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1、第 6 讲 双曲线【2013 年高考会这样考】1考查利用基本量求双曲线的标准方程，考查双曲线的定义、几何图形 2考查求双曲线的几何性质及其应用【复习指导】本讲复习时，应紧扣双曲线的定义，熟练掌握双曲线的标准方程、几何图形以及简单的几何性质、近几年高考多以选择题填空题进行考查 基础梳理 1双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0；(1)当ac时，P点不存在 2双曲线的标准方程
2、和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图 形 性 质 范 围 xa或xa，yR xR，ya或ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线 ybax yabx 离心率 eca，e(1，)，其中ca2b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2a2b2(ca0，cb0)一条规律 双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e 2双曲线的两条渐近
3、线互相垂直(位置关系)两种方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a、2b或 2c，从而求出a2、b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴上还是在y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2y2n2(0)，再根据条件求的值 三个防范(1)区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆a，b，c关系，在椭圆中a2b2c2，而在双曲线中c2a2b2.(2)双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率e(0,1)(3)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是ybax，y2a2x
4、2b21(a0，b0)的渐近线方程是yabx.双基自测 1(人教 A 版教材习题改编)双曲线x210y221 的焦距为()A3 2 B4 2 C3 3 D4 3 解析 由已知有c2a2b212，c2 3，故双曲线的焦距为 4 3.答案 D 2(2011安徽)双曲线 2x2y28 的实轴长是()A2 B2 2 C4 D4 2 解析 双曲线 2x2y28 的标准方程为x24y281，所以实轴长 2a4.答案 C 3(2012烟台调研)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程为()Ay 2x By2x Cy22x Dy12x 解析 由题意得b1，c
5、 3.a 2，双曲线的渐近线方程为ybax，即y22x.答案 C 4(2011山东)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50 相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 A.x25y241 B.x24y251 C.x23y261 D.x26y231 解析 圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是 2，双曲线的渐近线方程是bxay0，根据已知得3ba2b22，即3b32，解得b2，则a25，故所求的双曲线方程是x25y241.答案 A 5(2012银川质检)设P是双曲线x2a2y291 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x2y0，F1、F2分别是双
6、曲线的左、右焦点，若|PF1|3，则|PF2|等于_ 解析 由渐近线方程y32x，且b3，得a2，由双曲线的定义，得|PF2|PF1|4，又|PF1|3，|PF2|7.答案 7 考向一 双曲线定义的应用【例 1】(2011四川)双曲线x264y2361 上一点P到双曲线右焦点的距离是 4，则点P到左准线的距离是_ 审题视点 利用双曲线的第一定义和第二定义解题 解析 由已知，双曲线中，a8，b6，所以c10，由于点P到右焦点的距离为 4,4ac18，所以点P在双曲线右支上由双曲线定义，可知点P到左焦点的距离为 28420，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有20dca108，
7、故d16.答案 16 由双曲线的第一定义可以判断点P的位置关系，在利用第二定义解题时，要注意左焦点与左准线相对应，右焦点与右准线相对应【训练 1】(2012太原重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x24y2121 上一点M的横坐标为 3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_ 解析 由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为 4.答案 4 考向二 求双曲线的标准方程【例 2】(2012东莞调研)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为 26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则
8、曲线C2的标准方程为()A.x242y2321 B.x2132y2521 C.x232y2421 D.x2132y21221 审题视点 抓住C2上动点满足的几何条件用定义法求方程 解析 由题意知椭圆C1的焦点坐标为：F1(5,0)，F2(5,0)设曲线C2上的一点P.则|PF1|PF2|8.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为x242y2321.答案 A (1)当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，求方程时应分类讨论，或者将方程设为mx2ny21(mn0)(2)已知双曲线的渐近线方程bxay0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a2y2(0)根据其他条件确定的值若求得0
9、，则焦点在x轴上；若求得0，则焦点在y轴上【训练 2】(2012郑州模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程是y 3x，它的一个焦点与抛物线y216x的焦点相同则双曲线的方程为_ 解析 双曲线的渐近线为y 3x，ba 3，双曲线的一个焦点与y216x的焦点相同 c4.由可知a24，b212.双曲线的方程为x24y2121.答案 x24y2121.考向三 双曲线的几何性质的应用【例 3】(2011浙江)已知椭圆C1：x2a2y2b21(ab0)与双曲线C2：x2y241 有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则(
10、)Aa2132 Ba213 Cb212 Db22 审题视点 取一条C2的渐近线，将其与C1联立求得弦长|AB|，令|AB|23a，方可得出结论 解析 依题意a2b25，根据对称性，不妨取一条渐近线y2x，由 y2x，x2a2y2b21，解得xab4a2b2，故被椭圆截得的弦长为2 5ab4a2b2，又C1把AB三等分，所以2 5ab4a2b22a3，两边平方并整理得a211b2，代入a2b25 得b212.答案 C 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜
11、率与离心率的关系，如kbac2a2ac2a21e21.【训练 3】(2010辽宁)设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，则此双曲线的离心率为()A.2 B.3 C.312 D.512 解析 设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，F(c,0)，B(0，b)，则kBFbc，双曲线的渐近线方程为ybax，bcba1，即b2ac，c2a2ac，e2e10，解得e1 52.又e1，e512.答案 D 难点突破 21高考中椭圆与双曲线的离心率的求解问题 离心率是圆锥曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆或双曲线的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆和双曲线的离心率问题难点的根本方法【示例 1】(2010广东)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45 B.35 C.25 D.15【示例 2】(2011福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于()A.12或32 B.23或 2 C.12或 2 D.23或32