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1、 专题 1函数与导数、不等式第讲 不等式及线性规划 一.瞄准高考1.不等式的基本性质(1)对称性：abbb,bcac.(3)加法法则：abacbc. (4)乘法法则：ab,c0acbc.ab,c0acb,cdacbd.(6)同向同正可乘性：ab0,cd0acbd.(7)幂运算法则：ab0anbn(nQ).2.一元二次不等式(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来,不要死记硬背,二次函数的图象是联系“二次型”的纽带.(2)与一元二次不等式有关的恒成立问题,通常转化为根的分布问题,求解时一定要借助二次函数的图象,一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、
2、区间端点函数值的符号.3.基本不等式(1)a,bR,a2b22ab,当且仅当ab时等号成立.(2)若a,b均是正数,则,当且仅当ab时等号成立.4.线性规划问题解决线性规划问题的关键之一是弄清楚目标函数中z的含义,一般地经过变换目标函数式直线的斜截式方程后,这条直线在y轴上的截距就可以用z来表示,根据这个截距就可以确定目标函数在什么位置取得最大值和最小值.二.解析高考题型一 解不等式例1.已知关于的不等式,其中.(1)当变化时,试求不等式的解集；(2)对于不等式的解集,若满足(其中为整数集).试探究集合能否为有限集？若能,求出使得集合中元素个数最少的的所有取值,并用列举法表示集合；若不能,请说
3、明理由.【解答】：(1)当时,；当且时,；当时,；(不单独分析时的情况不扣分)当时,.（2） 由(1)知：当时,集合中的元素的个数无限；当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集. 因为,当且仅当时取等号,所以当时,集合的元素个数最少.此时,故集合.【变式】(2009天津卷)设0b(ax)2的解集中的整数恰有3个,则a的取值范围是 .【解析】(xb)2(ax)2,(a21)x22bxb20.又a10,a1.不等式变形为(a1)xb(a1)xb1,b0,0,01,x,23,即2a2b3a3.1a0,a恒成立,则a的取值范围是 .【解析】a对任意x0恒成立,设ux3,只需a恒成立即可.x0,u
4、5(当且仅当x1时取等号).由u5知00恒成立,则利用二次不等式恒成立解决.体现了转化与化归的数学思想方法.题型三含参不等式恒成立问题例3 设函数f(x)=ex-.(1) 证明:f(x)的导数f(x) 2;(2) 若对所有的x0,都有f(x)ax,求a的取值范围.解：（）的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）（）令，则，（）若，当时，故在上为增函数，所以，时，即（）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是【探究提高】已知不等式恒成立求参数范围的问题,涉及函数、方程、不等式,综合性强,常利用以下结论解决:若f(x)m对任意xD恒成立
5、,则f(x)minm；若f(x)m对任意xD恒成立,则f(x)maxm(x21)对满足|m|2的所有实数都成立,求x的取值范围.【解析】不等式变为m(x21)(2x1)0,即f(m)m(x21)(2x1)0在m|2m2上恒成立,故解得xf(1)的解集是 .解析原不等式化为或,所以原不等式的解集为(3,1)(3,),3. 设集合Mx|0,若2M,则实数a的取值范围为_.解析Mx|0,2M,0或a210.由0,得0,3a0,直线b2xy10与ax(b24)y2=0互相垂直,则ab的最小值为_.5. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则实数s的取值范围是 .【解析】 先作出表示的区域如图所示,再
6、据条件yxs及原不等式组表示的平面区域为三角形,可知直线yxs应介于两虚线的两侧,故有0s2或s4.6. (2010福建卷)设不等式组所表示的平面区域是1,平面区域2与1关于直线3x4y90对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B,|AB|的最小值等于 .【解析】由题意知,所求的|AB|的最小值,即为区域1中的点到直线3x4y90的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,可看出点(1,1)到直线3x4y90的距离最小,故|AB|的最小值为24.7. (2010台州市期末质评)已知实数满足则的取值范围是 .8. (2010扬州中学期中)已知关于的一元二次不等式的解集为,则(其中)的
7、最小值为 .解析:准确理解一元二次不等式解集所提供的信息,可知其对应二次方程的判别式=4-4ab=0,即ab=1.这样6.故填6.9. (2010杭绍金温衢七校联考)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本(万元)与年产量(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为,已知此生产线年产量最大为210吨。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)生产每吨产品的平均成本为：,由于,5分当且仅当时,即时等号成立。6分答：
8、年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元；7分(2)设年利润为,则10分,12分由于在上为增函数,故当时,的最大值为1660。年产量为210吨时,可获得最大利润1660万元。14分10. 已知函数f(x)ax3x2cxd(a,c,dR)满足f(0)0,f(1)0,且f(x)0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值；(2)若h(x)x2bx,解不等式f(x)h(x)0；(3)是否存在实数m,使函数g(x)f(x)mx在区间m,m2上有最小值5？若存在,求出实数m的值；若不存在,请说明理由.解(1)f(0)0,d0,f(x)ax2xc.又f(1)0,ac.f(x)0在R上恒成立,即ax2xc0
9、恒成立,ax2xa0恒成立,显然当a0时,上式不恒成立.a0,即即解得：a,c.(2)ac.f(x)x2x.f(x)h(x)0,即x2xx2bx0,即x2(b)x0,即(xb)(x)时,解集为(,b),当b时,解集为(b,),当b时,解集为.(3)ac,f(x)x2x,g(x)f(x)mxx2(m)x.该函数图象开口向上,且对称轴为x2m1.假设存在实数m使函数g(x)f(x)mxx2(m)x在区间m,m2上有最小值5.当m1时,2m11,m舍去,故m3.当1m1时,m2m1m2,函数g(x)在区间m,2m1上是递减的,而在区间2m1,m2上是递增的,g(2m1)5.即(2m1)2(m)(2m1)5,解得m或m,均应舍去.当m1时,2m1m2,函数g(x)在区间m,m2上递减,g(m2)5,即(m2)2(m)(m2)5.解得m12或m12.其中m12应舍去,故m12.综上可得,当m=3或m=12时,函数g(x)f(x)mx在区间m,m2上有最小值5.