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1、1/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 在生产和实验中，函数在生产和实验中，函数f(x)无表达式无表达式,只知道只知道f(x)在在一些给定点的函数值一些给定点的函数值(或其导数值或其导数值)，或者其表达式复，或者其表达式复杂不便于计算，此时我们希望建立一个简单而又便于杂不便于计算，此时我们希望建立一个简单而又便于计算的函数计算的函数(x)，使其近似的代替使其近似的代替f(x).第四章第四章 插值与拟合插值与拟合插值法插值法：插值法是利用函数插值法是利用函数f(x)在一组节点在一组节点x0,x1,.,xn上的值上的值y0,y1,yn，构造一个插值函数，构造一个插值函数(x)来逼近已知来
2、逼近已知函数函数f(x)，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同值相同,即即:(x0)=y0,(x1)=y1,(xn)=yn求近似求近似函数函数(x)的方法一般分为两类的方法一般分为两类:一类是一类是插值插值,另一类是另一类是拟合拟合.引例及问题综述引例及问题综述2/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四插值法插值法：插值法是利用函数在一组节点上的值，构造插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一个插值函数一个插值函数(x)来逼近已知函数来逼近已知函数f(x)，并要求插值，并要求插值函数与已知函数在节点处的函数值相同。函数与已知函数在节点处的函
3、数值相同。曲线拟合方法曲线拟合方法:不要求近似函数不要求近似函数(x)所表示的函数严格所表示的函数严格通过已知数据点通过已知数据点(xi,yi),而是通过观察这些点的分布规律，而是通过观察这些点的分布规律，选择某种能描述这一近似规律的函数选择某种能描述这一近似规律的函数(x)来来逼近函数逼近函数f(x)，然后按照某种原则使逼近效果总体上尽可能好，然后按照某种原则使逼近效果总体上尽可能好，其中最常见的原则就是其中最常见的原则就是最小二乘原理最小二乘原理。但在实际应用中，节点上的函数值通常不是精确值，而但在实际应用中，节点上的函数值通常不是精确值，而是由实验或测量得到的数据，不可避免的带有误差，如
4、是由实验或测量得到的数据，不可避免的带有误差，如果用插值法，会保留这些误差，影响精度。为了尽量减果用插值法，会保留这些误差，影响精度。为了尽量减少这种测量误差，人们又提出了另外一种构造近似函数少这种测量误差，人们又提出了另外一种构造近似函数的方法的方法曲线拟合方法。曲线拟合方法。3/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四原始数据的散点图原始数据的散点图分段线性插值分段线性插值二次分段拟合曲线二次分段拟合曲线已知数据点已知数据点(xi,yi)4/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四艾滋病疗法的评价及疗效的预测艾滋病疗法的评价及疗效的预测2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目高教
5、社杯全国大学生数学建模竞赛题目 艾艾滋滋病病的的医医学学全全名名为为“获获得得性性免免疫疫缺缺损损综综合合症症”，英英文文简简称称AIDS，它它是是由由艾艾滋滋病病毒毒（医医学学全全名名为为“人人体体免免疫疫缺缺损损病病毒毒”,英英文文简简称称HIV）引引起起的的。这这种种病病毒毒破破坏坏人人的的免免疫疫系系统统，使使人人体体丧丧失失抵抵抗抗各各种种疾疾病病的的能能力力，从从而而严严重重危危害害人人的的生生命命。人人类类免免疫疫系系统统的的CD4细细胞胞在在抵抵御御HIV的的入入侵侵中中起起着着重重要要作作用用，当当CD4被被HIV感感染染而而裂裂解解时时，其其数数量量会会急急剧剧减减少少，H
6、IV将将迅迅速速增增加加，导导致致AIDS发发作。作。艾艾滋滋病病治治疗疗的的目目的的，是是尽尽量量减减少少人人体体内内HIV的的数数量量，同同时时产产生生更更多多的的CD4，至至少少要要有有效效地地降降低低CD4减减少少的的速速度度，以以提提高人体免疫能力。高人体免疫能力。迄迄今今为为止止人人类类还还没没有有找找到到能能根根治治AIDS的的疗疗法法，目目前前的的一一些些AIDS疗疗法法不不仅仅对对人人体体有有副副作作用用，而而且且成成本本也也很很高高。许许多多国国家家和和医医疗组织疗组织都在都在积积极极试验试验、寻寻找更好的找更好的AIDS疗疗法。法。5/46计算方法计算方法计算方法计算方法
7、四四四四附件附件1:同时服用同时服用3种药物种药物（zidovudine(齐多夫定齐多夫定),lamivudine(拉米夫定拉米夫定),indinavir(茚地那韦茚地那韦)）的）的300多名多名病人每隔几周病人每隔几周测试的测试的CD4和和HIV的浓度。的浓度。第第1列是病人编号，第列是病人编号，第2列是测试列是测试CD4的时刻（周），第的时刻（周），第3列是列是测得的测得的CD4（乘以（乘以0.2个个/ml），第），第4列是测试列是测试HIV的时刻的时刻（周），第（周），第5列是测得的列是测得的HIV（单位不详）。（单位不详）。现现在得到了美国艾滋病医在得到了美国艾滋病医疗试验疗试验机构机
8、构ACTG公布的公布的两两组组数据。数据。(略略)PtID CD4Date CD4Count RNADateVLoad234240 178 0 5.5234244 228 4 3.9234248 126 8 4.72342425 171 25 42342440 99 40 523425 0 14 0 5.323426 6/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四附件附件2:1300多名多名病人病人按照按照4种疗法种疗法服药大约服药大约每隔每隔8周周测试的测试的CD4浓度。浓度。第第1列是病人编号，第列是病人编号，第2列是列是4种疗法的代码：种疗法的代码：1=600mg zidovudine
9、(齐多夫定齐多夫定)与与400mg didanosine(去羟肌苷去羟肌苷)按月轮换使用；按月轮换使用；2=600mg zidovudine 加加2.25mg zalcitabine(双脱双脱氧胞苷氧胞苷)；3=600mg zidovudine 加加400mg didanosine；4=600mg zidovudine 加加400mg didanosine 加加400mg nevirapine(奈韦拉平奈韦拉平)。第第3列是病人年龄，第列是病人年龄，第4列是测试列是测试CD4的时刻（周），第的时刻（周），第5列是列是测得的测得的CD4，取值，取值log(CD4+1).ID 疗法疗法 年龄年龄
10、时间时间 Log(CD4 count+1)1236.42710 3.1355 1236.42717.57143.0445 1236.427115.57142.7726 1236.427123.57142.8332 1236.427132.57143.2189.7/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 请请你完成以下你完成以下问题问题：（1）利利用用附附件件1的的数数据据，预预测测继继续续治治疗疗的的效效果果，或或者者确确定定最最佳佳治治疗疗终终止止时时间间（继继续续治治疗疗指指在在测测试试终终止止后后继继续续服服药药，如如果果认认为为继继续续服服药药效效果果不不好好，则则可可选选择择提
11、提前前终终止止治治疗疗）。）。（2）利利用用附附件件2的的数数据据，评评价价4种种疗疗法法的的优优劣劣（仅仅以以CD4为为标标准准），并并对对较较优优的的疗疗法法预预测测继继续续治治疗疗的的效效果果，或或者者确定最佳治确定最佳治疗终疗终止止时间时间。（3）艾艾滋滋病病药药品品的的主主要要供供给给商商对对不不发发达达国国家家提提供供的的药药品品 价价 格格 如如 下下：600mg zidovudine 1.60美美 元元，400mg didanosine 0.85美美元元，2.25 mg zalcitabine 1.85美美元元，400 mg nevirapine 1.20美美元元。如如果果病病
12、人人需需要要考考虑虑4种种疗疗法法的的费费用用，对对（2）中中的的评评价价和和预预测测（或或者者提提前前终终止止）有有什什么么改改变变。8/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四9/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四10/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四35岁-45岁-40-30-20-1001020301234567123411/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四12/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四13/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四生生长长阻滞模型阻滞模型 14/292008200820082008年大学生数学建模竞赛论文（
13、年大学生数学建模竞赛论文（年大学生数学建模竞赛论文（年大学生数学建模竞赛论文（B B B B题）答辩题）答辩题）答辩题）答辩缺少数据缺少数据年份年份平均学平均学费费19891989187.06187.0619901990190.64190.6419911991205.09205.0919921992396.56396.5619931993592.99592.9919941994871.13871.13年份年份平均学平均学费费199519951064.081064.08199619961816.251816.25199719972312.502312.50199819982755.482755.
14、48199919993548.363548.36200020004620.824620.82200120014620.824620.82200220024547.82354547.8235200320034676.1954 4676.1954 200420044894.69544894.6954200520055092.0835092.083200620065157.1185157.118缺少数据是用样条缺少数据是用样条插值函数求出来的插值函数求出来的高等教育学费问题探讨高等教育学费问题探讨15/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四*数据散点图数据散点图O 拟合曲线图拟合曲线图(*其中
15、部分数据是用样条插值函数求出来的其中部分数据是用样条插值函数求出来的)样条插值样条插值16/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用泛的应用。基本思想基本思想:就是利用函数就是利用函数f(x)在一些给定点的在一些给定点的函数值函数值(或其导数值或其导数值)，建立一个简单而又便于计，建立一个简单而又便于计算的函数算的函数(x)，使其近似的代替使其近似的代替f(x).插值法插值法有很有很多种多种,其中以其中以拉格朗日拉格朗日(LagrangeLagrange)插值和插值和牛顿牛顿(NewtonNewton)插
16、值为代表的多项式插值最插值为代表的多项式插值最有特点有特点,常用的插值还有常用的插值还有HermitHermit插值插值,分段分段插值和插值和样条插值样条插值.插值法插值法17/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四插值法插值法 设函数设函数 y=f(x)在在区间区间a,b上有定义上有定义,且已知且已知f(x)在在a,b上上n+1个个互异点互异点x0,x1,.,xn 处的值处的值 y0,y1,yn ,若存在若存在一个一个近似近似函数函数 (x)，满足，满足：(x0)=y0,(x1)=y1,(xn)=yn ,(*)则称则称(x)为为f(x)的的插值函数插值函数，f(x)称为称为被插值函数被
17、插值函数，x0,x1,.,xn 称为称为插值节点插值节点。(*)式称为式称为插值条件插值条件。而误差函数而误差函数R(x)=f(x)-(x)称为称为插值余项插值余项。基本概念基本概念满足同一插值条件的插值函数满足同一插值条件的插值函数(x)有许多类型，如：有许多类型，如：多项式函多项式函数类型、三角函数类型、指数函数类型数类型、三角函数类型、指数函数类型等，等，常用的插值函数是常用的插值函数是多项式多项式,我们称其为我们称其为代数插值（或多项式插值）。代数插值（或多项式插值）。(x)作为函数作为函数 y=f(x)的近似表达式的近似表达式(近似函数近似函数),满足满足:y=f(x)(x)我们把构
18、造满足插值条件的近似函数我们把构造满足插值条件的近似函数(x)，称为称为插值问题插值问题。我们这章只讨论代数插值：插值多项式我们这章只讨论代数插值：插值多项式Pn(x)是是否存在否存在?如何求解如何求解?插值误差和余项如何估计插值误差和余项如何估计?18/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 最简单的插值函数是代数多项式最简单的插值函数是代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+anxn,.(1)这时插值问题变为这时插值问题变为:求一个求一个n次多项式次多项式Pn(x),使其满足插使其满足插值条件值条件:pn(xi)=yi,i=0,1,2,，n,(2)只要求出只要求出Pn(x)的系数的系数
19、a0,a1,an即可即可,为此由插值条为此由插值条件件(2)(2)知知P Pn n(x)的系数满足下列的系数满足下列n+1n+1个代数方程构成的个代数方程构成的线性方程组线性方程组 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .(3)a0+a1xn+anxnn=yn pn(x0)=y0pn(x1)=y1pn(xn)=yn19/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 而而ai(i=0,1,2,n)的系数行列式是的系数行列式是Vandermonde行列式行列式 由于由于xi互异，所以互异，所以(4)右端不为零，从而方程组右端不为零，从而方程组(3)的解的解 a0,a1
20、,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n),Pn(x)就可构造出来了。但遗憾的就可构造出来了。但遗憾的是是方程组方程组(3)是病态方程组是病态方程组,当阶数当阶数n越越高时，病高时，病态越重态越重。为此我们从另一途径来寻求获得。为此我们从另一途径来寻求获得Pn(x)的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。插值。21/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四1 Lagrange插值多项式插值多项式 设函数设函数y=f(x)在区间在区间a,b上有定义，且已知在上有定义，且已知在点点ax0 x1.xnb上的函数值为上的函数值为y0,y1,y2,.,yn
21、，求，求一个一个次数不超过次数不超过n的多项式的多项式 Ln(x)=a0+a1x+.+anxn (1)*使得使得 Ln(xi)=yi (i=0,1,2,.,n)(2)*成立。称成立。称(1)*式为满足插值条件式为满足插值条件(2)*的的拉格朗日插拉格朗日插值多项式值多项式。22/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四由两点式由两点式,可求可求L1(x)的表达式的表达式整理得整理得:另一种推导方式另一种推导方式:令令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1一、拉格朗日插值多项式的构造一、拉格朗日插值多项式的构造线性插值线性插值多项式多项式1、线性插值、线性插值先从最简单的线性插值先从最简
22、单的线性插值(n=1)开始开始.即有：即有：a=x0，b=x1,这时插值问题这时插值问题就就是求一次多项式是求一次多项式L1(x)(=c+dx )，使使其其满足条件满足条件：L1(x0)=y0,L1(x1)=y1,23/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四即即l0(x)含有因子含有因子x-x1，l1(x)含有因子含有因子(x-x0)，l0(x),l1(x)称为以称为以x0,x1 为节点的为节点的线性线性插值基函数插值基函数这样得到一次这样得到一次插值多项式插值多项式:令令L1(x)=l0(x)y0+l1(x)y1l0(x0)=1,l1(x0)=0,l0(x1)=0,l1(x1)=1.令
23、令 l0(x)=0(x-x1),l1(x)=1(x-x0)，利用利用 l0(x0)=1 和和 l1(x1)=1确定其中的系数确定其中的系数0，1得：得：线线性性插插值值多多项项式式0=1/(x0-x1)故有故有:由由L1(x0)=y0,L1(x1)=y1得得1=1/(x1-x0)24/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四令令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2。线性插值仅仅用两个节点上的信息，精确度较差。为了线性插值仅仅用两个节点上的信息，精确度较差。为了提高精确度，我们进一步考察以下提高精确度，我们进一步考察以下三点的插值三点的插值问题：问题：求二次多项式求二
24、次多项式 L2(x)=a0+a1x+a2x2，使其满足条件：，使其满足条件：L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2类似的可以得出类似的可以得出 l1(x),l2(x):这样这样 l0(x)含有含有 x-x1,x-x2 两两个因子，令个因子，令 l0(x)=0(x-x1)(x-x2),利用利用 l0(x0)=1 确定其中确定其中的系数的系数0，得得 2、抛物线插值、抛物线插值l0(x0)=1,l1(x0)=0,l2(x0)=0,l0(x1)=0,l1(x1)=1,l2(x1)=0,l0(x2)=0,l1(x2)=0,l2(x2)=1.25/46计算方法计算方法计算方法计算方法
25、四四四四于是于是 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2)(x-x0)(x-x1)L2(x)=-y0+-y1+-y2 .(4)(x0-x1)(x0-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x1)l0(x),l1(x),l2(x)称称 为以为以 x0,x1,x2为节点的为节点的抛物抛物 线线插值基函数插值基函数。3、n次多项式插值次多项式插值：仿照线性插值和二次插值的办法，仿照线性插值和二次插值的办法，进一步进一步讨论一般形式的讨论一般形式的 n 次多项式次多项式 Ln(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,使其满足使其满足 Ln(x0)=y0,Ln(x1)=y1,.,
26、Ln(xn)=yn .(5)我们仍从构造我们仍从构造插值插值基函数基函数着手，先对某个固定的下标着手，先对某个固定的下标 j，作作 n 次多项式次多项式 l j(x),使其满足条件使其满足条件可求得可求得 二次插值多项式二次插值多项式26/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 .(*)公式（公式（*）就是）就是Lagrange插值多项式插值多项式，lj(x)称为以称为以x0,x1,.,xn为节点的为节点的Lagrange插值基函数插值基函数。将将lj(x)代入代入:27/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四例例1 求过点求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)
27、的拉格朗日型插值多项式的拉格朗日型插值多项式解解:用用5个节点作个节点作4次插值多项式次插值多项式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0y1=3y2=5y3=4y4=128/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四例例1 求过点求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式的拉格朗日型插值多项式解解:用用5个节点作个节点作4次插值多项式次插值多项式xix0=2x1=4x2=6x3=8x4=10yiy0=0y1=3y2=5y3=4y4=129/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四L4(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2
28、(x)+y3l3(x)+y4l4(x)30/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 例例2:已给已给sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值及抛物插值计算用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值。的值。y1-y0sin0.3367 L1(0.3367)=y0+(0.3367-x0)x1-x0 0.01892=0.314567+(0.0167)=0.330365.0.02用线性插值计算，取用线性插值计算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34,解解:由题意取由题意取x0=0.32x1=0.34x2=0.36
29、y0=0.314567 y1=0.333487y2=0.352274得得:由线性插值公式由线性插值公式31/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四用抛物插值计算用抛物插值计算 sin0.3367时，因为时，因为 这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。插样，这说明查表时用二次插值精度已相当高了。插值多项式的存在性值多项式的存在性?其截断误差是多少其截断误差是多少?所以所以32/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四定理定理1 假设假设x0,x1,xn 是是n+1个互异节点个互异节点,函数函数f(x)在
30、这在这组节点的值组节点的值f(xj)(j=0,1,n)是给定的，那么存在唯一是给定的，那么存在唯一的次数不超过的次数不超过n 的多项式的多项式Pn(x)满足满足 Pn(xj)=f(xj),j=0,1,n二二、插值插值多项式多项式的的存在性和唯一性存在性和唯一性证明：由插值函数的构造知证明：由插值函数的构造知n次多项式次多项式Pn(x)的存在性，的存在性，由代数基本定理可证明它的唯一性。由代数基本定理可证明它的唯一性。函数函数f(x)的的n次插值多项式次插值多项式Ln(x)只是在节点处有只是在节点处有:Ln(xj)=f(xj),j=0,1,n若若xxj,一般一般Ln(x)f(x),令令 Rn(x
31、)=f(x)-Ln(x)称称Rn(x)为插值多项式的余项为插值多项式的余项33/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 三三、Lagrange插值的插值的插值余项插值余项(截断误差截断误差)定理定理2：设设Ln(x)是过点是过点x0，x1，x2，xn的的 n 次插值次插值多项式，多项式，f(x)在在a，b上上有有n阶连续导数阶连续导数，在，在(a，b)内内存在存在n+1阶导数阶导数，其中，其中a，b是包含点是包含点x0,x1,x2,xn的任一区间，则对任意给定的的任一区间，则对任意给定的x a，b，总存在一总存在一点点(a，b)（依赖于依赖于x）使使其中其中 。证明证明:Rn(x)=f(
32、x)-Ln(x),当当x=xi时，显然有：时，显然有：Rn(xi)=f(xi)-Ln(xi),=0，n+1(xi)=0 （i=0,1,n）结论成立结论成立34/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四当当xxi时，时，Rn(xi)=0，n+1(xi)=0 （i=0,1,n）可设可设Rn(x)=K(x)n+1(x)需证需证:K(x)=f(n+1)()/(n+1)!现在现在a,b上任意固定一点上任意固定一点x,引进辅助函数引进辅助函数 g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)n+1(t),(*)则则g(t)在在a,b上上具具有有n阶阶连连续续导导数数，在在(a,b)内内存存在在n+1阶阶导导数
33、数，当当 t=x,x0,x1,xn 时时，g(t)=0,，即即g(t)在在(a,b)内内有有n+2个个零零点点,由由Rolle定定理理知知g(t)在在(a,b)内内有有n+1个个零零点点,如如此此反反复复，最最后后可可推推知知g(n+1)(t)在在(a,b)内内有有1个个零零点点,即即有有g(n+1)()=0,a b。这这样样，由由(*)式式便有便有35/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四现在现在a,b上任意固定一点上任意固定一点x,引进辅助函数引进辅助函数 g(t)=f(t)-Ln(t)-K(x)n+1(t),(*)有有g(n+1)()=0,a x0=0.4:0.1:0.8;y0=
34、-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144;lagrange(x0,y0,0.54)在在MatLab命令窗口输入：命令窗口输入：例例 给出给出f(x)=lnx的数值表，用的数值表，用Lagrange插值计算插值计算 ln(0.54)的近似值。的近似值。x0.40.50.60.70.8Lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144输出结果输出结果:-0.616143精确解精确解:-0.616186(-0.6161)51/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四x0=0.4:0.1:0.8;y0=
35、-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144;lagrange(x0,y0,0.54,0.65)ans=-0.6161 -0.4308 lagrange(x0,y0,0.54,0.65,0.78)ans=-0.6161 -0.4308 -0.248452/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四实验实验4.1（观观察察龙龙格格(Runge)现现象象实验实验）实验实验目的：目的：观观察拉格朗日插察拉格朗日插值值的的龙龙格格(Runge)现现象象.实验实验内容：内容：1、给给出拉格朗日插出拉格朗日插值值多多项项式的算法流程和相关程序；式的算法流程和
36、相关程序；2、对对于于函函数数 进进行行拉拉格格朗朗日日插插值值，取取不不同同的的节节点点数数，在在区区间间-5,5上上取取等等距距间间隔隔的的节节点点为为插插值值点点，把把f(x)和和插插值值多多项项式式的曲的曲线线画在同一画在同一张图张图上上进进行比行比较较。(a可以取任意可以取任意值值)具体步具体步骤骤：1）a=1时时，i）取）取n=4，作出，作出f(x)和插和插值值多多项项式的曲式的曲线图线图；ii）取）取n=10，作出，作出f(x)和插和插值值多多项项式的曲式的曲线图线图；2）a=0.5时时，i）取）取n=4，作出，作出f(x)和插和插值值多多项项式的曲式的曲线图线图；ii）取）取n
37、=10，作出，作出f(x)和插和插值值多多项项式的曲式的曲线图线图；3、分析上述曲、分析上述曲线图线图，你可以得出什么，你可以得出什么结论结论？53/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 插值函数，插值节点插值函数，插值节点n次插值基函数次插值基函数范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式插值余项插值余项54/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓用代数多项式作为研究插值的工具，就是所谓的代数插值。的代数插值。对代数插值来说，问题的提法是这样的，当给对代数插值来说，问题的提
38、法是这样的，当给出了出了n+1个点上的一张函数表后，要构造一个多项个点上的一张函数表后，要构造一个多项式式(x)，满足下面两个条件：满足下面两个条件：(1)(x)是一个不超过是一个不超过 n 次的多项式；次的多项式；(2)在给定的点在给定的点xi(I=0,1,n)上与上与 f(xi)取相同取相同值，即值，即 (xi)=yi (I=0,1,n)。我们称我们称(x)为为 f(x)的的插值函数插值函数插值函数插值函数，点，点 xi 为为插值插值插值插值节点节点节点节点。插值函数是计算方法的基本工具。插值函数是计算方法的基本工具。返回返回返回返回55/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四若若
39、n 次多项式次多项式 lj(x)(j=0,1,.,n)在在n+1个节点个节点 x0 x1.xn上满足上满足条件条件就称这就称这n+1个个n次多项式次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点为节点x0，x1，,xn上的上的n 次插值基函数次插值基函数。返回返回返回返回56/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 插值余项插值余项：若在：若在a，b上用上用Ln(x)近似近似 f（x）,则截断误差为则截断误差为 Rn(x)=f(x)-Ln(x),也称为插值多也称为插值多项式的项式的余项余项。返回返回返回返回57/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四 Vandermonde行列式行
40、列式 =返回返回返回返回58/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四形如形如的插值多项式的插值多项式Ln(x)称为称为拉格朗拉格朗日日(Lagrange)插值多项式插值多项式。返回返回返回返回59/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四插值的任务插值的任务就是由已知的观测点为物理量就是由已知的观测点为物理量(未知量未知量)，建，建立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推立一个简单的、连续的解析模型，以便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性测该物理量在非观测点处的特性。常用的插值函数是多常用的插值函数是多项式。项式。令令x1-x0=b-a=h,x=x0+t h,0 t
41、1 则则易证，当易证，当0 t 1时时,|t(1-t)|的最大值为的最大值为1/4，特别，当特别，当n=1时，取时，取x0=a,x1=b，则有则有60/46计算方法计算方法计算方法计算方法四四四四上节课内容回顾上节课内容回顾拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式 Ln(x)的构造的构造:lj(x)在在n+1个节点个节点 x0 x1.xn上满足条件上满足条件称这称这n+1个个n次多项式次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为节点为节点x0,x1,xn上的上的n n 次插值基函数次插值基函数次插值基函数次插值基函数。其中其中yj=f(xj).(j=0,1,.,n)1)构造构造 n 次插值基函数次插值基函数 lj(x):2)构造构造 n 次次拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 Ln(x):