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1、温习旧知识3.直线点斜式方程：4.直线斜截式方程：01-11.两点斜率公式：2.特殊角的正切值：1 2 1.直线直线l经过两点经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2),那么直线那么直线l的的斜率为斜率为k=_,代入点斜式方程代入点斜式方程,得得_,当当y1y2时时,方程可以写成方程可以写成_,这个方程是由直线上两个点确定的这个方程是由直线上两个点确定的,所所以叫做直线的以叫做直线的_方程方程.两点式两点式3假设假设x1=x2,知知P1P2与与x轴垂直轴垂直,此时的直线此时的直线l的方程为的方程为x=x1.假设假设y1=y2,知知P1P2与与y轴垂直轴垂直,此时的直线此时的直线
2、l的方程为的方程为y=y1.另外另外,我们也可以按下面的思路推导我们也可以按下面的思路推导.说明说明:直线的两点式方程不能表示与坐标垂直的直线直线的两点式方程不能表示与坐标垂直的直线,假设将假设将方程化为方程化为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么可表示经过这两那么可表示经过这两个点的所有直线个点的所有直线.42.假设直线与假设直线与x轴的交点为轴的交点为(a,0)(a0),与与y轴的交点为轴的交点为(0,b)(b0),将两点将两点A，B的坐的坐标代入两点式，得标代入两点式，得 ，化简直线的，化简直线的方程为方程为_,这个方程由直线与坐标轴这个方程由直线与坐标轴的截距确
3、定的截距确定,所以叫做直线的所以叫做直线的_方程方程.截距式截距式我们把直线与我们把直线与x轴交点轴交点a,0的横坐标的横坐标a叫做直线在叫做直线在x轴上得截距。轴上得截距。52.直线的截距式方程直线的截距式方程直线的截距式方程是两点式的特殊情形直线的截距式方程是两点式的特殊情形,此时两点的坐标为此时两点的坐标为(a,0)和和(0,b)(ab0),此时方程的形式为此时方程的形式为截距式方程在画直线时非常方便截距式方程在画直线时非常方便.说明说明:直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直或过原点的直线直线.6题型一题型一 直线的两点式方程直线的两点式方程
4、例例1:三角形的三个顶点三角形的三个顶点A(-2,2),B(3,2),C(3,0),求这个三角形求这个三角形的三边所在直线的方程以及的三边所在直线的方程以及AC边上的高线所在直线的方程边上的高线所在直线的方程.分析分析:求直线的方程时要选好方程的形式求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的适要注意方程的适用范围用范围.7解解:如右图如右图,直线直线AC过点过点A(-2,2),C(3,0),由直线的两点式方程得由直线的两点式方程得整理可得整理可得2x+5y-6=0,这就是所求直线这就是所求直线AC的方程的方程.直线直线AB经过经过A(-2,2),B(3,2),由于其纵坐标相等由于其纵坐标相等
5、,可知其方程为可知其方程为y=2,这就是这就是所求直线所求直线AB的方程的方程.8直线直线BC经过经过B(3,2),C(3,0),由于其横坐标相等由于其横坐标相等,可知其方程为可知其方程为x=3,这就是所求直线这就是所求直线BC的方程的方程.由于由于A(-2,2),C(3,0),kAC=由由AC边上的高线与边上的高线与AC垂直垂直,设其斜率为设其斜率为k,那么那么kkAC=-1,得得根据直线的点斜式方程根据直线的点斜式方程,得得y-2=(x-3),即即5x-2y-11=0,这就是这就是所求的所求的AC边上的高线所在直线的方程边上的高线所在直线的方程.规律技巧规律技巧:当直线与坐标轴平行或重合时
6、当直线与坐标轴平行或重合时,不能用两点式不能用两点式,应作应作特殊处理特殊处理.9变式训练变式训练1:两点两点A(3,2),B(8,12).(1)求出直线求出直线AB的方程的方程;(2)假设点假设点C(-2,a)在直线在直线AB上上,求实数求实数a的值的值.解解:(1)由直线的两点式方程得由直线的两点式方程得即为即为2x-y-4=0,这就是直线这就是直线AB的方程的方程.(2)点点C(-2,a)在直线在直线AB上上,2(-2)-a-4=0.a=-8.10题型二题型二 直线的截距式方程直线的截距式方程例例2:直线直线l过点过点P(-6,3),且它在且它在x轴上的截距是它在轴上的截距是它在y轴上截
7、距轴上截距的的3倍倍,求直线求直线l的方程的方程.分析分析:设直线设直线l在在y轴上的截距为轴上的截距为b,那么在那么在x轴上的截距为轴上的截距为3b.因为截距可正因为截距可正,可负可负,可为零可为零,所以应分所以应分b=0和和b0两种情况两种情况解答解答.11(2)当直线在当直线在y轴上的截距不为零时轴上的截距不为零时,由题意可设直线由题意可设直线l的的方程为方程为又直线又直线l过点过点P(-6,3),解得解得b=1.直线直线l的方程为的方程为 +y=1.即即x+3y-3=0.综上所述综上所述,所求直线所求直线l的方程为的方程为x+2y=0或或x+3y-3=0.解解:(1)当直线在当直线在y
8、轴上的截距为零时轴上的截距为零时,直线过原点直线过原点,可设直线可设直线l的方程为的方程为y=kx,直线直线l过点过点P(-6,3).3=-6k,k=-.直线直线l的方程为的方程为y=-x,即即x+2y=0.12题型三题型三 直线方程的应用直线方程的应用例例3:求与两坐标轴围成的三角形面积为求与两坐标轴围成的三角形面积为9,且斜率为且斜率为-2的直线的直线方程方程.分析分析:依题意知依题意知,截距不为截距不为0,故可设出直线的截距式方程故可设出直线的截距式方程,利利用待定系数法求解用待定系数法求解.13 规律技巧规律技巧:求直线方程关键是选择适当的直线方程的形式求直线方程关键是选择适当的直线方
9、程的形式,由于此题涉及到直线在两坐标上的截距由于此题涉及到直线在两坐标上的截距,因此设出了直线的截因此设出了直线的截距式方程距式方程.14易错探究易错探究例例4:直线直线l经过点经过点(3,-2),且在两坐标轴上的截距相等且在两坐标轴上的截距相等,求直线求直线l的方程的方程.错解错解:错解错解1:由于直线由于直线l的截距相等的截距相等,故直线故直线l的斜率为的斜率为1.假设假设k=1,那么直线方程为那么直线方程为:y+2=x-3,即为即为x-y-5=0;假设假设k=-1,那么直线方程为那么直线方程为:y+2=-(x-3),即为即为x+y-1=0.15错解错解2:由题意由题意,直线在两轴上的截距
10、相等直线在两轴上的截距相等,可设直线的方程为可设直线的方程为:由于直线过点由于直线过点(3,-2),那么有那么有 所以所以a=1.即所求的方程为即所求的方程为x+y-1=0.错因分析错因分析:在上述两种错解中在上述两种错解中,错解错解1无视了截距的意义无视了截距的意义,截距截距不是距离不是距离,它可正可负它可正可负,也可以为也可以为0.当当k=1时时,直线直线x-y-5=0在两在两轴上的截距分别为轴上的截距分别为5和和-5,它们是不相等的它们是不相等的.另外另外,这种解法还漏这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为掉了直线在两轴上的截距均为0时的特殊情形时的特殊情形;错解错解2中中,没有没有注意
11、到截距式方程的适用范围注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解同样也产生了漏解.16正解正解:解法解法1:依题意依题意,直线直线l的斜率存在且不为的斜率存在且不为0,设其斜率为设其斜率为k,那么可得直线的方程为那么可得直线的方程为:y+2=k(x-3).令令x=0,得得y=-2-3k;令令y=0,得得由题意得由题意得-2-3k=3+解得解得k=-1,或或k=-所以所以l的方程为的方程为:y+2=-(x-3),或或y+2=-(x-3).即为即为x+y-1=0,或或2x+3y=0.17解法解法2:设直线设直线l在两轴上的截距均为在两轴上的截距均为a.(1)假设假设a=0,那么直线那么直线l过原
12、点过原点,此时此时l的方程为的方程为:2x+3y=0;(2)假设假设a0,那么那么l的方程可设为的方程可设为:因为因为l过点过点(3,-2),知知 =1,即即a=1.所以直线所以直线l的方程为的方程为x+y=1,即为即为x+y-1=0.综合综合(1)(2)可知可知:直线直线l的方程为的方程为2x+3y=0,或或x+y-1=0.18根底强化根底强化1.过两点过两点(2,5),(2,-5)的直线方程是的直线方程是()A.x=5 B.y=2C.x=2D.x+y=2答案答案:C192.在在x,y轴上截距分别为轴上截距分别为4,-3的直线方程是的直线方程是()答案答案:A203.过过(x1,y1)和和(
13、x2,y2)两点的直线方程是两点的直线方程是()C.(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0D.(x2-x1)(x-x1)-(y2-y1)(y-y1)=0答案答案:C214.直线直线ax+by=1与两坐标轴围成的三角形的面积是与两坐标轴围成的三角形的面积是()答案答案:D225.直线直线ax-y+a=0(a0)在两坐标轴上截距之和是在两坐标轴上截距之和是()A.a-1B.1-aC.a+1D.解析解析:令令x=0,得得y=a.令令y=0,得得x=-1,故直线在两坐标轴上截距故直线在两坐标轴上截距之和为之和为a-1.答案答案:A236.过过(3,0)点与点与x轴垂直的直线方程为轴
14、垂直的直线方程为_,纵截距为纵截距为-2且与且与y轴垂直的直线方程为轴垂直的直线方程为_.x=3y=-2247.过过(5,7)及及(1,3)两点的直线方程为两点的直线方程为_,假设点假设点(a,12)在此直线上在此直线上,那么那么a=_.解析解析:过点过点(5,7)及及(1,3)两点的直线方程为两点的直线方程为即即x-y+2=0.点点(a,12)在在x-y+2=0上上,a-12+2=0.a=10.x-y+2=010258.直线直线l的斜率为的斜率为6.且在两坐标轴上的截距之和为且在两坐标轴上的截距之和为10,求此直线求此直线l的方程的方程.解法解法1:设直线方程为设直线方程为y=6x+b,令令
15、x=0,得得y=b,令令y=0得得由题意由题意 =10.b=12.所以所求直线方程为所以所求直线方程为6x-y+12=0.2627能力提升能力提升9.求斜率为求斜率为 且与两坐标轴围成的三角形的周长为且与两坐标轴围成的三角形的周长为12的直的直线线l的方程的方程.2810.直线与两坐标轴围成的三角形面积为直线与两坐标轴围成的三角形面积为3,且在两坐标轴上的截距之和为且在两坐标轴上的截距之和为5,求这样的直线有几条求这样的直线有几条?2911.(2021上海上海)直线直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行平行,那么那么k的值是的值是()A.1或或3
16、B.1或或5C.3或或5D.1或或2解析解析:当当k=3时时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0.显然平行显然平行;验证当验证当k=1时时,l1:-2x+3y+1=0,l2:-4x-2y+3=0,显然不平行显然不平行.因此因此,选选C.答案答案:C30)数学思想方法数学思想方法:分类讨论思想分类讨论思想 数形结合思想数形结合思想待定系数法待定系数法1)直线的两点式方程直线的两点式方程：2)直线的截距式方程为直线的截距式方程为:注：当直线没有斜率注：当直线没有斜率(x1=x2)(x1=x2)或斜率为或斜率为y1=y2)y1=y2)时，时，不能用两点式求出它的方程不能用两点式求出它的方程注：当直线过原点或与坐标轴平行时，注：当直线过原点或与坐标轴平行时，不能用截距式求出它的方程。不能用截距式求出它的方程。你学到了什么你学到了什么31