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1、第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工厂的早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工厂的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果得了丰硕的成果微积分的产生微积分的产生. .背景介绍背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学的角度来研究微积分运动学和几何学的角度来研究微积分.微积分靠
2、着解析微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用微积分得到了广泛的应用. 例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等.甚至连历法、农业都与微积分密切相关甚至连历法、农业都与微积分密切相关.更不用说在我更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了们的日常生活中所碰到的那些问题了. 214 96 510?.,:.?shmh ttt 你你看看过过高高台台跳跳水水比比赛赛吗吗照照片
3、片中中锁锁定定了了运运动动员员比比赛赛的的瞬瞬间间已已知知起起跳跳后后运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度单单位位可可用用函函数数表表示示 如如何何求求她她在在某某时时刻刻的的速速 度度 她她距距水水面面的的最最大大高高度度是是多多少少1.1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵内涵. .2.2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵. .（重点）（重点）探究点探究点1 1 变化率问题变化率问题问题问题1 1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程我们都吹过气球，回忆一下吹气球
4、的过程, ,可以发可以发现现, ,随着气球内空气容量的增加随着气球内空气容量的增加, ,气球半径增加得越来气球半径增加得越来越慢越慢. .从数学角度从数学角度, ,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? ?气球的体积气球的体积V(V(单位单位:L):L)与半径与半径r(r(单位单位:dm):dm)之间的函数之间的函数关系是关系是如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数的函数, ,那么那么334( ).Vr V 34( )3V rr，当当V V从从0 0增加到增加到1 1时时, ,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当当V V从从1 1增加到增加到2
5、 2时时, ,气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为100 62( )( ).()rrdm100 6210( )( ).(/).rrdm L (2)(1)0.16()rrdm210 162 1( )( ).(/).rrdm L 显然显然0.620.160.620.16334( )Vr V 我们来分析一下我们来分析一下: :2121r(V )-r(V )V -V思考思考: :当空气容量从当空气容量从V V1 1增加到增加到V V2 2时时, ,气球的平均气球的平均膨胀率是多少膨胀率是多少? ?解析：解析：hto问题问题2 2 高台跳水高台跳水在高台跳水运动中在高台跳水运
6、动中, ,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度h(h(单位：单位：米米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10.00 52.ttv请请计计算算和和1 1时时的的平平均均速速度度解：解：h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+100 50 504 0508 2502212 10.( . )( ).(/. (/ ).( )( )thhvm sthhvm s 在在这这段段时时间间里里，在在1这1这段段时时间间里里，. . . 计算运
7、动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t 思考：思考：(1) (1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗? ?(2) (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗有什么问题吗? ?6501049()( )hh0hvt 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,平均速度不能准确反映她在平均速度不能准确反映她在这段时间里的运动状态这段时间里的运动状态. .hto121)()ff xyxxx 2 2(x(x这里这里xx看作是对于看作是对于x x1 1的一个的一个“增量
8、增量”可用可用x x1 1+x+x代替代替x x2 2同样同样yy=f(x=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )平均变化率定义平均变化率定义: :上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示，表示，我们把这个式子称为函数我们把这个式子称为函数f(xf(x) )从从x x1 1到到x x2 2的的平均变化率平均变化率. .若设若设xx=x=x2 2-x-x1 1, , yy=f(x=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )121)()ff xxx2(x观察函数观察函数f(xf(x) )的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么? ?121)()f xyxxx2f(
9、xOABxyy=y=f(xf(x) )x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=)=y y直线直线ABAB的斜的斜率率又如何求又如何求瞬时速度呢瞬时速度呢? ?探究点探究点2 2 导数的概念导数的概念在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,平均速度不能反映她在这段时间里的平均速度不能反映她在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态. .我们把物体在我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度某一时刻的速度称为瞬时速度. . 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势的
10、变化趋势. .如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? ?105 . 69 . 4)(2ttth求：从求：从2s2s到到(2+(2+t)st)s这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度. .解：解：(2)(2)13.14.9. hvththttt0t0t0时时, ,在在2,2+2,2+tt这段时间内这段时间内1 .139 . 4tv1 .139 . 4tv13.051 v当当t=0.01t=0.01时时, ,13.149v 当当t = 0.01t = 0.01时时, ,13 095 1. v 当当t=0.001t=0.001时时, ,13 104 9. v
11、 当当t =0.001t =0.001时时, ,13.05 99 1 v当当t=0.000 1t=0.000 1时时, ,13.14 009 v当当t =0.000 1t =0.000 1时时, ,13 099 951. v 当当t=0.000 01t=0.000 01时时, ,13 100 049. v 当当t = 0.000 01t = 0.000 01时时, ,13.099 9 5 9 1v 当当t=0.000 001t=0.000 001时时, ,13.100 004 9v 当当t =0.000 001t =0.000 001时时, ,当当tt趋近于趋近于0 0时时, ,平均平均速度有
12、什么变化趋势速度有什么变化趋势? ? 当当t t趋近于趋近于0 0时时, , 即无论即无论t t从小于从小于2 2的一边的一边, , 还还是从大于是从大于2 2的一边趋近于的一边趋近于2 2时时, , 平均速度都趋近于一平均速度都趋近于一个确定的值个确定的值13.1.13.1. 从物理的角度看从物理的角度看, , 时间间隔时间间隔| |t|t|无限变小时无限变小时, , 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于t=2t=2时的瞬时速度时的瞬时速度. . 因此因此, ,运动员在运动员在t = 2t = 2时的瞬时速度是时的瞬时速度是13.1m/s.13.1m/s.v从从2s2s到到(2+(2+
13、t)st)s这段时间内的平均速度这段时间内的平均速度13.14.9hvtt 1 .13 )2()2(lim0ththt表示表示“当当t =2, t =2, t t趋近于趋近于0 0时时, , 平均速度平均速度趋近于确定值趋近于确定值13.1”.13.1”.v0(2)(2)lim13.1ththt 瞬时速度瞬时速度我们用我们用表示表示“当当t=2, t=2, tt趋近于趋近于0 0时时, ,平均速度趋于确定平均速度趋于确定值值-13.1”.-13.1”.局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡度，然后通过取极限，从
14、瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值到瞬时速度的精确值. .探究探究: :1.1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻t t0 0的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示? ?00t0h(tt)h(t )limt 2.2.函数函数f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示? ?导数的概念导数的概念: :一般地，函数一般地，函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是0000()limlimxxf xxf xyxx ( ( ) ) ，我们称它为函数我们称它为函数y=y=f(xf(x) )在在x=xx=x0 0处的导数处的
15、导数, , 记作记作 或或 , , 即即00000y( )() ()limlim. xxf xxf xfxxx )(0 xf 0|xxy0001.f (x )xx 与与 的的值值有有关关，不不同同的的其其导导数数值值一一般般也也不不相相同同. .02.f (x )x 与与的的具具体体取取值值无无关关. .3.瞬瞬时时变变化化率率与与导导数数是是同同一一概概念念的的两两个个名名称称. .【提升总结提升总结】由导数的定义可知由导数的定义可知, , 求函数求函数y=y=f(xf(x) )的导数的一的导数的一般方法般方法: :1.1.求函数的改变量求函数的改变量2.2.求平均变化率求平均变化率3.3.
16、求值求值00()().yf xxf x 00()lim. xyfxx00()().f xxf xyxx 一差、二比、三极限解解: : 在第在第2h2h和第和第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是(2)f (6).f 和和22()( )fxfx 根据导数的定义根据导数的定义, ,2473(),xxxxx 所以所以, ,00(2)limlim(3)3.xxyfxx 同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h2h和第和第6h6h时时, , 原油温度的瞬时变化率原油温度的瞬时变化率分别为分别为3 3和和5. 5. 它说明在第它说明在第2h2h附近附近, , 原油温度
17、原油温度大约以大约以3 /h3 /h的速率下降的速率下降; ; 在第在第6h6h附近附近, ,原油温原油温度大约以度大约以5 /h5 /h的速率上升的速率上升. .CC1.(20141.(2014衡水高二检测衡水高二检测) )函数函数y yx x2 21 1在在11，1 1xx 上的平均变化率是上的平均变化率是( () )A A2 2B B2x C2x C2 2xx D D2 2xx2 2C C2.t 2 2质质点点运运动动规规律律s=t +3,s=t +3,则则在在时时间间(3,3+ t)(3,3+ t)中中相相应应的的平平均均速速度度为为( )( )9 9A.6+ t B.6+ t+A.6
18、+ t B.6+ t+C.3+ t D.9+ tC.3+ t D.9+ tA A解解:000()()2.f xxf xyxxxx 3.3.求求y=xy=x2 2在在x=xx=x0 0附近的平均速度附近的平均速度. . 4.4.过曲线过曲线y=y=f(xf(x)=x)=x3 3上两点上两点P P（1 1，1 1）和）和Q (1+x,1+y)Q (1+x,1+y)作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当xx=0.1=0.1时割线的斜率时割线的斜率. .3322(1)13 3()3 3 0.1 0.13.31.(1) 1 xkxxx解解:2 24 45.5.求求函函数数y =y =. . x x的导
19、数解解22222002222222004444()2()limlim4484()4limlim2() xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 24x 2222084()2() 8limxxxxxxxxxxxx 24()x2222() xxxxxx 22203484lim2() 88.xxxxxxxxxxx 121)()y.ff xxxx 2(x2.2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤 (1)(1)求函数的增量求函数的增量yy=f(x=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1).).(2)(2)计算平均变化率计算平均变化率1.1.函数的平均变化率函数的平均变化率121
20、)()y.ff xxxx 2 2(x(x3.3.求物体运动的瞬时速度求物体运动的瞬时速度（1 1）求位移增量）求位移增量ss= =s(t+t)-s(ts(t+t)-s(t).).（2 2）求平均速度）求平均速度（3 3）求极限）求极限.svt 00 ( )( ). limlimttss tts ttt .yx 00().limxyfxx 4.4.由导数的定义可得求导数的一般步骤由导数的定义可得求导数的一般步骤（1 1）求函数的增量）求函数的增量y=f(xy=f(x0 0+t)-f(x+t)-f(x0 0).).（2 2）求平均变化率）求平均变化率（3 3）求极限）求极限环境不会改变，解决之道在于改变自己。