 1 将抛物线 yx22x4 向右平移 2 个单位，又向上平移 3 个单位，最后绕顶点旋转 180.(1)求变换后新抛物线对应的函数解析式；(2)若这个新抛物线的顶点坐标恰为x 的整式方程 x2(4mn)x3m22n0 的两根，求 m，n 的值 解：(1)yx22x4(x1)25，由题意可得平移旋转后的抛物线解析式为 y(x1)22x22x3；(2)该抛物线顶点坐标为(1，2)，设方程两根分别为 x1，x2，则有 x1x24mn1，x1x23m22n2，即4mn1，3m22n
42、2，解得m123，n153或m22，n27.点拨精讲：熟练运用二次函数平移规律解决问题，二次函数与一元二次方程的转化，以及运用一元二次方程根与系数的关系也是解决问题的常用之法 探究 2 如图是抛物线 yax2bxc 的一部分，其对称轴为直线 x1，若其与 x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式 ax2bxc0 的解集是 x3 或 x1 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(8 分钟)1若二次函数 yax2xc 的图象在 x 轴的下方，则 a，c 满足关系为(A)Aa0 且 4ac1 Ba0 且 4ac1 Ca0 且 4ac1 Da0 且 4ac1 2若二次
43、函数 yx22xk 的部分图象如图，关于 x 的一元二次方程x22xk0 的一个解 x13，则另一个解 x21 点拨精讲：可根据抛物线的对称性求解 3二次函数 yx28x15 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，点 C 在该函数的图象上运动，若 SABC2，求点 C 的坐标 学生总结本堂课的收获与困惑(2 分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分(10 分钟)223 实际问题与二次函数(1)1经历探索实际问题中两个变量的变化过程，使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路 2初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题 重难点：用抛物线知识解决实际问题 一、自学指导(10 分钟)自学：自学课本 P4
44、950，自学“探究 1”，能根据几何图形及相互关系建立二次函数关系式，体会二次函数这一模型的意义 总结归纳：图象是抛物线的，可设其解析式为 yax2bxc 或 ya(xh)2k，再寻找条件，利用二次函数的知识解决问题；实际问题中没有坐标系，应建立适当的坐标系，再根据图象和二次函数的知识解决实际问题 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟)1用长 16 m 的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是323_m2 2如图，点 C 是线段 AB 上的一个动点，AB1，分别以 AC 和 CB 为一边作正方形，用 S 表示这两个正方形的面积之和，
45、下列判断正确的是(A)A当 C 是 AB 的中点时，S 最小 B当 C 是 AB 的中点时，S 最大 C当 C 为 AB 的三等分点时，S 最小 D当 C 是 AB 的三等分点时，S 最大 第 2 题图 第 3 题图 3如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为 120，两腰与下底的和为 4 cm，当水渠深 x 为2 33时，横断面面积最大，最大面积是4 33 点拨精讲：先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(13 分钟)探究 1 某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度
46、之和)，当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m)解：由题意可知 4y122x6x15，化简得 y156xx4，设窗户的面积为 S m2，则 S12x22x156xx43x2152x，a30，当 xh 时，函数 y 有最小值，其值为 yk；若 a0，当 xh 时，函数 y 有最大值，其值为 yk 点拨精讲：遇到一般式，可先化成顶点式，再求最值；自变量有取值范围的还要考虑在范围内的最值 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视(7 分钟)1已知二次函数 yx24xm 的最小值是 2，那么 m 的值是 6 2边长为 10 cm 的正方
47、形铁片，中间剪去一个边长是 x cm 的小正方形，剩下的四方框铁片的面积 y(cm2)与 x(cm)之间的函数关系是 yx2100(0 x10)3服装店将进价为 100 元的服装按 x 元出售，每天可销售(200 x)件，若想获得最大利润，则 x 应定为 150 元 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果(8 分钟)探究 某经销店代销一种材料，当每吨售价为 260 元时，月销售量为 45 吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价每下降 10元时，月销售量就会增加 7.5 吨，每售出 1 吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 1
48、00 元，设每吨材料售价为 x(元)，该经销店的月利润为 y(元)(1)当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；(2)求出 y 与 x 的函数关系式；(不要求写出 x 的取值范围)(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)王强说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由 解：(1)45260240107.560(吨)；(2)y(x100)(45260 x107.5)，化简，得 y34x2315x24000；(3)y34x2315x2400034(x210)29075 此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元(4)我认为，王强说得不对
49、理由：当月利润最大时，x 为 210 元，而月销售额 Wx(45260 x107.5)34(x160)219200，当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大，当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大 王强说得不对 点拨精讲：要分清每一吨的利润、销售量与售价的关系；分清最大利润与最大销售额之间的区别 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路(10 分钟)1若抛物线 yx2bxc 的最高点为(1，3)，则 b_，c_ 2某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件(每件售
50、价不能高于 65 元)设每件商品的售价上涨 x 元(x 为正整数)，每个月的销售利润为 y 元(1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是 2200 元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？3某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高 2 元，则减少 10 张床位的租出，若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出；以每次提高 2 元的这种方法变