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1、微积分微积分当你呱呱落地降临人世的第一天，医生就要检测一下你的各项健康指标，为你量量身体的长度，称称你的体重，这些都与数和量有关，这就是数学，人生到世界上来的第一天就遇到数学，数学哺育着你成长。微积分随着年龄增长，你随时随地都在接触数学.你开始在大人们的指导下，学习数数；学习画三角形、方块和圆；用剪刀剪出各种美丽的图案，或者用纸折出小鸟、小船等各种形状的玩具；到商店去购买你喜欢吃的各种食品；.这一切的一切，你会逐渐意识到都和数、数的运算、数的比较、图形的大小、图形的形状、图形的位置有关，这又是数学.你进入学校，正式开始学习数学这门学科，懂得了初步的数学语言.知道了整数和分数；学会了加、减、乘、
2、除；认识了三角形、长方形、正方形、圆，以及长方体、正方体、圆柱体和球等几何图形；了解了简单的统计知识.数学知识开阔了你的视野，改变了你的思维方式，使你变得更聪明了.微积分随着市场经济的发展，成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债券几乎每天都会碰到.而这些经济活动无一能离开数学.微积分人们生活在经济社会中，生活要精打细算，每个同学不管有意无意的都在算着经济账，比如买名牌衣服要找高折扣的店，用手机需要计算各种套餐哪种最适合自己等等，用有限的钱发挥最大的用处，你和你的家庭在生活中那些是需要算计这个经济账的呢？微积分高中生王明
3、春节期间拿到了压岁钱，想在春节商场搞活动时买双运动鞋和书包，经过实地考察，有三家商家在搞活动，其中一家是全场8折，另外一家是买满100元返50元券，用券购物不受限制，第三家是累计满100元直降30元，他看中的鞋子是480元，书包198元，王明选择哪家购物最省钱？微积分一个三口之家，男主人张伟、女主人王芳和女儿张玉，张伟刚跳槽到一家外企，薪金待遇是税前工资是10000元，公司要扣除四险一金共1400元，那么税后张伟能拿到多少工资呢？相关知识：应纳税所得额=应发工资-四险一金（基本养老保险金、医疗保险金、失业保险金、工伤保险金、住房公积金）-起征点（2000元）微积分张伟一家人准备为了3年后孩子读
4、大学准备专项存款，采用零存整取三年期存款的方式，从这个月开始每个月第一天存入银行1000元，银行以年利率是1.98%计息，问张伟在三年存款期满时可以拿到的本利和是多少？（精确到0.01元）月利率=年利率/12微积分张伟一家想改善住房条件，购置了一套150万元的房产，他们现在一家税后月收入13000元，其中首付了4成60万，除去生活开销和教育储蓄5000元，贷款的90万元选择20年的贷款，每月还能结余多少钱？微积分生活中常见的其他一些数学微积分大大小小恒恒常常性性错错觉觉微积分“一笔画一笔画”的规律的规律你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。
5、（不走重复线路）试试看。（不走重复线路）微积分图图1图图2微积分 在这个楼梯中，你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗？在这个楼梯中，你能分清哪一个是最高或最低的楼梯吗？当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？当你沿顺时针走的时候，会发生什么呢？如果是逆时针，情况会怎么样呢？如果是逆时针，情况会怎么样呢？不可能的楼梯微积分不不可可能能的的楼楼梯梯微积分荷兰美术大师荷兰美术大师M.C.Escher作品作品黑夜还是白天黑夜还是白天?圆形的拱顶圆形的拱顶微积分瀑布瀑布上升还是下降上升还是下降?微积分烤面包的时间史密斯家里有一个老式的烤面包器，一次只能放两片面包，每片烤一面。要烤另一面，你得取出面包片，把它们
6、翻个面，然后再放回到烤面包器中去。烤面包器对放在它上面的每片面包，正好要花1分钟的时间烤完一面。一天早晨，史密斯夫人要烤3片面包，两面都烤。史密斯先生越过报纸的顶端注视着他夫人。当他看了他夫人的操作后，他笑了。她花了4分钟时间。“亲爱的，你可以用少一点的时间烤完这3片面包，”他说，“这可以使我们电费账单上的金额减少一些。”史密斯先生说得对不对？如果他说得对，那他的夫人该怎样才能在不到4分钟的时间内烤完那3片面包呢？微积分不可能的三角形不可能的三角形微积分微积分微积分悖论（一）悖论（一）一天，萨维尔村理发师一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：挂出了一块招牌：村里村里所有不是自己理发的男所有不是自
7、己理发的男人都由我给他们理发人都由我给他们理发。于是有人问他：于是有人问他：“您的头发谁给理呢？您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。理发师顿时哑口无言。微积分悖论（二）悖论（二）有个虔诚的教徒，他在有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说演说中口口声声说上帝上帝是无所不能的，什么事是无所不能的，什么事都做得到都做得到。一位过路人。一位过路人问了一句话：问了一句话：“上帝能创造一块他上帝能创造一块他自己也举不起来的石自己也举不起来的石头吗头吗？”教徒哑口无言教徒哑口无言微积分我说一句话，我说一句话，如果这句话是真如果这句话是真的，那么你就给的，那么你就给我你的相片，可我你的相片，可以吗？以吗？你
8、不会你不会给我你的相给我你的相片片可以可以请问男说了一句什么话使得这个女生只能将玉照送他？请问男说了一句什么话使得这个女生只能将玉照送他？悖论（三）悖论（三）微积分卖马卖马某人卖马一匹，得钱卢布。但是买主买到马以后又懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱。于是卖主向买主提出了另一种计算马价的方案说，如果你嫌马太贵了，那么就只买马蹄上的钉子好了，马就算白送给你。每个马蹄铁上有枚钉子，第每个马蹄铁上有枚钉子，第一枚钉子只卖一枚钉子只卖1个戈比（卢布等于戈比），第个戈比（卢布等于戈比），第二枚卖二枚卖2个戈比，第三枚个戈比，第三枚4个戈比，后面每个钉子价格依个戈比，后面每个钉子价格依此
9、类椎此类椎。买主认为钉子的价值总共也花不了个卢布，还能白得一匹好马，于是就欣然同意丁。结果买主算账后才明白上当。试问买主在这笔交易中要亏损多少？1+2+21+2+22 2+2+23 3+2+24 4+2+22323=微积分分数的妙用分数的妙用有一位阿拉伯老人，生前养有有一位阿拉伯老人，生前养有1111匹马，他去世前立匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子、分别继承遗产下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子、分别继承遗产的的1/21/2，1/41/4，1/61/6。儿子们想来想去没法分：他们所。儿子们想来想去没法分：他们所得到的都不是整数，即分别为得到的都不是整数，即分别为11/211/2，11
10、/411/4，11/611/6。总不能把一匹马割成几块来分吧？总不能把一匹马割成几块来分吧？聪明的邻居牵来了自己的聪明的邻居牵来了自己的1 1匹马，对他们说：匹马，对他们说：“你们看，现在有你们看，现在有1212匹马了，老大得匹马了，老大得1212匹的匹的1/21/2，就是就是6 6匹中，老二得匹中，老二得1212匹的匹的1/41/4就是就是3 3匹，老三得匹，老三得1212匹的匹的1/61/6就是就是2 2匹，还剩下一匹我照样牵回家匹，还剩下一匹我照样牵回家去。去。”微积分很多人都认为数学是一很多人都认为数学是一门很枯燥的学科，的确数学门很枯燥的学科，的确数学理论性很强需要很多抽象思理论性很
11、强需要很多抽象思考，考，但是在数学发展的中也但是在数学发展的中也发生了很多有意思的事情，发生了很多有意思的事情，它可以让你充分体会到数学它可以让你充分体会到数学的乐趣！的乐趣！并在其中掌握数学并在其中掌握数学知识。知识。微积分学数学学什麽？学数学学什麽？数学的基本特征数学的基本特征抽象性抽象性演绎性演绎性广泛性广泛性（研究对象）（研究对象）（论证方法）（论证方法）（应用）（应用）假设假设结论结论logic理性理性思维思维微积分这个学期学什麽？这个学期学什麽？一元函数微分一元函数微分利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质极限的直观定义与计算极限的直观定义与计
12、算导数与微分的概念与计算导数与微分的概念与计算微分学应用微分学应用一元函数积分一元函数积分不定积分不定积分不不定积分概念与计算定积分概念与计算积分学应用积分学应用微积分交作业时间：交作业时间：星期五下午上课星期五下午上课微积分微微积积分分微积分微微微微 积积积积 分分分分 在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨论论简单的量的关系简单的量的关系，尤其只讨论，尤其只讨论常量和固定图常量和固定图形形，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家后法国数学家笛卡尔笛卡尔(R.Descartes 1596-1650)(R.D
13、escartes 1596-1650)把把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家这主要归功于英国数学家牛顿牛顿(I.Newton 1643-(I.Newton 1643-1727)1727)和法国数学家和法国数学家莱布尼兹莱布尼兹(G.W.LeibnizG.W.Leibniz 1646-1716)1646-1716)。这就是今后要学习的课程。这就是今后要学习的课程。微积
14、分链接目录第一章第一章 函数函数第二章第二章 极限与连续极限与连续第三章第三章 导数与微分导数与微分第四章第四章 中值定理中值定理,导数的应用导数的应用第五章第五章 不定积分不定积分第六章第六章 定积分定积分第七章第七章 无穷级数无穷级数(不要求不要求)第八章第八章 多元函数多元函数第九章第九章 微分方程微分方程复习微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民大学出版中国人民大学出版社社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版社高等教育出版社微积分第一章第一章 函数函数集合集合实数集实数集函数关系函数关系分段函数分段函数建立函数关系的例题建立函数关系的例题函数的简单性质函
15、数的简单性质反函数与复合函数反函数与复合函数初等函数初等函数 函数图形的简单组合与变换函数图形的简单组合与变换微积分函数函数-集合集集合合是是指指具具有有特特定定性性质质的的一一些些事事物物的的总总体体.组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素.通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.a是集合M的元素,记作aM(读作a属于M)；a不是集合M的元素,记作aM(读作a不属于M).集集合合定定义义微积分函数函数-集合例子例子1.19901.1990年年1010月月1 1日在南宁市出生的人。日在南宁市出生的人。2.2.彩电、电冰箱、彩电、电冰箱、VCDVCD。3.x3
16、.x2 2-5x+6=0-5x+6=0的根。的根。集集合合具具有有确确定定性性，即即对对某某一一个个元元素素是是否否属属于于某某个个集合是确定的，是或不是二者必居其一。集合是确定的，是或不是二者必居其一。由有限个元素构成的集合由有限个元素构成的集合，称为有限集合。，称为有限集合。由无限多个元素构成的集合由无限多个元素构成的集合，称为无限集合；，称为无限集合；4.4.全体偶数全体偶数。微积分函数函数-集合集合的表示法集合的表示法1.列列举举法法：按任意顺序列出集合的所有元素,并用括起来。例例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：A=2,3注注：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复
17、。微积分函数函数-集合2.描描述述法法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合，记为：A=a|P(a)例例：由x2-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为：A=x|x2-5x+6=0例例：全体实数组成的集合通常记作R，即：R=x|x为实数微积分2.文氏图文氏图(Venndiagrams)：用于描述集合间的关系及其运算，其特点是直观、形象、信息量大且富有启发性。一般用矩形表示全集U，用圆表示U的子集A，B，C等等。微积分函数函数-集合全集与空集全集与空集所研究的所有事物构成的集合称为全集所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为记为:U U。不含任何元素的集合称为
18、空集，记为：不含任何元素的集合称为空集，记为：。例例1 1：x x2 2+1=0+1=0实数根集合为空集。实数根集合为空集。例例2 2：平面上两条平行线的交点集合为空集。：平面上两条平行线的交点集合为空集。注注：0 0 及及 都都不不是是空空集集，前前者者有有元元素素0 0，后后者者有元素有元素。微积分函数函数-集合子集如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 xA则必xB，就说A是B的子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)如果A B且或AB，则称A与B相等。1.AA即集合A是其自己的子集。2.传递性 AB、B C 则A C。3.A，即空集是任何集合A的子集。微积分函数函数-集合
19、集合的运算集合的运算集合的并：集合的并：A A B=x|x B=x|x A A 或或x x B B 集合的交：集合的交：A A B=x|x B=x|x A A 且且x x B B 集合的差：集合的差：A A-B=x|x B=x|x A A 且且x x BB 集合的补：集合的补：A=x|x U且且x A微积分(1)集合的并：集合A和集合B中所有的元素组成的集合，称为集合A和集合B的并集并集，记作AB。例A=1,3,5,B=2,4,6,则AB=1,2,3,4,5,6。(2)集合的交：集合A和集合B中公共的元素所组成的集合，称为集合A与集合B的交集交集，记作AB。微积分（3）集合的差集：属于A但不属
20、于B的元素组成的集合,称为A与B的差集差集，记作A-B。例A=1,2,3,B=2,4,6。则A-B=1,3,B-A=4,6。例A=0,1,2,B=1,2。则A-B=0。例已知A=xlx4,B=xllxl4,B=xl-6x=6或-6x=4,A-(A-B)=x|4x6或-6x=4=B=xl-6x6。B-A=x|-6x=6,B-(B-A)=A=xlx4,A-（A-B）=B和B-（B-A）=A微积分（4）集合的补集：全集U中不属于集合A的元素组成的集合，称为A的补集补集，记作A。例 R实数全体，P有理数全体,Q无理数全体.则P=Q,Q=P,PQ=R。例 U=1,2,3,4,10,A=2,5,则A=1,
21、3,4,6,7,8,9,10。微积分5 5、集合的运算性质、集合的运算性质(1)补的性质 AA=U,AA=,(A）=A.(2)交换律AB=BA,AB=BA.(3)结合律（AB）C=A(BC),(AB)C=A(BC).(4)分配律（AB）C=(AC)U(BC),(AB)C=(AC)(BC).(5)摩根律 (AB)=AB,(AB)=AB.微积分集合的笛卡尔乘积有序元素组(x,y)集合A与集合B，笛卡尔积AB(x,y)xA，yB，即两个集合中各取一个数组成一个数组集合Aa1,a2,a3集合Bb1,b2他们的笛卡尔积是AB=(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1)
22、,(a3,b2)。微积分函数函数-集合实实数数与与数数轴轴 在在一一条条直直线线上上指指定定了了一一点点作作为为原原点点OO，再再指指定定了了正正向向，此此外外又又规规定定了了单单位位长长度度，这这条条直直线就称为数轴。线就称为数轴。数数轴轴上上的的点点与与实实数数之之间间可可以以建建立立一一一一对对应应的的关关系系。有有时时为为了了形形象象化化起起见见，把把数数x x称称为为点点x x，就是指数轴上与数就是指数轴上与数x x对应的那个点。对应的那个点。1 1-1-10 0OOx x微积分绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:微积分6 6、区间、邻域、区间、邻域区间区间：设
23、a,b是实数，且ab，则集合x|axb称为闭区间，记作a,b；x|axb 称为左开右闭区间，记作(a,b;x|axb 称为左闭右开区间,记作a,b);x|ax+称为右无穷区间,记作(a,+);x|-xa称为左无穷区间,记作（,a）;R=x|-x+称为无穷区间,记作(-,+)。其中，a称之为左端点，b称之为右端点。微积分函数函数-集合闭区间：a,b=x|axba,b=x|axb开区间：(a,b)=x|axb(a,b)=x|axb左闭右开区间：a,b)=x|axba,b)=x|axb左开右闭区间：(a,b=x|axb(a,b=x|axb有有限限区区间间OOx xa ab bOOx xa ab bO
24、Ox xa ab bOOx xa ab b微积分有限区间长度的定义区间长度的定义:有限区间两端点间的距离有限区间两端点间的距离(线段的长度线段的长度),),即有限区间右端点即有限区间右端点b b与左端点与左端点a a的差的差b-ab-a称为区间的长度称为区间的长度.微积分函数函数-集合a,+a,+)=x|ax)=x|ax(-(-,b=x|xb,b=x|xb(-(-,b)=x|xb,b)=x|xb无无限限区区间间实数集实数集(-(-,+,+)=x|-)=x|-x+x+OOx xa aOOx xb b(a,+(a,+)=x|ax)=x|axOOx xb bOOx xa a微积分函数函数-集合邻邻域
25、域U(a,)=x|x-a|=x|a-xa+=(a-,a+)称为点a的邻邻域域。a称为邻域的中心，称为邻域的半径。xaa-a+例例：(2,1)=x|x-2|1=x|1x3=(1,3)x213=1=1微积分函数函数-集合空空心心邻邻域域U0(a,)=x|0|x-a|=x|a-xa 或或 axa+=(a-,a)U(a,a+)称为点a的空心邻域空心邻域。xaa-a+例例：U0(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或或2x0tgx 0tgx1x (k,k+)解：解：xk+22x(k+,k+)42x (k+,k+),k=0,1,2,3,为所求的定义域42微积分例子例子例例1：确定函数y=的定义域。lg
26、(3x-2)1lg(3x-2)03x-203x-21x2/3x1D=(2/3,1)(1,+)例例2：确定函数y=arcsin 的定义域。25-x21x-15+解：解：解：解：x-15125-x2025-x20-4x6|x-1|525-x20-5x0,所以x23x13，故y=x3在(-,+)是单调增加的。当x1x20时x12+x1x2+x220所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23-x1 3=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)当x1x20所以f(x2)-f(x1)0微积分函数函数-函数的性质例例2:2:判断函数y=2y=2x x2 2+1的单调性。解：解：xl、x2R
27、，设xlx2(x1+x2)0f(x1)f(x2)f(x)单调减少单调减少(x1+x2)0当当 xl、x20,+)f(x1)-f(x2)0f(x1)0,a1)对数函数对数函数y=logax(a是常数,a0,a1)三角函数三角函数y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;反三角函数反三角函数y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.0,过(0,0),(1,1),在(0,+)递增1递增,0a1递增,0a1递减微积分函数函数-基本初等函数指数函数指数函数微积分函数函数-基本初等函数对数函数对数函数微积分函数函数-基本初等函数三
28、角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数微积分函数函数-基本初等函数正切函数正切函数余切函数余切函数微积分函数函数-基本初等函数正割函数正割函数余割函数余割函数微积分函数函数-初等函数y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx微积分函数函数-初等函数三角函数三角函数y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;函数定义域值域周期奇偶单调y=sinx(-,+)-1,12奇(-/2+2k,/2+2k)递增(/2+2k,3/2+2k)递减y=cosx(-,+)-1,12偶(+2k,2+2k)递增(2k,+2k)递减y=tgxx/2
29、+k(-,+)奇(-/2+k,/2+k)递增y=ctgxxk(-,+)奇(k,+k)递减y=secxx/2+k(-,-1U1,+)2偶(2k,/2+2k),(/2+2k,+2k)递增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)递减y=cscxxk(-,-1U1,+)2奇(-/2+2k,2k),(2k,/2+2k)递增(/2+2k,+2k),(+2k,3/2+2k)递减微积分函数函数-初等函数y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=arctgx微积分函数函数-基本初等函数反三角函数反三角函数微积分函数函数-基本初等函数微积分习题选讲习题选讲例例设f(x)=1|x|1,g(x)=ex,求fg(x)和gf(x),并画图。Df=(-,+)Wf=-1,0,1Dg=(-,+)Wg=(0,+)DfWg=Wg=(0,+)所以定义域为：D=Dg=(-,+)1|g(x)|1i.ex1i.ex0fg(x)=DgWf=Wf=-1,0,1所以定义域为：D=Df=(-,+)e1|x|1gf(x)=ef(x)=e|x|1gf(x)=ef(x)=微积分函数图像的简单组合与变换迭加翻转放缩平移