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1、CNKI:61-1290/N.20110309.0916.001网络出版时间：2011-03-09 09:16网络出版地址：http:/ 卷，第期，第，页，年月 （），：螺旋位错与压电材料椭圆夹杂干涉问题的一般解?常莉红（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 ）摘要：目的讨论无限大均匀压电材料中含有椭圆夹杂在螺旋位错作用下的反平面问题。方法利用分区全纯函数理论、型积分、奇性主部分析方法以及 边值理论进行讨论。结果与结论给出了螺旋错位与压电材料椭圆夹杂干涉问题的一般解。关键词：压电材料；反平面问题；螺旋错位中图分类号：文献标志码：文章编号：（）犌 犲 狀 犲 狉 犪 犾 狊 狅 犾 狌 狋 犻 狅
2、狀狋 狅 犻 狀 狋 犲 狉 犳 犲 狉 犲 狀 犮 犲狆 狉 狅 犫 犾 犲 犿犫 犲 狋 狑 犲 犲 狀狊 犮 狉 犲 狑犱 犻 狊 犾 狅 犮 犪 狋 犻 狅 狀犪 狀 犱犲 犾 犾 犻 狆 狋 犻 犮 犪 犾 犻 狀 犺 狅 犿 狅 犵 犲 狀 犲 犻 狋 狔狅 犳狆 犻 犲 狕 狅 犲 犾 犲 犮 狋 狉 犻 犮犿 犪 狋 犲 狉 犻 犪 犾 狊 （，）犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋：犃 犻 犿 犕 犲 狋 犺 狅 犱 狊 ，犚 犲 狊 狌 犾 狋 狊 犪 狀 犱犆 狅 狀 犮 犾 狌 狊 犻 狅 狀 犓 犲 狔狑 狅 狉 犱 狊：；犕 犛 犆 ：引言随着新型材料的广泛需求，压电复合
3、材料独特的机电耦合性质，使其广泛用于先进智能结构设计中，但在设计和制作过程中不可避免地出现缺陷，最常见的就是裂纹和夹杂因此对压电复合材料中夹杂问题的研究具有重要的理论意义和一定的应用前景，而椭圆夹杂问题一直是固体力学和材料力学研究领域所关注的，一方面由于椭圆夹杂形状的可变形，可用来描述各种二维尺度比的夹杂，另一方面是解析求解的复杂性，自从 求解了刚性椭圆夹杂问题后，世纪 年代，求得了螺旋错位与刚性夹杂的干涉问题，世纪 年代初，和 相继研究了位错与椭圆弹性夹杂的干涉问题；近年来 和 研究了压电材料中椭圆夹杂与螺旋位错的电弹性耦合问题；蒋持平等人利用分区全纯理论、施瓦兹对称原理与柯西型积分运算，研
4、究与讨论了界面螺旋位错能与位错力，并给出了显式级数解；刘又文等人研究和讨论了复合材料含界面层圆形夹杂内部的一个螺旋位错在夹杂、界面层与基体材料中产生的弹性干涉，利用分区全纯理论等给出了各分区复势的解析关系；文献 研究讨论了压电压磁复合材料椭圆夹杂界面开裂的电磁弹性耦合解。收稿日期：基金项目：宝鸡文理学院重点科研项目（）作者简介：常莉红（），女，宁夏固原人，讲师，研究方向：复分析及其在力学中的应用 ：纵观上述系列椭圆夹杂问题相关的文献，在求解方法上，均采用的是全场级数展开法，虽然求解直接，易掌握，却存在未知系数多，求解繁复的缺点，特别是对于经保角变换的复杂多连通域问题。本文利用分区全纯函数的理论
5、、型积分、应力和位移函数的奇性主部分析、边值问题相结合，求得了各复势函数之间的解析关系，并将问题归结为几个初等复势函数的方程求解，获得了级数形式的一般解。压电方程反平面问题的表示设狓 狅 狔平面为各向同性面，考虑狓，狔和狕方向的所有位移和电场分量都与狕无关，极化方向沿狕轴，即反平面边值问题被看作是反平面位移和平面内电场作用，则在反平面应变状态下的基本方程为，：控制方程狓 狕，狓狔 狕，狔犇狓，狓犇狔，狔，（）其中犻 狕，犇犻（犻狓，狔）分别是应力张量和电位移矢量，而“，”表示应力和位移分量关于变量狓和狔求一阶导数。本构方程狓 狕犇 狓犆 犲 犲 狑，狓，狓，（）狕 狔犇 狔犆 犲 犲 狑，狔，
6、狔，（）其中犆，犲，为压电材料的弹性，压电，介电常数，狑和是反平面位移和平面内电势函数，犻，狑，犻（犻狓，狔）对其变量求一阶导数。记犆犆 犲 犲 。将式（）和（）代入方程（）可得狑。（）设解析函数为（狕）和（狕）则狑（狕），（狕），（）其中狕狓狔，为虚数单位，表示解析函数的实部。这样由（）和（）式可得：狓 狔狔 狕犆（狕）犲 （狕）犇狓犇狔犲（狕）（狕），（）而应变和电场满足：狓 狕狔 狕（狕），犈狓犈狔（狕），式中“”表示求导数，狔 狕，狓 狕，犈狔，犈狓为应变分量和电场分量则在任意弧段上的应力和位移主矢量为：犜犅犃（狓 狕狔狔 狕狓）犆（狕）（狕）犅犃犲（狕）（狕）犅犃犛犅犃（犇狓狔犇狔狓
7、）犲（狕）（狕）犅犃（狕）（狕）犅犃，（）其中犜是应力主矢量，犛是位移主矢量。问题的求解如图所示，在狓 狅 狔无限大压电材料平面内含有另一种压电材料的椭圆形夹杂，夹杂的外部任意点狕处作用一螺旋位错，无穷远处作用着反平面剪应力狓 狕，狔 狕和平面内电场犇狓，犇狔。设夹杂占有区域为犛，夹杂外部基体区域为犛。在两种材料的交界面犔上，应力和电位移是连续的。宝鸡文理学院学报（自然科学版）年在反平面受载状态下，直角坐标位移分量狑犼，应力分量狓 狕 犼，狔 狕 犼，电场分量犇狓 犼，犇狔 犼以及沿任意曲线犃 犅的面力和位移主矢量可由式（）、（）、（）中得到，其中犼，分别表示所对应的夹杂体和基体的分量。采用如
8、下的保角变换狕（）犮（犚犚），（）式中，犮（犪犫），犪（），犚（犪犫犪犫）（），犫犪。将狕平面上沿两焦点（犮，犮）割开的椭圆内部映射到平面内、外半径分别为犚和的圆环内，椭圆的外部映射到单位圆外部，狕平面上的场量经过如上的保角变换变到平面上为：狑犼 犼（），犼 犼（），（）狓 狕 犼狔 狕 犼犆 犼 犼（）狑 犼（）犲 犼 犼（）狑 犼（）犇狓 犼犻 犇狔 犼犲 犼 犼（）狑 犼（）犼 犼（）狑 犼（烅烄烆），（）式中犼（）犼（狑（），犼（）犼（狑（）。犜犼犆 犼犼（）犼（）犅犃犲 犼犼（）犼（）犅犃，犛犼犲 犼犼（）犼（）犅犃 犼犼（）犼（）犅犃，（）其中犼，分别是对应夹杂体和基体中的分量。图
9、无限压电材料中含有椭圆夹杂沿椭圆界面两种介质所受的应力和反平面位移的连续条件在平面上可以表示为：犆 （狋）（狋）犲 （狋）（狋）犆 （狋）（狋）犲 （狋）（狋），狘狋狘，（）犲 （狋）（狋）（狋）（狋）犲 （狋）（狋）（狋）（狋），狘狋狘，（）（狋）（狋）（狋）（狋），狘狋狘，（）（狋）（狋）（狋）（狋），狘狋狘。（）为满足物理狕平面上（犮，犮）段的连续条件，在平面上必须满足：（狋）（珋狋），（狋）（珋狋），狘狋狘犚。（）为了求解方便，在平面上定义：（）（），（）（），狘狘，（）（）（），（）（），狘狘犚。（）第期常莉红螺旋位错与压电材料椭圆夹杂干涉问题的一般解于是边界条件式（）（）可写为：犆
10、 （狋）犆 （狋）犲 （狋）犲 （狋）犆 （狋）犆 （狋）犲 （狋）犲 （狋），狘狋狘，（）犲 （狋）犲 （狋）（狋）（狋）犲 （狋）犲 （狋）（狋）（狋），狘狋狘，（）（狋）（狋）（狋）（狋），狘狋狘，（）（狋）（狋）（狋）（狋），狘狋狘。（）根据解析函数延拓原理，函数犆 （狋）犆 （狋）犲 （狋）犲 （狋）与犲 （狋）犲 （狋）（狋）（狋），犲 （狋）犲 （狋）（狋）（狋）与犲 （狋）犲 （狋）（狋）（狋）以及（狋）（狋）与（狋）（狋），（狋）（狋）与（狋）（狋）分别越过单位圆周互为解析延拓，它们在圆环域犚狘狘犚内除孤立奇点外全纯，如图所示，这样可将问题转化为平面上分区全纯函数的求解。螺旋
11、位错在椭圆的外部的求解当无穷远处受反平面剪切力狓 狕和平面内电位移犇狓犇作用，螺旋位错作用在椭圆外部任意狕处时（狕）犃狕犅（狕狕）（狕），（狕）犃狕犅（狕狕）（狕）狕，狕犛，（）其中犃 犲 犇犆 犲 ，犃犆 犇犲 犆 犲 ，犅犫狕 （），犅犫狕犻（），犫狕为螺旋型位错 矢量。将式（）变换至平面后（）犌（）（），（）犎（）（），狘狘，（）其中犌（）犅（）（犚）犮 犚犃（），犎（）犅（）（犚）犮 犚犃（）全纯。在椭圆内（），（）变至平面后，不计刚体位移（），可分解为如下形式：（）犌狆（）犌狀（），（）犎狆（）犎狀（），犚狘狘，（）其中犌狆（）犽犪犽犽，犌狀（）犽犫犽犽，犎狆（）犽犮犽犽，犎狀（）犽
12、犱犽犽，（）其中犪犽，犫犽，犮犽，犱犽为待定量常量。由式（）有（）犌（）（），狘狘，（）（）犎（）（），狘狘，（）式中犌（）犅）（犚）犆 犚珡犃，（）犎（）犅）（犚）犆 犚珡犃，（）其中（），（）全纯。由式（）有宝鸡文理学院学报（自然科学版）年（）珚（），（）珡（），狘狘犚。（）分别考察由界面面力和界面电位移连续构成的各区全纯函数的边界跳跃值，化为 边值问题后，分别得到这两个分区全纯函数的 型积分表达式，并由此得到：（犆 犆 ）犌 狆（）（犲 犲 ）犎狆（）（犆 犆 ）珚犌狀（）（犲 犲 ）珨犎狀（）（犆 犲 犅）（）（犆 犃犲 犃）犮 犚，（）（犲 犲 ）犌狆（）（）犎狆（）（犲 犲 ）珚犌
13、狀（）（）珨犎狀（）（犲 犅 犅）（）（犲 犃 犃）犮 犚，（）（）犃犮 犚犅犾 狀（）犆犆犆犌狀（）犆犆犆珚犌狆（），狘狘，（）（）犃犮 犚犅犾 狀（）犆犆犆犎狀（）犆犆犆珚犌狆（），狘狘。（）将式（）代入（），并注意到在狘狋狘犚上，狋珋狋犚，将式（）、（）右边展开为级数，再比较其两边的同次幂系数，从而解得犪犽，犫犽，犮犽，犱犽，由此完全确定了应力场和电场分量。当犲 犲 时代入到式子（）（）就得到了弹性材料中的解，这与文献 的结果是一致的。参考文献：，犐 狀 狋 犲 狉 狀 犪 狋 犻 狅 狀 犪 犾犑 狅 狌 狉 狀 犪 犾狅 犳犈 狀 犵 犻 狀 犲 犲 狉 犻 狀 犵犛 犻 狀 犲 狀
14、 犮 犲，（）：，犑 狅 狌 狉 狀 犪 犾 狅 犳犃 狆 狆 犾 犻 犲 犱犕 犲 犮 犺 犪 狀 犻 犮 狊，（）：，犐 狀 狋 犲 狉 狀 犪 狋 犻 狅 狀犑 狅 狌 狉 狀 犪 犾 狅 犳犛 狅 犾 犻 犱犪 狀 犱犛 狋 狉 狌 犮 狋 狌 狉 犲 狊，（）：蒋持平，刘又文，徐耀玲夹杂与基体对界面层螺旋位错的干涉效应应用数学与力学，（）：刘又文，蒋持平含界面层圆形夹杂中螺旋位错的弹性分析固体力学学报，（）：常莉红压电压磁复合材料椭圆夹杂界面开裂的电磁弹性耦合解宝鸡文理学院：自然科学版，（）：王旭，沈亚鹏压电复合材料中的 夹杂问题力学学报，（）：路见可平面弹性复变方法 版武汉：武汉大学出版社，犐 狀 狋 犲 狉 狀 犪 狋 犻 狅 狀 犪 犾犑 狅 狌 狉 狀 犪 犾 狅 犳犈 狀 犵 犻 狀 犲 犲 狉 犻 狀 犵犛 犮 犻 犲 狀 犮 犲，（）：刘又文，宁志华，蒋持平，等螺旋错位与弹性椭圆夹杂干涉问题的一般解答湖南大学学报：自然科学版，（）：（编校：李哲峰）第期常莉红螺旋位错与压电材料椭圆夹杂干涉问题的一般解