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1、11.1.问题的提出：问题的提出：已知一个各边权值均大于已知一个各边权值均大于0 0的带权有向的带权有向图，对每一对顶点图，对每一对顶点 v vi i v vj j，要求求出，要求求出v vi i 与与v vj j之间的之间的最短路径和最短路径长度。最短路径和最短路径长度。2.解决办法解决办法方法一方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法算法n次次 T(n)=O(n)方法二方法二：弗洛伊德：弗洛伊德(Floyd)算法算法2求最短路径步骤求最短路径步骤初始时设置一个初始时设置一个n n阶方阵，令其对角线元素为阶方阵，令其对角线元素为0 0，若存在
2、弧，若存在弧 ，则对应元素为权值；否则则对应元素为权值；否则为为 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值原值所有顶点试探完毕，算法结束所有顶点试探完毕，算法结束3.Floyd算法思想：逐个顶点试探法算法思想：逐个顶点试探法 从图的带权邻接矩阵从图的带权邻接矩阵G.arcsG.arcs出发，假设求顶点出发，假设求顶点ViVi到到VjVj的最短路径。如果从的最短路径。如果从ViVi到到VjVj有弧，则从有弧，则从ViVi到到VjVj存在一条长度为存在一条长度为G.arcsi
3、jG.arcsij的路径，但该路的路径，但该路径是否一定是最短路径，还需要进行径是否一定是最短路径，还需要进行n n次试探。次试探。1.第一次，判别（Vi,V0）和（V0，Vj ），即判别(Vi,V0,Vj）是否存在，若存在，则比较（Vi,Vj）和(Vi,V0,Vj）的长度，取长度较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。2.第二次，再加一个顶点V1，如果(Vi,V1）和(V1,Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么(Vi,V1,Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从Vi到Vj之间顶点序号不大于0的最短路径相比较，取较短
4、者为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。3.第三次，再加一个顶点V2，继续进行试探。V2V3V0V1123456890 1 2 3 0123 0 1 2 4 0 0 9 2 3 5 0 8 0 1 6 0 8888D(-1)=D(-1)为有向网的邻接矩阵 第一步:以D(-1)为基础，以V0为中间顶点，求从Vi到Vj的最短路径。该路径或者为从Vi到Vj的边,或者为(Vi,V0)+(V0,Vj)。D(0)ij=minD(-1)ij,D(-1)i0+D(-1)0j47D(0)=D(0)ij 为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于中间顶点序号不大于0 0的最短路径长度.V0V2V3V0V1123
5、45689 以D(0)为基础，以V1为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。该路径或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0或V1到达Vj的最短路径。D(1)ij=minD(0)ij,D(0)i1+D(0)1j0 1 2 3 0123 0 1 2 4 0 0 9 2 3 5 0 8 0 1 6 0 8888A(-1)=47D(0)=1036D(1)=V0V1V0V1V2V3V0V112345689 以D(1)为基础，以V2为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2到达Vj的最短路径。D(2)ij=minD(1)ij,D(1)i2+
6、D(1)2j0 1 2 3 0123 0 1 2 4 0 0 9 2 3 5 0 8 0 1 6 0 8888A(-1)=47A(0)=1036D(1)=D(2)=12 910V0V1V20 1 2 3 0123 0 1 2 4 0 0 9 2 3 5 0 8 0 1 6 0 8888A(-1)=47A(0)=1036A(1)=D(2)=12 910D(3)=V2V3V0V112345689 以D(2)为基础，以V3为中间顶点，求从Vi,到Vj的最短路径。或者为从Vi到Vj的边,或者为从Vi开始通过V0,V1,V2,V3到达Vj的最短路径。D(3)ij=minD(2)ij,D(2)i3+D(2
7、)3j 9 11 8V3V2V0V1 D(3)ij 即为从Vi到Vj的最短路径长度.9ACB2643110 4 116 0 23 0初始：初始：路径：路径：AB ACBA BCCA0 4 66 0 23 7 0加入加入B：路径：路径：AB ABCBA BCCA CAB0 4 116 0 23 7 0加入加入A：路径：路径：AB ACBA BCCA CAB0 4 65 0 23 7 0加入加入C：路径：路径：AB ABCBCA BCCA CAB例题：例题：10例例ACB264311初始：初始：0 4 116 0 23 0length=0 1 12 0 23 0 0path=加入加入A：0 4 1
8、16 0 23 7 0length=0 1 12 0 23 1 0path=加入加入B：0 4 66 0 23 7 0length=0 1 22 0 23 1 0path=加入加入C：0 4 65 0 23 7 0length=0 1 23 0 23 1 0path=11 4.4.4.4.论点：论点：A A(-1)(-1)i ij j 是从顶点是从顶点v vi i 到到v vj j,中间顶点是中间顶点是 v v1 1的最短路径的长度的最短路径的长度,A A(k k)i ij j 是从顶点是从顶点v vi i 到到v vj j,中间顶点的序号不大于中间顶点的序号不大于k k的最短路径的长度的最短
9、路径的长度,A A(n-1n-1)i ij j 是从顶点是从顶点v vi i 到到v vj j 的最短路径长度。的最短路径长度。证明：证明：归纳证明，始归纳于归纳证明，始归纳于s(s(上角标上角标););(1)(1)归纳基础：当归纳基础：当s=-1 s=-1 时，时，A A(-1)(-1)i ij j=EdgeEdge i ij j,v vi i 到到v vj j,不经过任何顶点的边，是最短路径。不经过任何顶点的边，是最短路径。(2)(2)归纳假设：当归纳假设：当sksk时，时，A A(s)(s)i ij j 是从顶点是从顶点v vi i 到到v vj j,中间顶点的序号不大于中间顶点的序号不
10、大于s s的最短路径的长度的最短路径的长度;(3)(3)当当s=ks=k时，时，12 ijkA(k-1)ikA(k-1)kjA(k-1)ij因为：因为：因为：因为：A A A A(k k k k)i i i ij j j j=min =min =min =min A A A A(k k k k-1)-1)-1)-1)i i i ij j j j ，A A A A(k k k k-1)-1)-1)-1)i i i ik k k k+A A A A(k k k k-1)-1)-1)-1)k k k kj j j j 由归纳假设知：由归纳假设知：由归纳假设知：由归纳假设知：A A A A(k k k
11、 k-1)-1)-1)-1)i i i ij j j j:是是是是i i i i到到到到j j j j的最短路径的最短路径的最短路径的最短路径(标号不高于标号不高于标号不高于标号不高于k-1)k-1)k-1)k-1)；A A A A(k k k k-1)-1)-1)-1)i i i ik k k k:是是是是i i i i到到到到k k k k的最短路径的最短路径的最短路径的最短路径(标号不高于标号不高于标号不高于标号不高于k-1)k-1)k-1)k-1)；A A A A(k k k k-1)-1)-1)-1)k k k kj j j j:是是是是k k k k到到到到j j j j的最短路径
12、的最短路径的最短路径的最短路径(标号不高于标号不高于标号不高于标号不高于k-1)k-1)k-1)k-1)；所以：所以：所以：所以：A A A A(k k k k)i i i ij j j j 是是是是i i i i到到到到j j j j的最短路径的最短路径的最短路径的最短路径(标号不高于标号不高于标号不高于标号不高于k)k)k)k)。13图用邻接矩阵存储图用邻接矩阵存储edge 存放最短路径长度存放最短路径长度pathij是从是从Vi到到Vj的最短路径上的最短路径上Vj前一顶点序号前一顶点序号5.算法实现算法实现void floyd()for(int i=0;i n;i+)/矩阵矩阵dist与
13、与path初始化初始化 for(int j=0;j n;j+)/置置A(-1)distij=Edgeij;pathij=-1;/初始不经过任何顶点初始不经过任何顶点 for(int k=0;k n;k+)/产生产生dist(k)及及path(k)for(i=0;i n;i+)for(j=0;j n;j+)if(distik+distkj distij)distij=distik+distkj;pathij=k;/缩短路径缩短路径,绕过绕过 k 到到 j /floyd 146.6.算法分析：算法分析：设最内层循环体为基本操作，算法有三层循环，设最内层循环体为基本操作，算法有三层循环，每层循环每层
14、循环n n次，所以次，所以T(n)=O(nT(n)=O(n3 3)1516 以以以以 PathPath(3)(3)为例，对最短路径的读法加以说明。为例，对最短路径的读法加以说明。为例，对最短路径的读法加以说明。为例，对最短路径的读法加以说明。从从从从A A(3)(3)知，顶点知，顶点知，顶点知，顶点1 1到到到到0 0的最短路径长度为的最短路径长度为的最短路径长度为的最短路径长度为a a10=11,10=11,其最短路径看其最短路径看其最短路径看其最短路径看 pathpath110 0=2 2，pathpath112 2=3 3，path path 113 3=1 1,表示表示表示表示顶点顶点顶点顶点0 0 顶点顶点顶点顶点2 2 顶点顶点顶点顶点3 3 顶点顶点顶点顶点1;1;从顶点从顶点从顶点从顶点1 1到顶点到顶点到顶点到顶点0 0最短路径为最短路径为最短路径为最短路径为1,3,。