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1、1.1.1 1.1.1 变化率问题变化率问题微积分主要与四类问题的处理相关:l一、已知物体运动的路程作为时间的函一、已知物体运动的路程作为时间的函数数,求物体在任意时刻的速度与加速度等求物体在任意时刻的速度与加速度等;l二、求曲线的切线二、求曲线的切线;l三、求已知函数的最大值与最小值三、求已知函数的最大值与最小值;l四、求长度、面积、体积和重心等。四、求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一它是研究导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。问题最一般、最有效的工具。问题问题1 气球膨胀率气球膨
2、胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中,可发现可发现,随着气球内空气容量随着气球内空气容量的增加的增加,气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度从数学的角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r(单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是若将半径若将半径 r 表示为体积表示为体积V的函数的函数,那么那么当空气容量当空气容量V从从0L增加到增加到1L,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2 L,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的
3、平均膨胀率为 随着随着气球体积气球体积逐渐变大逐渐变大,它的平均它的平均膨胀率逐膨胀率逐渐变小渐变小思考?l当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h(单位单位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t(单位单位:s)存在函数关系存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态,那么那么:在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段
4、时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:探探 究究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。定义定义:平均变化率平均变化率:式子式子 称为函数称为函数 f(x)从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.令令x=x2 x1,f=f(x2)f(x1),则则理解：理解：1，式子中，式子中x、f 的值可正、可负，但的值可正、可负，
5、但的的x值不能为值不能为0，f 的值可以为的值可以为02，若函数，若函数f(x)为常函数时，为常函数时，f=0 3,变式变式 思考?l观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线直线AB的斜的斜率率练习练习:1.甲用甲用5年时间挣到年时间挣到10万元万元,乙用乙用5个月时间挣到个月时间挣到2万万元元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?2.已知函数已知函数 f(x)=2 x+1,g(x)=2 x,分别计分别计算在下列区间上算在下列区间上 f(x)及及 g(x)的平均变化率的平均
6、变化率.(1)3,1;(2)0,5 .做两个题吧!l1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A 3 B 3x-(x)2C 3-(x)2 D 3-x Dl2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。2x0+x 小结：小结：l1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率3.1.2 导数的概念l在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能反映他平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用
7、瞬时速度在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为速度称为瞬时速度瞬时速度.又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度t0时时,在在2,2+t 这段这段时间内时间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.
8、00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势势.l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当当 t 趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大还是从大于于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时的瞬时速度
9、.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.表示表示“当当t=2,t趋近于趋近于0时时,平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.从从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度探探 究究:1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即定义定义:函数函数 y
10、=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作或或 ,即即由导数的定义可知由导数的定义可知,求函数求函数 y=f(x)的导数的一般方法的导数的一般方法:1.求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3.3.求值求值一差、二化、三极限一差、二化、三极限 题题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单单位位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8
11、).计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.解解:在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是和和根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,同理可得同理可得 在第在第2h和第和第6h时时,原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5.它说它说明在第明在第2h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以3 /h的速率下降的速率下降;在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 /h的速率上升的速率上升.题题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热需要对原油进行冷却和加热.如果第如果第 x h时时,原油的温度原油的温度(单单位位:)为为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第计算第2h和第和第6h,原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义并说明它们的意义.练习练习:计算第计算第3h和第和第5h时原油的瞬时变化率时原油的瞬时变化率,并说明它并说明它们的意义们的意义.练习：练习：课后思考题：课后思考题：12.函数函数f(x)=|x|在点在点x0=0处是否有导数？若有，求出来处是否有导数？若有，求出来 若没有，请说明理由若没有，请说明理由.