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1、材 材 材 材 料 料 料 料 力 力 力 力 学 学 学 学 工 工 程 程 力 力 学 学 教 教 研 研 室室4 拉（压）杆的变形.胡克定律 杆件在轴向拉压时：沿轴线方向产生伸长或缩短纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变横向变形1、纵向变形LL =LLL =xyCOABxz 线应变:当杆沿长度非均匀变形时 当杆沿长度非均匀变形时 ACBxxdxdxxxxx =0lim 绝对变形 受力物体变形时，一点处沿 某一方向微小线段的相对变 形 当杆沿长度均匀变形时当杆沿长度均匀变形时 纵向线应变(无量纲)一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形一、等直杆在轴向拉伸或压缩时的变形实验表明：在材料的线弹性范围
2、内，L与外力F 和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。胡克定律 在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。EALFLN=：拉抗（压）刚度 EAAFN=LL =当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。()=iiiNiEALFLALLEA =NFLLEA =E =在计算L的L长度内，FN,E,A 均为常数。2、横向变形 横向线应变 b=b1b 泊松比泊松比bb1 =bb =因因 和和 的符号总是相反的。故可知的符号总是相反的。故可知 =几种常用材料几种常用材料v的值可查表得到 的值可查表得到 二二变截面杆在轴向拉伸或压
3、缩时的变形变截面杆在轴向拉伸或压缩时的变形 微元法()+=+=+LSxddLSxLSddddLdSddLSS11121212如图示，截面尺寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重 如图示，截面尺寸沿轴线变化缓慢，且外力作用线与轴线重 合，我们在杆件中取出合，我们在杆件中取出dx微段，由于微段，由于dx非常微小。故非常微小。故()()()ExAdxxFldN =微元法从而，整个杆件的伸长为：从而，整个杆件的伸长为：()()=lNExAdxxFl三三、等直杆在分布力系作用下的变形、等直杆在分布力系作用下的变形 如图，等直杆，外力为如图，等直杆，外力为F，自重集度，自重集度 为为q，长度为，长度为L，
4、容重为，容重为 弹性模量为弹性模量为E，容许应力为容许应力为 求：伸长求：伸长 l。微元法 lF lFF)()(xdFxFNN+)(xFNdxAdx Ax x)(xFN分析分析此题与上面一题非常相似，由于自重的影响，杆内各横截 面的轴力不相等，故不能直接应用，而必须从杆的长 度为dx的微段出发，略去无穷小量dFN(x)，用公式，并利用积分求 得 LEAlFlN=作微段的受力分析如图所示，利用虎克定律可得微段dx的伸长 为：()()dxxAFEEAdxxFdxN +=1EALWFdxxAFEll +=+=210 对上式两边按杆件长度进行积分，即可求得整个杆件的伸长量 为：图示为一端固定的橡胶板条
5、，若在加力前在 板表面划条斜直线AB，那么加轴向拉力后 AB线所在位置是?（其中abABce）例题 例题 例题 例题 2 2.9 9 2 2.9 9?BbeacdAae.因各条纵向纤维的应变相等，所以上边纤维长，伸长量也大。例：图示直杆，其抗拉刚度为EA，试 求杆件的轴向变形L，B点的位移 B 和C点的位移 C FBCALL例 例 例 例 题 题 题题2.102.10?FEAFLLABB=EAFLBC=计算图示变截面杆的轴向变形计算图示变截面杆的轴向变形Fl2l22l3Faaaa/2已知：F=15kN，l=1m，a=20mm,E=200GPa求：l解：kN30221 =FFFNNN153kFF
6、N=FNx30kN15kN222231mm200,mm400=AaAAm1,m5.0231=lll?=+=+=333222111321EAlFEAlFEAlFllllNNNmm844.00094.075.01875.0 =+=作轴力图331122例 例 例 例 题 题 题题2.112.11?计算图示变截面杆的轴向变形计算图示变截面杆的轴向变形LF已知：弹性模量E，下表面面积A0，上表面面积A1，高L和载荷F)/ln()(0101AAAAEFLL =FFN=1、内力分析 求：L)()(xEAdxFdxN=LLNdxxEAFdxL00)()(xLAAAxA010)(+=x dx 解：2、变形计算
7、若考虑自重（自练自练）例 例 例 例 题 题 题题2.122.12?图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆，B点受荷载P作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移 B。1、已经测出CD杆的轴向应变；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.B1C1DFCALLaB22刚杆 例题 例题 例题例题2.132.13?1.已知 aLCD =aLCD =aLCDB 22=2.已知EA EAaFLNCDCD=0=Am02=LFFLNCDFFNCD2=EAFaLCDB42=NCDFABAB长2m,面积为200mm 长2m,面积为200mm 2 2。ACAC面积为250mm 面积为250mm 2 2。E E
8、=200GPa。=200GPa。F F=10kN。试求节点=10kN。试求节点A A的位移。的位移。=0yFkN202sin/1=FFFN 解：解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象平杆为2杆）取节点A为研究对象kN32.173cos12 =FFFNN =0 xF0cos21=+NNFF 0sin1=FFN 2、根据胡克定律计算杆的变形。2、根据胡克定律计算杆的变形。1mmm101102001020021020369311111=AElFlNA A F F1NF2NFxy30 30 0 0mm6.0m106.01025010200
9、732.11032.17369322222=AElFlN斜杆伸长 斜杆伸长 水平杆缩短水平杆缩短 例 例 例 例 题 题 题题2.142.14?3、节点A的位移（以切代弧）3、节点A的位移（以切代弧）A A F F1NF2NFxy30 30 0 01mm11111=AElFlNmm6.022222=AElFlNAA 1A2AA A1A2Amm111=lAAmm6.022=lAAmm6.02=lx mm039.3039.1230tan30sin21433=+=+=+=?llAAAAy mm1.3039.36.02222=+=+=yxAA 3A4A图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 平位置上
10、，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点 处受荷载F作用，试求B点的位移 B。例题 例题 例题例题2.152.15?ADFBaL/2L/2CB1C1C112CCBBB=1CC cosCC cosCDL 0=AmCDFLLF =cos21 cos2FFNCD=EALFLCDNCDCD =2cos2 =EAaF 3cos4EAFaB=NCDF一一、基本概念、基本概念 大家都知道，我们用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就 大家都知道，我们用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就 能带动指针的转动，从而显示时间。在这里，我们给发条上劲的过 能带动指针的转动，从而显示时间。在这里，我们给发条上劲的过 程，实际上
11、就是我们对发条做功的过程，在这个过程中，发条逐渐 程，实际上就是我们对发条做功的过程，在这个过程中，发条逐渐 聚集了一种能量，当我们停止对发条作功后，这种能量就会被逐渐 聚集了一种能量，当我们停止对发条作功后，这种能量就会被逐渐 地释放出来对手表的指针做功，推动指针转动。上述提到的发条实 地释放出来对手表的指针做功，推动指针转动。上述提到的发条实 际上就是一种际上就是一种弹性体弹性体。上述例子的物理意义：上述例子的物理意义：弹性体在外力作用下会产生变形。在变 弹性体在外力作用下会产生变形。在变 形过程中，外力所作的功将转变为储存于弹性体内的能量。当外力 形过程中，外力所作的功将转变为储存于弹性
12、体内的能量。当外力 逐渐减小，变形逐渐消失时，弹性体又是将释放能量而作功。逐渐减小，变形逐渐消失时，弹性体又是将释放能量而作功。上面所提到的这种能量，因为是在弹性体变形过程中产生的，上面所提到的这种能量，因为是在弹性体变形过程中产生的，因此我们就称其为因此我们就称其为变形能变形能。1、引例、引例 2-5 拉（压）杆内的应变能FFF 应变能:应变能:伴随着弹性变形的增 减而改变的能量 VWV=2、定义 定义 在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形 在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形 能或应变能。能或应变能。11LkF =LkF =FFF1FF tgk=则：则：设直线的斜率
13、为设直线的斜率为k3、变形能的计算、变形能的计算如上图所示，杆件的上端固定，下端作用一外力F，F由零逐 渐增加到F。在比例极限的范围之内，关系见右图。LF 当外力加到F1时，杆件的伸长量用L1表示。当外力加到F+F1时，杆件的伸长量用L1+d(L1)表示。由于F1为无穷小量，在区间(a,b)内我们可近似地认为F1为常量，则在这个区间内外力作的功为：()()()222111111LFlkLdLkLdFWLdFdW =FF1FF从上图中可看出：dW在数值上等于阴影部分abcd的面积，当 我们把拉力F看作是一系列dF1的积累时，则拉力F所作的总功W应 为上述微分面积的总和。即W等于FL线下与水平轴之
14、间区域的面 积。即：即：LFW =21根据功能原理可知：拉力F所作的功应等于杆件所储存的变 形能。（缓慢加载，动能忽略，热能微小，也可忽略）杆件的变形能用U表示，则：LFWU =21（217）由虎克定律由虎克定律：EAFLL=可知：EALFU22=（218）由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存 的变形能都相同，即比能相等，通常比能用u表示。212=ALLFVUu比能比能 E=221 Eu=（线弹性范围内线弹性范围内）单位单位：比能的单位为：J/m3J67.64mmN1067.64)mm25(4)MPa10210()mm102()30cos2N1010()cos2(22323323221=?EAlFEAlFUN 解：解：求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结 求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结 点点A的位移的位移A。已知。已知F=10kN,杆长杆长l=2m，杆径，杆径d=25mm,=30，材料的弹性模量材料的弹性模量E=210GPa。cos221FFFNN=FABC 12例题 例题 例题例题2.162.16?)(mm293.1N10100mmN1067.642233 =FUAUFA=21J67.64mmN1067.643=U而而FABC 12