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1、第二章 插值法1/1/20231第二章 插值法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值 2.5 分段低次插值分段低次插值1/1/20232本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值.本章主要介绍有关插值法的一些基本概念，及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法：拉格朗日插值、分段线性插值、牛顿插值、埃尔米特插值。1/1/20233能否存在一个性能优良、便于计算的函数一、插值问题1/1/20234这就是插值问题，上式为插值条件其插值函数的图象如下图1/1/202
2、351/1/20236二、插值法的类型且满足其中 为实数，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段的多项式，就称为分段插值；若P(x)为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值1/1/20237此插值问题可表述为如下：问题问题 求作次数 多项式 ，使满足条件这就是所谓的拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值）插值。1/1/20238问题问题 求作一次一次式 ，使满足条件 从几何图形上看，表示过两点 的直线，因此可表示为如下点斜式：1/1/20239从几何图形上看，表示过两点的直线，因此也可表示为如下对称形式：其中，显然，1/1/202310线
3、性插值举例线性插值举例例1:已知 ，求代入点斜式插值多项式得 y=10.71428精确值为 10.723805，故这个结果有3位有效数字。1/1/2023111/1/202312 问题问题 求作二次二次式 ，使满足条件二次插值的几何解释是用通过三个点 的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性插值，构造基函数，要求满足下式：1/1/2023131/1/202314(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0)+(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L2(115)=x0=100,x1=121,x2=144
4、f(x0)=10,f(x1)=11,f(x2)=12(100121)(100144)(115121)(115144)*10+(121100)(121144)(115100)(115144)*11+(144100)(144121)(115100)(115121)*12=10.7228抛物插值举例抛物插值举例例例2 2：L L2 2(x)=(x)=和用线性插值相比，有效数字增加一位1/1/202315为了构造 ，我们先定义n次插值基函数。定义：若n次多项式在n+1个节点上满足条件1/1/202316n+1次多项式对n=1及n=2时的情况前面已经讨论，用类似的推导方法，可得到n次插值基函数为：1/1
5、/202317且从而1/1/202318其中总总结结称为y=f(x)的拉格朗日插值多项式称为n次拉格朗日插值基函数1/1/202319例3：求过点(2，0)(4，3)(6，5)(8，4)(10，1)的 拉格朗日插值多项式。1/1/2023201/1/2023211/1/2023221/1/202323拉格朗日插值多项式的缺点：（1）插值基函数计算复杂（2）高次插值的精度不一定高1/1/202324一、插值余项满足不会完全成立因此，插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？1/1/2023251/1/202326令设其中证明：证明：假设在区间a,b上f(x)的插值多项式为1/1/
6、202327若引入辅助函数1/1/202328根据罗尔定理,再由罗尔定理,依此类推由于1/1/202329所以因此1/1/202330则注意（1）余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时 才能应用。（2）在内的具体位置通常不可能给出，所以，设1/1/202331例1:解:1/1/2023321/1/202333例2.并作图比较.解:1/1/202334不同次数的拉格朗日插值多项式的比较图Runge现象1/1/202335结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.P48 2、3、4本章作业1/1/202336