经管类微积分第一章函数.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程 微积分 大 学 数 学（一一）第一讲第一讲第一讲第一讲 集合与函数集合与函数集合与函数集合与函数脚本编写、教案制作：上页下页铃结束返回首页 学会思考学会思考尝试研究性的学习方法：尝试研究性的学习方法：提出问题、研究问题、解决问题提出问题、研究问题、解决问题注重持续性学习：注重持续性学习：有计划地安排学习有计划地安排学习借鉴周围同学的学习方法借鉴周围同学的学习方法学习遇到困难怎么办？学习遇到困难怎么办？上页下页铃结束返回首页作业：学号单号的同学单周交作业作业：学号单号的同学单周交作业.成绩：平时：成绩：平时：10，期中：，期中：20，期末：，期末：70.每周第一次上

2、课每周第一次上课前前教作业教作业.学号双号的同学双周交作业学号双号的同学双周交作业.做作业要抄题目，并写出解题过程做作业要抄题目，并写出解题过程.作业本：作业本：五角一本五角一本,写明姓名、班级、学号写明姓名、班级、学号.上页下页结束返回首页铃一、集合一、集合 常量与变量常量与变量 二、函数概念二、函数概念 三、函数的几种特性三、函数的几种特性四、反函数四、反函数1.1 函函 数数上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页集合与集合的元素集合与集合的元素 集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D 等标识.组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,

3、b,c,d 等标识.a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.集合的表示集合的表示 A=a,b,c,d,e,f,g是用列举法表示的.是用描述法表示的.一、集合一、集合 常量与变量常量与变量下页例：例：上页下页铃结束返回首页几个数集几个数集 所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.下页 所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.二二.绝对值与不等式绝对值与不等式从数轴上看：a的绝对值就是a到原点的距离。实数实数a的绝对值定义为：的绝对值定义为：上页下页铃结束返回首页二二.绝对值的

4、性质绝对值的性质定义定义1性质性质解绝对值不等式最后归结为以下两种情形：解绝对值不等式最后归结为以下两种情形：，当，当，其解集为空集，其解集为空集，当，当，其解集为全体实数，其解集为全体实数 ，当当，解集为：，解集为：，解集为：，解集为：当当上页下页铃结束返回首页 数集x|axb称为开区间,记为(a,b),即(a,b)=x|axb.a,b=x|axb称为闭区间.a,b)=x|axb及(a,b=x|a0,则称区间(a,a+)为点a的邻域,记作U(a,),其中点a称为邻域的中心,称为邻域的半径.去心邻域去心邻域U(a,)=x|0|xa|.。U(a,)=x|axa+=x|xa=x|xa|.下页到点到

5、点 的距离小于的距离小于 的点的集合的点的集合邻域邻域 某一点 处附近的很小的变化范围上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页例例1 求点2的0.1邻域.解解:上页下页铃结束返回首页作业 P42.(1)(3)(4)(5)(6)1.两大题均未未要求画图上页下页铃结束返回首页 常量与变量用什么符号不是绝对的,但应尊重数学的习惯.变量变量 在我们所研究的问题中,可以取不同数值的量叫做变量.通常用字母x,y,z等表示变量.2.常量与变量常量与变量常量常量 在我们所研究的问题中,始终只取同一数值的量叫做常量.通常用字母 a,b,c等表示常量.首页上页下页铃结束返回首页1.函数的定义函数的定义 当自变

6、量 取遍 定义域 A 中所有的数值时，相应得到的所有的函数值 所组成的数集被称为是函数的值域值域.存在存在 Exist任意任意 Arbitrary上页下页铃结束返回首页求函数的定义域举例求函数的定义域举例 解解:要使函数有意义,必须x0,且x240.解不等式得|x|2.函数的定义域为 D=x|x|2,或D=(,22,+).定义域的确定定义域的确定:下页因此，函数的定义域为因此，函数的定义域为求函数的定义域举例求函数的定义域举例:3.函数的图形函数的图形 在坐标系xOy内,集合 C=(x,y)|y=f(x),xD所对应的图形称为函数y=f(x)的图形.上页下页铃结束返回首页 如果自变量在定义域内

7、任取一个数值时,对应的函数值问题只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数.以后凡是没有特别说明时,函数都是指单值函数.4.函数举例函数举例 例例1.在直角坐标系中,由方程x2+y2=r2确定了一个函数.对于任意x(r,r),对应的函数值有两个:下页上页下页铃结束返回首页 此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(,+),其值域为W=0,+).例例3.例例2.函数 y=2.这是一个常值函数,其定义域为D=(,+),其值域为W=2.下页 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.分段函数分段函数

8、上页下页铃结束返回首页 此函数称为符号函数,其定义域为D=(,+),其值域为W=1,0,1.例例5.函数y=x.此函数称为取整函数,其定义域为D=(,+),其值域为W=Z.例例4.下页上页下页铃结束返回首页 例例6.这是一个分段函数,其定义域为 D=0,1(1,+)=0,+).f(3)=1+3=4.首页这也是分段函数，其定义域为这也是分段函数，其定义域为 yOx111221o有理数点有理数点无理数点无理数点1xy3)狄利克雷函数狄利克雷函数(Dirichlet)上页下页铃结束返回首页 设函数y=f(x)在区间I上有定义,x1及x2为区间I上任意两点,且x1x2.如果恒有f(x1)f(x2),则

9、称f(x)在I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.下页三、函数的几种特性三、函数的几种特性例如例如,函数函数 y=x 3 在在(-,+)内单调增加。内单调增加。而而函函数数 y=2 x 2+1在在区区间间(-,0内内单单调调减减少少；在在区区间间0,+)内单调增加。内单调增加。二、奇偶性二、奇偶性偶函数偶函数偶函数的图形关于偶函数的图形关于 y 轴对称。轴对称。yxox-x奇函数奇函数 奇函数的图形奇函数的图形关于原点对称。关于原点对称。yxox-x上页下页铃结束返回首页试用定义说明函数例例解解是否具有奇偶性任意取故该函数是奇函数。定义！上页下页铃结束返回首页 如果函数f(

10、x)在区间 I上满足f(x)K1,则称f(x)在 I上有上界,而称K1为 f(x)在 I上的一个上界.3.函数的有界性函数的有界性 如果函数f(x)在区间 I上满足f(x)K2,则称f(x)在 I上有下界,而称K2为 f(x)在 I上的一个下界.如果函数f(x)在区间 I上满足|f(x)|K,则称f(x)在 I上有界.如果这样的K不存在,则称f(x)在 I上无界.下页上页下页铃结束返回首页 f(x)=sin x在(,+)上是有界的:函数的有界性举例函数的有界性举例下页11p2ppy=sin x|sin x|1.如果函数f(x)在区间 I上满足|f(x)|K,则称f(x)在 I上有界,或称 f(

11、x)是有界函数在在上是无界的。如果函数f(x)在区间 I上满足|f(x)|K,则称f(x)在 I上有界,或称 f(x)是有界函数上页下页铃结束返回首页4.函数的周期性函数的周期性 设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(x+l)=f(x),则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点:首页通常周期函数的周期是指其通常周期函数的周期是指其最小正周期最小正周期.一、反函数一、反函数 定义定义 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，值域为，值域为Z。如果对。如果对于每个于每个 y Z，存在唯一，存在唯一x D，使，使 f

12、(x)=y，则，则 x是一个是一个定义在定义在Z上的函数，称为上的函数，称为y=f(x)的反函数，记为的反函数，记为x=f-1(y)。这样这样函数函数y=f(x)与函数与函数x=f-1(y)互为反函数。互为反函数。将将x与与y互换，就得所求反函数为互换，就得所求反函数为例例1 1 求求y=3x-1的反函数。的反函数。解解 由于习惯上总是把自变量记为由于习惯上总是把自变量记为x,因变量记为因变量记为y,故故习惯上习惯上常常常常将将x与与y互换，互换，记函数记函数y=f(x),x D的反的反函数为函数为:y=f-1(x),x Z.直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对

13、称.上页下页铃结束返回首页思考思考:什么样的函数存在反函数？提示提示:单调函数下页一、反函数一、反函数 定义定义 设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，值域为，值域为Z。如果对。如果对于每个于每个 y Z，存在唯一，存在唯一x D，使，使 f(x)=y，则，则 x是一个是一个定义在定义在Z上的函数，称为上的函数，称为y=f(x)的反函数，记为的反函数，记为y=f-1(x)。x-x y翻转 在在(-,+)内内，y=x2 不不是是一一一一对对应应的的函函数数关关系系,所所以以它没有反函数。它没有反函数。在在(0,+)内内y=x2有反函有反函数数 在在(-,0)内，内，y=x2有反函数有反

14、函数 上页下页铃结束返回首页反函数反函数的性质的性质:下页穿衣服，脱衣服。设设 求求 （96年数学二）解解由当时，得到，由当时，得到，由当，得到因此所以反函数为 时，上页下页铃结束返回首页作业P138.(1)9.请预习第二二章第一、二节作业P208.高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第二讲第二讲第二讲第二讲 初等函数复合函数初等函数复合函数初等函数复合函数初等函数复合函数脚本编写、教案制作：上页下页结束返回首页铃一、幂函数一、幂函数二、指数函数与对数函数二、指数函数与对数函数三、三角函数与反三角函数三、三角函数与反三角函数四、复合函数四、复合函数 初等函数初等函

15、数1.2 初等函数初等函数上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、幂函数一、幂函数 函数y=xm(m是常数)叫做幂函数.幂函数的定义域:与常数m有关,但函数在(0,+)内总有定义.常见的幂函数:y=x,y=x2,y=x3,y=x1,.首页上页下页铃结束返回首页二、指数函数与对数函数二、指数函数与对数函数 常用的指数函数为y=ex.1.指数函数指数函数 函数y=ax(a是常数,且a0,a1)叫做指数函数.指数函数的定义域:D=(,+).单调性:若a1,则指数函数单调增加;若0a0,a1).对数函数的定义域是区间(0,+).自然对数函数:y=ln x=loge x.首页对数恒等式对数恒等式

16、a10a1y=logax上页下页铃结束返回首页11p2pp11p2pp三、三角函数与反三角函数三、三角函数与反三角函数1.三角函数三角函数正弦函数正弦函数:y=sin x余弦函数余弦函数:y=cos xy=sin xy=cos x常用的三角函数常用的三角函数下页上页下页铃结束返回首页余切函数余切函数:y=cot x正切函数正切函数:y=tan xpppp余弦函数余弦函数:y=cos x三、三角函数与反三角函数三、三角函数与反三角函数1.三角函数三角函数常用的三角函数常用的三角函数正弦函数正弦函数:y=sin x下页上页下页铃结束返回首页正割函数正割函数上页下页铃结束返回首页余割函数余割函数上页

17、下页铃结束返回首页三、三角函数与反三角函数三、三角函数与反三角函数余切函数余切函数:y=cot x正切函数正切函数:y=tan x余弦函数余弦函数:y=cos x1.三角函数三角函数常用的三角函数常用的三角函数正弦函数正弦函数:y=sin x正割函数正割函数:余割函数余割函数:下页2.反三角函数概念反三角函数概念定义域为1,1,值域上页下页铃结束返回首页定义域为1,1,值域xy定义域为 ,值域反余切函数反余切函数xy定义域为 ,值域取最值函数取最值函数yxoyxo如如：可看作由可看作由复合而成。复合而成。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。注：不是任何函数都可以复合成一个函数。设设 y=f(

18、u)=arcsin u，u=g(x)=2+x2，不能复合。不能复合。二、复合函数二、复合函数注意复合次序：注意复合次序：复合可以多次进行。复合可以多次进行。例例3 3例例4 4的复合。的复合。上页下页铃结束返回首页 反过来，利用复合函数的概念，可以将个较复杂的函数，看成两个或两个以上简单函数的复合结果并将此过程称为复合函数的分解其中u、v 都是中间变量.复合而成反之，给出函数，可以分解为其中u、v 都是中间变量装机器拆机器上页下页铃结束返回首页都是初等函数.例如,函数2.基本初等函数与初等函数基本初等函数与初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数

19、.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数,称为初等函数初等函数.首页上页下页铃结束返回首页分解它分解为以下几个函数:例例1414解解复合函数分解到什么时候为止？最后分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.每一步相关函数都是基本初等函数.以上过程称为 对复合函数的分解 例例2 2分段函数是初等函数吗？分段函数是初等函数吗？解解不是初等函数；不是初等函数；符号函数符号函数是初等函数，因为是初等函数，因为 分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段分段函数可能是初等函数，也可能不是。分段只是一种形式，不是函数的新类型。只是一种形式，不是函

20、数的新类型。例例1 1是初等函数吗？是初等函数吗？利用对数恒等式利用对数恒等式解解是初等函数。是初等函数。一般地，一般地，幂指函数幂指函数也是初等函数：也是初等函数：例例7 7(1)解解(2)例例8 8解解所以所以于是于是则则解解例例3 3实例实例例例1 1解解综上所述综上所述例例1 1解解上页下页铃结束返回首页五、简单函数关系的建立五、简单函数关系的建立在用数学方法解决实际问题时，首先需要建立这个问题的数学模型，就是将问题中变量之间的依赖关系用数学公式表达出来，也就是建立变量间的函数关系然后应用有关的数学知识或其他相关知识分析、综合，以达到解决问题的目的上页下页铃结束返回首页 例 考虑工厂生

21、产某种产品的总成本C与该产品生产数量之间的相依关系它们之间的关系往往可以由公式 给定这里 即是生产该产品的固定成本，它与生产出多少产品无关，为一常数；a是每生产一个单位产品的成本，为一个固定的常数当生产数量 在 内任意取定 个整数值时，由上式就可以确定此时的总成本的相应数值 例例8 8 某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过不超过20公斤，每公斤公斤，每公斤10元；购买不超过元；购买不超过200公斤，公斤，其中超过其中超过20公斤的部分，每公斤公斤的部分，每公斤7元；购买超过元；购买超过200公公斤的部分，每公斤斤的部分，每公斤5元。试写出购买量

22、为元。试写出购买量为x公斤的费用公斤的费用函数函数C(x).解解上页下页铃结束返回首页 例 一房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月 180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元 时,就有一套公寓租不出去，而租出去的每套公寓每 月需花费20元的维护费试建立每个月房租与房地产公 司的总收入之间的关系 解 设房租为x元月(x180，190，200)，出租房总收人为R元易知总收入R等于(房租维护费)乘以租出去的公寓的套数另外，由题设可知，房租为x元月时可租出去的公寓套数为 套因此总收入为 请同学们预习下一章第一、二节请同学们预习下一章第一、二节上页下页铃结束返回首页作业 P266.(2)(3)(5)作业 P351.(7)2.(2)(3)不必写出定义域不必写出定义域