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1、qwx3.1.3导数的几何数的几何意意义一、回顾一、回顾平均变化率平均变化率函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:几何意义：割线的斜率几何意义：割线的斜率O OA AB Bx xy yY=f(xY=f(x)x x1 1x x2 2f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)x x2 2-x-x1 1=x=xf(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=y)=y函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的处的瞬时变化率是瞬时变化率是:我们称它为函数我们称它为
2、函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的处的导数导数记作记作f f(x(x0 0)或或y y|x=x|x=x0 0即即由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)y=f(x)在点在点x x0 0处的导处的导数的基本过程是数的基本过程是:P P（x x0 0，y y0 0）Q Q（x x0 0+x x，y0+y y）o ox xy yy=f(x)y=f(x)割割线线切线切线T T二、导数的几何意义二、导数的几何意义:当点当点Q Q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P P即即x0 x0时时,割线割线PQPQ如果有一如果有一个个极限位置极限位置PTPT.则我们把直线则我
3、们把直线PTPT称为曲线在称为曲线在点点P P处的切线处的切线.当当x0 x0时时,割割线线PQPQ的的斜斜率率的的极极限限,就就是是曲曲线线在在点点P P处处的的切线的斜率切线的斜率.提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;函数在函数在x=xx=x0 0处的导数处的导数就是该点切线斜率就是该点切线斜率.这就是导数的几何意义这就是导数的几何意义x x0 0处的导数等于P点处的切线斜率例例1:1:求曲线求曲线y=f(x)=xy=f(x)=x2 2+1+1在点在点P(1,2)P(1,2)处的切线方程处的切线方程.因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1
4、),y-2=2(x-1),即即y=2x.y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:明确明确P P点的坐标点的坐标（x x0 0，y y0 0）;利用导数求出该点切线的斜率利用导数求出该点切线的斜率 ;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)(1)点点P P处的切线的斜率处的切线的斜率;(2)(2)点点P P处的切线方程处的切线方程.y yx x-2-2-1-11 12 2-2-2-1-11 12 23 34 4O OP P即即点点P P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4.4.(2)(2)在点在点P P
5、处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=012x-3y-16=0.例2参见P78函数f(x)在x=x0处导数值 反映了函数在点(x0,y0)附近的变化规律：1)1)0 0，则，则f(x)f(x)在在(x(x0 0,y,y0 0)附近上升；附近上升；2)2)0 0，则，则f(x)f(x)在在(x(x0 0,y,y0 0)附近下降；附近下降；3)3)|越越大大,则则f(x)f(x)在在(x(x0 0 ,y,y0 0)附附近近就就越越“陡陡”4)4)|越越小小,则则f(x)f(x)在在(x(x0 0 ,y,y0 0)附附近近就就越越“平
6、平缓缓”三、函数的导函数的定义那么,当x是任意值时,是x的函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,是一个确定的数.在不致混淆时，导函数也简称导数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的导数处的导数f(x)f(x)的导函数的导函数x=xx=x0 0时的函数值时的函数值关系关系例题例题如何求函数y=f(x)的导数?导函数概念演示.gsp知识小结知识小结:1、导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。2、要切实掌握求导数的
7、三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）求瞬时变化率，得导数。（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。3、弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。（1）求出函数在点x0处的导数 ，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即4、求切线方程的步骤：作业完成学海导航配套练习汇报结束谢谢大家!请各位批评指正