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1、2005 年考研数学一真题解析 一、填空题（本题共 6小题，每小题 4分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）（1）曲线122xxy 的斜渐近线方程为 .4121xy【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为 a=212lim)(lim22xxxxxfxx，41)12(2lim)(limxxaxxfbxx，于是所求斜渐近线方程为.4121xy（2）微分方程xxyyxln2满足91)1(y的解为.91ln31xxxy.【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(xQyxPy的通解公式：)()()(CdxexQeydxxPdxxP，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】
2、原方程等价为 xyxyln2，于是通解为 ln1ln2222CxdxxxCdxexeydxxdxx=2191ln31xCxxx，由91)1(y得 C=0，故所求解为.91ln31xxxy（3）设函数181261),(222zyxzyxu，单位向量1,1,131n，则)3,2,1(nu=33.【分析】函数 u(x,y,z)沿单位向量cos,cos,cosn 的方向导数为：coscoscoszuyuxunu 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为 3xxu，6yyu，9zzu，于是所求方向导数为 )3,2,1(nu=.33313131313131（4）设是由锥面22yxz与半球面222yxRz
3、围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则zdxdyydzdxxdydz3)221(2R.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】zdxdyydzdxxdydzdxdydz3 =.)221(2sin33200402RdddR（5）设321,均为 3维列向量，记矩阵 ),(321A，)93,42,(321321321B，如果1A，那么B 2 .【分析】将 B写成用 A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有 =941321111),(321，于是有 .221941321111 AB（6）从数 1
4、,2,3,4中任取一个数，记为 X,再从X,2,1中任取一个数，记为 Y,则 2YP=4813 .【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】2YP=121XYPXP+222XYPXP +323XYPXP+424XYPXP =.4813)4131210(41 二、选择题（本题共 8小题，每小题 4分，满分 32 分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数nnnxxf31lim)(，则 f(x)在),(内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可
5、导点.(D)至少有三个不可导点.C 【分析】先求出 f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当1x时，11lim)(3nnnxxf；当1x时，111lim)(nnxf；当1x时，.)11(lim)(3133xxxxfnnn 即.1,11,1,1,)(33xxxxxxf 可见 f(x)仅在 x=1时不可导，故应选(C).（8）设 F(x)是连续函数 f(x)的一个原函数，NM 表示“M 的充分必要条件是 N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.A 【分析
6、】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为xCdttfxF0)()(，且).()(xfxF 当 F(x)为偶函数时，有)()(xFxF，于是)()1()(xFxF，即)()(xfxf，也即)()(xfxf，可见 f(x)为奇函数；反过来，若 f(x)为奇函数，则xdttf0)(为偶函数，从而xCdttfxF0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令 f(x)=1,则取 F(x)=x+1,排除(B)、(C);令 f(x)=x,则取 F(x)=221x,排除(D);故应选(A).（9）设函数yxyxdttyxyxyxu)()()(),
7、(,其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有 (A)2222yuxu.（B）2222yuxu.(C)222yuyxu.(D)222xuyxu.B 【分析】先分别求出22xu、22yu、yxu2，再比较答案即可.【详解】因为)()()()(yxyxyxyxxu，)()()()(yxyxyxyxyu，于是 )()()()(22yxyxyxyxxu ，)()()()(2yxyxyxyxyxu ，)()()()(22yxyxyxyxyu ，可见有2222yuxu，应选(B).（10）设有三元方程1lnxzeyzxy，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一
8、个具有连续偏导数的隐函数 z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y=y(x,z)和 z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z).D 【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令 F(x,y,z)=1lnxzeyzxy,分别求出三个偏导数yxzFFF,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为 0，则可确定相应的隐函数.【详解】令 F(x,y,z)=1lnxzeyzxy,则 zeyFxzx，yzxFy，xeyFxzzln，且 2)1,1,0(xF，1)1
9、,1,0(yF，0)1,1,0(zF.由此可确定相应的隐函数 x=x(y,z)和 y=y(x,z).故应选(D).（11）设21,是矩阵 A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是(A)01.(B)02.(C)01.(D)02.B 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令 0)(21211Akk，则 022211211kkk，0)(2221121kkk.由于21,线性无关，于是有 当02时，显然有0,021kk，此时1，)(21A线性无关；反过来，若1，)(21A线性无关，则必然有02(,否则，1与)(
10、21A=11线性相关)，故应选(B).方法二：由于 21212211121101,)(,A，可见1，)(21A线性无关的充要条件是.001221故应选(B).（12）设 A为 n（2n）阶可逆矩阵，交换 A的第 1行与第 2行得矩阵 B,*,BA分别为 A,B的伴随矩阵，则(A)交换*A的第 1列与第 2列得*B.(B)交换*A的第 1行与第 2行得*B.(C)交换*A的第 1列与第 2列得*B.(D)交换*A的第 1行与第 2行得*B.C 【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E（交换
11、n阶单位矩阵的第 1行与第 2行所得），使得 BAE12，于是 12*11212*12*12*)(EAEEAEAAEB，即 *12*BEA,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件0X与1YX相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3 (B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2 (D)a=0.1,b=0.4 B 【分析】首先所有概率求和为 1，可得 a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定 a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5 又事件0X与1YX相互独立，于是有 10
12、1,0YXPXPYXXP，即 a=)(4.0(baa,由此可解得 a=0.4,b=0.1,故应选(B).（14）设)2(,21nXXXn为来自总体 N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，2S为样本方差，则(A)1,0(NXn (B).(22nnS(C)1()1(ntSXn (D).1,1()1(2221nFXXnnii D 【分析】利用正态总体抽样分布的性质和2分布、t 分布及 F 分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(10NXnnX，可排除(A);又)1(0ntSXnnSX，可排除(C);而)1()1(1)1(2222nSnSn，不能断定(B)是正确选项.
13、因 为 niinXX222221)1(),1(，且niinXX222221)1()1(与相 互 独 立，于 是).1,1()1(1122212221nFXXnnXXniinii 故应选(D).三、解答题（本题共 9小题，满分 94 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分 11 分）设0,0,2),(22yxyxyxD，1 22yx 表示不超过221yx 的最大整数.计算二重积分Ddxdyyxxy.1 22 【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令 0,0,10),(221yxyxyxD，0,0,21),(222yxyxyxD.则 D
14、dxdyyxxy1 22=122DDxydxdyxydxdy =.874381（16）（本题满分 12 分）求幂级数121)12(11()1(nnnxnn的收敛区间与和函数 f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(limnnnnnnnnn，所以当21x 时，原级数绝对收敛，当21x 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为（1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)nnnSxxxnn，则 1211(1)(),(1,1)21nnnS xxxn，由于 (0)0,(0SS 所以
15、 2001()()arctan,1xxS xS t dtdtxt 又 21221(1),(1,1),1nnnxxxx 从而 22()2()1xfxSxx（17）（本题满分 11 分）如图，曲线 C的方程为 y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l与2l分别是曲线 C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 302.)()(dxxfxx【分析】题设图形相当于已知 f(x)在 x=0的函数值与导数值，在 x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,2)0(f;f(3)=2,.0)3(,2)3(ff 由
16、分部积分，知 =dxxfxfxxf dx303030)(2)()12()()12(=.20)0()3(216ff（18）（本题满分 12 分）已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在),1,0(使得1)(f；（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得.1)()(ff【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（I）令xxfxF1)()(，则 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=-10,于是由介值定理知，存在),1,0(使得0)(F，即1)(
17、f.（II）在,0和 1,上对 f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),0(，使得0)0()()(fff，1)()1()(fff 于是 .1111)(1)()()(ffff（19）（本题满分 12 分）设函数)(y具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L上，曲线积分Lyxxydydxy4222)(的值恒为同一常数.（I）证明：对右半平面 x0内的任意分段光滑简单闭曲线 C，有022)(42Cyxxydydxy；（II）求函数)(y的表达式.【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线 C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将 C进行
18、分解讨论；而（II）中求)(y的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】（I）l2 C o X l3 如图，将 C分解为：21llC，另作一条曲线3l围绕原点且与 C相接，则 Cyxxyd ydxy4222)(314222)(llyxxyd ydxy022)(3242llyxxyd ydxy.（II）设2424()2,22yxyPQxyxy，,P Q在单连通区域0 x 内具有一阶连续偏导数，由（）知，曲线积分24()22Ly dxxydyxy在该区域内与路径无关，故当0 x 时，总有QPxy.24252422422(2)4242,(2)(2)Qyxyxxyx yyxxyxy 2432432
19、42242()(2)4()2()()4().(2)(2)Pyxyy yxyy yy yyxyxy 比较、两式的右端，得 435()2,()4()2.yyy yy yy 由得2()yyc，将()y代入得 535242,ycyy Y 所以0c，从而2().yy （20）（本题满分 9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),(xxaxxaxaxxxf的秩为 2.（I）求 a的值；（II）求正交变换Qyx，把),(321xxxf化成标准形；（III）求方程),(321xxxf=0 的解.【分析】（I）根据二次型的秩为 2，可知对应矩阵的行列式为 0，从而可求 a 的值；（II）是
20、常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（III）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（I）二次型对应矩阵为 200011011aaaaA，由二次型的秩为 2，知 0200011011aaaaA，得 a=0.（II）这里200011011A，可求出其特征值为0,2321.解 0)2(xAE，得特征向量为：100,01121，解 0)0(xAE，得特征向量为：.0113 由于21,已经正交，直接将21,，3单位化，得：令321Q，即为所求的正交变换矩阵，由 x=Qy，可化原二次型为标准形：),(321xxxf=.222221yy （III）由),(321
21、xxxf=222122yy0，得kyyy321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=0003321cckk，其中 c 为任意常数.（21）（本题满分 9分）已知 3阶矩阵 A的第一行是cbacba,),(不全为零，矩阵kB63642321（k为常数），且 AB=O,求线性方程组 Ax=0的通解.【分析】AB=O,相当于告之 B的每一列均为 Ax=0的解，关键问题是 Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵 A的秩.【详解】由 AB=O知，B的每一列均为 Ax=0的解，且.3)()(BrAr（1）若 k9,则 r(B)=2,于是 r(A)1,显然 r(A)
22、1,故 r(A)=1.可见此时 Ax=0的基础解系所含解向量的个数为 3-r(A)=2,矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为：2121,63321kkkkkx为任意常数.(2)若 k=9，则 r(B)=1,从而.2)(1Ar 1）若 r(A)=2,则 Ax=0的通解为：11,321kkx为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的 同 解 方 程 组 为：0321cxbxax,不 妨 设0a,则 其 通 解 为 2121,1001kkackabkx为任意常数.（22）（本题满分 9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：（I）(X,Y)的边缘概率密
23、度)(),(yfxfYX；（II）YXZ 2的概率密度).(zfZ【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I）关于 X的边缘概率密度)(xfX=dyyxf),(=.,10,0,20其他xdyx =.,10,0,2其他xx 关于 Y的边缘概率密度)(yfY=dxyxf),(=.,20,0,12其他ydxy =.,20,0,21其他yy （II）令2)(zYXPzZPzFZ，1）当0z时，02)(zYXPzFZ；2）当20 z时，2)(zYXPzFZ =241zz;3)当2z时，.12)(z
24、YXPzFZ 即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)(2zzzzzzFZ 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他zzzfZ（23）（本题满分 9分）设)2(,21nXXXn为来自总体 N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记.,2,1,niXXYii 求：（I）iY的方差niDYi,2,1,；（II）1Y与nY的协方差).,(1nYYCov【分析】先将iY表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y与nY的协方差),(1nYYCov，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知)2(,21nXXXn相互独立，且),2,1(1,0niDXEXii，.0XE（I）nijjiiiXnXnDXXDDY1)11()(=nijjiDXnDXn221)11(=.1)1(1)1(222nnnnnn（II）)(),(111nnnEYYEYYEYYCov =)()(11XXXXEYYEnn =)(211XXXXXXXEnn =211)(2)(XEXXEXXEn =22121)(20XEXDXXXEnnjj =.112nnn