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1、9.2.3 总体集中趋势的估计复习回顾 为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的为了了解总体的情况，前面我们研究了如何通过样本的分布规律估计总体的分布规律分布规律.但有时候但有时候，我们可能我们可能不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某不太关心总体的分布规律，而更关注总体取值在某一方面的特征一方面的特征.例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年例如，对于某县今年小麦的收成情况，我们可能会更关注该县今年小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布小麦的总产量或平均每公顷的产量，而不是产量的分布；对于一个国家国民的身对于一个国家国民的身高情况，
2、我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布高情况，我们可能会更关注身高的平均数或中位数，而不是身高的分布；等等等等.在初中的学习中我们已经了解到在初中的学习中我们已经了解到，平均数平均数、中位数中位数和众数等都是刻画和众数等都是刻画“中心中心位置位置”的量的量，它，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.下面我们通过具体实例下面我们通过具体实例进一步了解这些量的意义进一步了解这些量的意义，探究它们之间的联系与区别探究它们之间的联系与区别，并根据样本的集中趋势并根据样本的集中趋势估计总体估计总体的集中趋势的集中趋势.复习回顾平均数：平均数：反映所有
3、数据的平均水平的数据反映所有数据的平均水平的数据叫做平均数叫做平均数.中位数：把中位数：把处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数处在最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做中位数叫做中位数.众数：众数：出现次数最多的数据出现次数最多的数据叫做众数叫做众数.例析例例4.4.利用利用9.2.19.2.1节中节中100100户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的户居民用户的月均用水量的调查数据，计算样本数据的平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数平均数和中位数，并据此估计全市居民用户月均用水量的平均数和中位数.新知探索思考思考1 1：小明用统计软
4、件计算了小明用统计软件计算了100100户居民用水量的平均数和中位数，但在录入户居民用水量的平均数和中位数，但在录入数据时数据时，不小心把一个数据不小心把一个数据7.77.7录成了录成了7777.请计算录入数据的平均数和中位数，请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大？你能解释其中并与真实的样本平均数和中位数作比较，哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？的原因吗？新知探索思考思考2 2：平均数和中位数都描述了数据的集中趋势平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布它们的大小关系和数据分布的形态有关的形态有关.在在下图下图的三
5、种分布形态中的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存平均数和中位数的大小存在什么关系？在什么关系？一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称一般来说，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边的，那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾拖尾”，那，那么平均数大于中位数；如果直方图在左边么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾拖尾”，那么平均数小于中位数，那么平均数小于中位数.也就是说，也就是说，和中位数相比，平均数总是在和中位数相比，平均数总是在“长尾巴长尾巴”那边那边.例析例例5.5
6、.某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如表所示.如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中平均数和众数中，哪个量比较合适？哪个量比较合适？试试讨论用表中的数据估计全国高一年级女讨论用表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性生校服规格的合理性.校服规格校服规格155155160160165165170170
7、175175合计合计频数频数39641679026386例析解解：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据：为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图来表示表中的数据.可以发现，可以发现，选择校服规格为选择校服规格为“165165”的女生的频数最高，所以用众数的女生的频数最高，所以用众数165165作为该校高一年级作为该校高一年级女生校服的规格比较合适女生校服的规格比较合适.由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理
8、.例析 众数众数只利用了出现次数最多的那个值的信息只利用了出现次数最多的那个值的信息.众数众数只能告诉我们只能告诉我们它它比其他值比其他值出现的次数多，但并未告诉我们出现的次数多，但并未告诉我们它它比别的数值多的程度比别的数值多的程度.因此，因此，众数众数只能传递数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感据中的信息的很少一部分，对极端值也不敏感.一般一般地，地，对对数值型数据数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述集中趋势的描述，可以用可以用平均数、中位数平均数、中位数；而对于而对于分类型数据分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级如校服
9、规格、性别、产品质量等级等等)集中趋势的描述集中趋势的描述，可以用可以用众数众数.新知探索思考思考3 3：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众：样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始数据数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始数据.例如，我们在报纸、网络上例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图获得的往往是已经整理好的统计表或统计图.这时该如何估计样本的平均数、中这时该如何估计样本的平均数、中位数和众数？你能以图位数和众数？你能以图9.219.21中频率分布直方图提供的信息为例，给出
10、估计方中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗？法吗？在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的在频率分布直方图中，我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，此时，通常假设通常假设它它们在组内均匀分布们在组内均匀分布.这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.因为样本因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布，所以在频率分布直方图中，直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点
11、的横坐标与小矩形的面积的样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和乘积之和近似代替近似代替.新知探索新知探索新知探索新知探索 以上我们讨论了平均数、中位数和众数等特征量在刻画一组数据的集中趋势时以上我们讨论了平均数、中位数和众数等特征量在刻画一组数据的集中趋势时的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体的特征量的方法的各自特点，并研究了用样本的特征量估计总体的特征量的方法.需要注意的是，这需要注意的是，这些特征量有时也会被利用而产生误导些特征量有时也会被利用而产生误导.例如，假设你到人力市场去找工作，有一个企例如，假设你到人力市场去找工作，有一个企业老板告诉你业老板告诉
12、你,“,“我们企业员工的年平均收入是我们企业员工的年平均收入是2020万元万元”，该如何理解这，该如何理解这句话句话？这句话是真实的，但这句话是真实的，但它它可能描述的是差异巨大的实际情况可能描述的是差异巨大的实际情况.例如，可能这个企业例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数和平均数差不多的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数和平均数差不多；也可能也可能是绝大多数员工的年收入较低是绝大多数员工的年收入较低(如如绝大多数是绝大多数是5 5万元左右万元左右)，而少数员工的年收入很高，而少数员工的年收入很高，甚至达到甚至达到100100万万元，元，这句话是真
13、实的，但这句话是真实的，但它它可能描述的是差异巨大的实际情可能描述的是差异巨大的实际情新知探索况况.例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数和例如，可能这个企业的工资水平普遍较高，也就是员工年收入的中位数、众数和平均数差不多平均数差不多；也可能是绝大多数员工的年收入较低也可能是绝大多数员工的年收入较低(如如绝大多数是绝大多数是5 5万元左右万元左右)，而，而少数员工的年收入很高，甚至达到少数员工的年收入很高，甚至达到100100万万元，元，在这种情况下年收入的平均数就比在这种情况下年收入的平均数就比中位中位数大得多数大得多.尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均
14、数更合理尽管在后一种情况下，用中位数或众数比用平均数更合理些些，但但这个企业这个企业的老板为了招揽员工的老板为了招揽员工，却用了平均数却用了平均数.所以，我们所以，我们要强调要强调“用数据说话用数据说话”，但同时又要防止被数据误导，但同时又要防止被数据误导，这就需要掌，这就需要掌握更多的统计知识和方法握更多的统计知识和方法.新知探索辨析辨析1 1：判断正误：判断正误.1.1.一组数据中的平均数和中位数都不一定是原始数据中的数一组数据中的平均数和中位数都不一定是原始数据中的数.().()2.2.样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点
15、对应的数据.().()3.3.若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变改变.().()答案：答案：，.新知探索辨析辨析2 2：七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84,79,86,87,84,93,8484,79,86,87,84,93,84，则，则这组分数的中位数和众数分别是（这组分数的中位数和众数分别是（）.A.A.84,85 84,85 B.B.84,84 84,84 C.C.85,84 85,84 D.85,85D.85,85答案：答案：B B
16、.辨析辨析3 3：已知一组数据已知一组数据7.5,8.0,8.4,7.8,8.37.5,8.0,8.4,7.8,8.3，那么这组数据的平均数为，那么这组数据的平均数为_._.答案：答案：8.08.0.练习题型一：众数、中位数、平均数的计算题型一：众数、中位数、平均数的计算例例1.1.(1)(1)一组样本数据为：一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,2719,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众，则这组数据的众数和中位数分别为数和中位数分别为().().A.14A.14，14 B.1214 B.12，14 C.14,15
17、.5 D.12,15.514 C.14,15.5 D.12,15.5答案：答案：A.A.答案：答案：D.D.练习方法技巧：方法技巧：平均数、众数、中位数的计算方法平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.【注】如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值【注】如果样本平均数远大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值.练习变变1.(1)1.(1)某学习小组在一
18、次数学试验中，得某学习小组在一次数学试验中，得100100分的有分的有1 1人，人，9595分的有分的有1 1人，人，9090分的分的有有2 2人，人，8585分的有分的有4 4人，人，8080分和分和7575分的各分的各1 1人，则该学习小组成绩的平均数、众数、人，则该学习小组成绩的平均数、众数、中位数分别是中位数分别是（）.A.85A.85分、分、8585分、分、8585分分 B.B.8787分、分、8585分、分、8686分分C.C.8787分、分、8585分、分、8585分分 D.D.8787分、分、8585分、分、9090分分答案：答案：C.C.变变1.(2)1.(2)某校在一次学生
19、演讲比赛中，共有某校在一次学生演讲比赛中，共有7 7个评委，学生最后得分为去掉一个最个评委，学生最后得分为去掉一个最高分和一个最低分的平均分高分和一个最低分的平均分.某某学生所得分数为学生所得分数为9.69.6，9.49.4，9.69.6，9.79.7，9.79.7，9.59.5，9.69.6，这组数据的众数是，这组数据的众数是_，该学生最后得分为该学生最后得分为_._.答案：答案：9.6,9.6.9.6,9.6.练习题型二：频率分布直方图中集中趋势参数的计算题型二：频率分布直方图中集中趋势参数的计算例例2.2.某校从参加高二年级学业水平测试的某校从参加高二年级学业水平测试的800800名学生
20、中抽出名学生中抽出8080名学生，其数学成绩名学生，其数学成绩(均为整数均为整数)的的频频率分布直方图如图所示率分布直方图如图所示.(1)(1)求这次测试数学成绩的众数；求这次测试数学成绩的众数；(2)(2)求这次测试数学成绩的中位数；求这次测试数学成绩的中位数；(3)(3)求这次测试数学成绩的平均数；求这次测试数学成绩的平均数；(4)(4)试估计这次测验高二年级试估计这次测验高二年级8080分以上分以上的学生人数的学生人数.练习练习练习练习变变2.2.某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所
21、示的频率分布直方图制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第已知图中从左到右的第一、二、三、四、五一、二、三、四、五小小组的频率分别是组的频率分别是0.300.30，0.400.40，0.150.15，0.100.10，0.05.0.05.求：求：(1)(1)高一参赛学生成绩的众数，中位数；高一参赛学生成绩的众数，中位数；(2)(2)高一参赛学生的平均成绩高一参赛学生的平均成绩.练习求：求：(1)(1)高一参赛学生成绩的众高一参赛学生成绩的众数，中位数；数，中位数；练习求：求：(2)(2)高一参赛学生的平均成绩高一参赛学生的平均成绩.课堂小结1.1.众数、中位数、平均数的比较众数、中位
22、数、平均数的比较名称名称优点优点缺点缺点平均数平均数与中位数相比，平均数反与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更息，对样本中的极端值更加敏感加敏感任何一个数据的改变都会引任何一个数据的改变都会引起平均数的改变起平均数的改变.数据越数据越“离群离群”，对平均数的影响越，对平均数的影响越大大中位数中位数不受少数几个极端数据不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数即排序靠前或靠后的数据据)的影响的影响对极端值不敏感对极端值不敏感众数众数体现了样本数据的最大集体现了样本数据的最大集中点中点众数只能传递数据中的信息众数只能传递数据中的信息的很少一部分，
23、对极端值不的很少一部分，对极端值不敏感敏感课堂小结2.2.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)(1)平均数平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和标与小矩形的面积的乘积之和近似代替近似代替.(2)(2)中位数中位数：在频率分布直方图中，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，也就是也就是50%50%分位数分位数.(3)(3)众数众数：众数是众数是最高小矩形底边的中点最高小矩形底边的中点所对应的数据所对应的数据.作业