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1、概率论与数理统计期末试题 一、填空题（每小题 3 分,共 1分）1 设事件BA,仅发生一个的概率为 03，且5.0)()(BPAP，则BA,至少有一个不发生的概率为_.答案:.解：3.0)(BABAP 即 )(25.0)()()()()()(3.0ABPABPBPABPAPBAPBAP 所以 1.0)(ABP 9.0)(1)()(ABPABPBAP.2 设随机变量X服从泊松分布，且)2(4)1(XPXP,则)3(XP_.答案：161e 解答：eXPeeXPXPXP2)2(,)1()0()1(2 由 )2(4)1(XPXP 知 eee22 即 0122 解得 1，故 161)3(eXP 3 设随
2、机变量X在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2XY 在区间)4,0(内的概率密度为)(yfY_.答案:1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它 解答：设Y的分布函数为(),YFyX的分布函数为()XFx，密度为()Xfx则 2()()()()()()YXXF yP YyP XyPyXyFyFy 因为(0,2)XU,所以()0XFy，即()()YXFyFy 故 1,04,14()()()20,.YYXyyfyFyfyy其它 另解 在(0,2)上函数2yx严格单调,反函数为()h yy 所以 1,04,14()()20,.YXyyfyfyy其它 4 设随机变量YX,相互
3、独立，且均服从参数为的指数分布,2)1(eXP，则_，1),min(YXP=_.答案：2,-4min(,)11ePX Y 解答:2(1)1(1)P XP Xee，故 2 min(,)11min(,)1PX YPX Y 1(1)(1)P XP Y 41 e.5 设总体X的概率密度为 其它,0,10,)1()(xxxf 1.nXXX,21是来自X的样本，则未知参数的极大似然估计量为_.答案:1111lnniixn 解答:似然函数为 111(,;)(1)(1)(,)nnniniL xxxxx 1lnln(1)lnniiLnx 1lnln01niidLnxd 解似然方程得的极大似然估计为 1111ln
4、niixn.二、单项选择题（每小题分,共 1分)1设,A B C为三个事件，且,A B相互独立,则以下结论中不正确的是 （)若()1P C，则AC与BC也独立.（）若()1P C，则AC与B也独立.（C）若()0P C，则AC与B也独立.（D）若CB,则A与C也独立.（)答案：(D）.解答:因为概率为的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立,所以(),(B），（）都是正确的,只能选（)事实上由图 可见 A 与 C 不独立.2.设随机变量(0,1),XNX的分布函数为()x，则(|2)PX 的值为 ()21(2).(B）2(2)1.(C）2(2)（D)1 2(2)(）答案：（）解答：(0,1)X
5、N所以(|2)1(|2)1(22)PXPXPX 1(2)(2)1 2(2)121(2)应选（A).3设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是 (A)X与Y独立.(B）()D XYDXDY.(C）()D XYDXDY （D）()D XYDXDY.（）答案：(B)解答:由不相关的等价条件知，0yxcov0 xy），（()+2cov xyD XYDXDY（，）应选(B）.S A B C 4.设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为 (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X YP 若,X Y独立，则,的值为 （A)21,99.（A）12,99.(）11,
6、66 （D)51,1818.（)答案：(）解答:若,X Y独立则有 (2,2)(2)(2)P XYP XP Y 112 1()()()393 9 29，19 故应选（）.5.设总体X的数学期望为12,nXXX为来自X的样本，则下列结论中 正确的是 （A）1X是的无偏估计量.（B）1X是的极大似然估计量.()1X是的相合(一致）估计量.()1X不是的估计量.(）答案:(A）解答：1EX，所以1X是的无偏估计,应选(）.三、（7 分）已知一批产品中 90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为 0 0,一个次品被误认为是合格品的概率为 002,求(1）一个产品经检查后被认为是合格品的概
7、率；(）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解:设A任取一产品，经检验认为是合格品 B 任取一产品确是合格品 则（)()()(|)()(|)P AP B P A BP B P A B 1231111169183112331112918 Y X 0.90.950.1 0.020.857.（2)()0.9 0.95(|)0.9977()0.857P ABP B AP A 四、（2 分）从学校乘汽车到火车站的途中有个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 2/5.设X为途中遇到红灯的次数,求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为 3323()
8、()()0,1,2,3.55kkkP XkCk 即 01232754368125125125125XP X的分布函数为 0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.xxF xxxx 263,55EX 231835525DX .五、（1分）设二维随机变量(,)X Y在区域(,)|0,0,1Dx yxyxy 上服从均匀分布 求(1）(,)X Y关于X的边缘概率密度;(2)ZXY的分布函数与概率密度.解:(1）(,)X Y的概率密度为 2,(,)(,)0,.x yDf x y其它 1 D 0 1 z x y x+y=1 x+y=z D1 22,01()(,)0,Xxx
9、fxf x y dy其它 ()利用公式()(,)Zfzf xzx dx 其中2,01,01(,)0,xzxxf x zx 其它2,01,1.0,xxz 其它.当 0z 或1z 时()0Zfz 01z时 00()222zzZfzdxxz 故Z的概率密度为 2,01,()0,Zzzfz其它.Z的分布函数为 200,00,0,()()2,01,01,1,1.1,1zzZZzzfzfy dyydyzzzzz 或利用分布函数法 10,0,()()()2,01,1,1.ZDzFzP ZzP XYzdxdyzz 20,0,01,1,1.zzzz 2,01,()()0,ZZzzfzFz其它.六、(分)向一目标
10、射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立,且均服从2(0,2)N分布 求（1)命中环形区域22(,)|12Dx yxy的概率;(2)命中点到目标中心距离22ZXY的数学期望.x z z=x 解：（1),)(,)DP X YDf x y dxdy 22222880111248xyrDedxdyerdrd 2221122888211()8rrredeee ；(2)22222281()8xyEZEXYxyedxdy 2222880001184rrrerdrder dr 2228880021222rrrreedredr 七、(1 分)设某机器生产的零件长度(单位：c)2(,)X
11、N,今抽取容量为 16 的样本,测得样本均值10 x，样本方差20.16s.(1）求的置信度为 0.的置信区间;(2）检验假设20:0.1H（显著性水平为 0.0).（附注)0.050.050.025(16)1.746,(15)1.753,(15)2.132,ttt 2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.解:(1）的置信度为1下的置信区间为 /2/2(1),(1)ssXtnXtnnn 0.02510,0.4,16,0.05,(15)2.132Xsnt 所以的置信度为.5 的置信区间为(.7868,0.2132）(2)20:0.1H的拒绝域为22(1)n 221515 1.6240.1S，20.05(15)24.996 因为 220.052424.996(15)，所以接受0H.x y 0 1 2