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1、1/8 佛山学习前线教育培训中心 抛物线的定义与性质 一、抛物线的定义与标准方程 抛物线的定义：平面与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。标准方程 22ypx（0p）22ypx（0p）22xpy（0p）22xpy（0p）图形 焦点,02p,02p 0,2p 0,2p 准线 2px 2px 2py 2py 对称轴 x轴 y轴 顶点 0,0 离心率 1e 例 1、指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1）)0(2aayx （2）221yx 练习 1 1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过 P（-2，-4）的抛物线方程。x y O
2、 F xy O F x y O F x y O F 2/8 2、若动圆与圆22(2)1xy外切，又与直线10 x 相切，求动圆圆心的轨迹方程。3、设抛物线过定点0,2A，且以直线2x为准线。求抛物线顶点的轨迹C的方程；二、抛物线的性质 例 2、若抛物线xy2上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（）A12(,)44 B12(,)84 C12(,)44 D12(,)84 练习 2 1、抛物线xy102的焦点到准线的距离是（）A25 B5 C215 D10 2、若抛物线28yx上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。A(7,14)B(14,14)C(7,2 14)D(7,2
3、 14)3、抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，焦点在直线 3x-4y-12=0 上，此抛物线的方程是 ()A、xy162 B、xy122 C、xy162 D、xy122 4、设抛物线28yx的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足 如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=()(A)4 3(B)8 (C)8 3 (D)16 3/8 三、抛物线中的最值问题 例 3、若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线xy22的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF 取 得最小M的坐标为（）A0,0 B1,21 C2,1 D2,2 练习 3 1、设AB为过抛物线)0(22ppxy的焦点的弦，则A
4、B的最小值为（）A2p Bp Cp2 D无法确定 2、若点A的坐标为(2,3)，F是抛物线xy22的焦点，点M在抛物线上移动时，使MAMF 取 得最小距离为 3、在抛物线24yx上求一点 p，使这点到直线45yx的距离最短，则点 P 坐标为。4、已知(0,4),(3,2)AB，抛物线28yx上的点到直线AB的最段距离 5、已知抛物线22(0)yPx P，点 A(2,3)，F 为焦点，若抛物线上的动点 M 到 A、F 的距离之和的最小 值为10，求抛物线方程.4/8 四、抛物线的应用 例 4、抛物线22xy 上两点),(11yxA、),(22yxB关于直线mxy对称，且2121 xx，则m等于（
5、）A23 B2C25 D3 练习 4 1、设抛物线28yx上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是（）A.4 B.6 C.8 D.12 2、设抛物线22yx的焦点为F，以9(,0)2P为圆心，PF长为半径作一圆，与抛物线在x轴上方交于,M N，则|MFNF的值为（）()A8 ()B18 ()C22()D4 3、已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线21yx截得的弦长为15，求抛物线的方程。5/8 四、直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识整理：1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。多数涉与求圆锥曲线的方程、求参数的取值围
6、等等。2解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为 y=kx+b（或斜率不为零时，设 x=my+a）；第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为 A(x1,y1)B(x2,y2);第三步：联立方程组0)y,x(fbkxy，消去 y 得关于 x 的一元二次方程；第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件0二次系数不为零，2121xxxx 第五步：把所要解决的问题转化为 x1+x2、x1x2 ，然后代入、化简。3弦中点问题的特殊解法-点差法：即若已知弦 AB 的中点为 M(xo,yo)，先设两个交点为
7、 A(x1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y,x(f,0)y,x(f2211，两式相减、分解因式，再将o21o212yyy,2xxx代入其中，即可求出直线的斜率。4.弦长公式:x4x)xx)(k1(|xx|k1|AB|212212212(k 为弦 AB 所在直线的斜率)例题分析 1、(2008、文)双曲线221102xy的焦距为（）A.32 B.42 C.33D.43 2.（2004 全国卷文、理）椭圆1422 yx的两个焦点为 F1、F2，过 F1作垂直于x轴的 直线与椭圆相交，一个交点为 P，则|2PF=（）A23 B3C27 D4 3（2006 文）方程2252
8、0 xx的两个根可分别作为（）一椭圆和一双曲线的离心率 两抛物线的离心率 一椭圆和一抛物线的离心率 两椭圆的离心率 4（2006 文、理）直线3 与抛物线xy42交于 A、B 两点，过 A、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P、Q，则梯形 APQB 的面积为（）（A）48.（B）56（C）64（D）72.5.(2007 理)以双曲线116922yx的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是()A.B.C.D.6（2004 全国卷理）已知椭圆的中心在原点，离心率21e，且它的一个焦点与抛物线 xy42的焦点重合，则此椭圆方程为（）6/8 A13422yx B16822yx C1222
9、 yx D1422 yx 7（2005 文、理）双曲线)0(122mnnymx离心率为 2，有一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则mn的值为（）A163B83C316D38 8.(2008 文)若双曲线2221613xyp的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则 p 的值为()(A)2 (B)3 (C)4 (D)42 9（2002 文）已知椭圆1532222nymx和双曲线1322222nymx有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（）Ayx215 Bxy215 Cyx43Dxy43 10（2003 春招文、理）在同一坐标系中，方程)0(0122222babyaxbyax与的曲线大致是()
10、11.（2005 文）若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是0,152，则椭圆的 标准方程是_ 12(2008 文)已知双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线方程为33yx，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为 13.（2007 文）以双曲线15422yx的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 14.(2008 理)已知圆 C 的圆心与抛物线xy42的焦点关于直线xy 对称.直线0234 yx 与圆 C相交于BA,两点，且6AB,则圆 C 的方程为.15（2010，第二次调研）已知圆C方程为：224xy.（1）直线l过点1,2P，且与圆C交于A、B两
11、点，若|2 3AB，求直线l的方程；（2）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQOMON，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.xyxyxyxyOOOOABCD 7/8 16（2010，第三次调研）已知点P是O：229xy上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足23DQDP。（1）求动点Q的轨迹方程；（2）已知点(1,1)E，在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使1()2OEOMON(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由。17（2006 文）椭圆 C:22221(0)xyabab的两个焦点为 F1,F2,点
12、P 在椭圆 C 上，且11212414,|,|.33PFFFPFPF（）求椭圆 C 的方程；()若直线l过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于,A B两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线l的方程.18（2010，市一模）如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上。过点(02)M，作直线l与抛物线相交于AB、两点，且满足 (412)OAOB，()求直线l和抛物线的方程；()当抛物线上一动点P从点A向点B运动时，求ABP面积的最大值 8/8 19(2010,六校第四次联考）已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点12(1,0),(1,0)FF的距离12,PFPF的等差中项为2.（1）求曲线C的方程；（2）直线l过圆2240 xyy的圆心Q与曲线C交于,M N两点，且0ON OM(O为坐标原点)，求直线l的方程.20（2010，二模文）已知两圆2215:(1)4Oxy和22245:(1)4Oxy，动圆 P 与O1外切，且与O2切（1）求动圆圆心 P 的轨迹方程；（2）过点 M(5，0)作直线l与点 P 的轨迹交于不同两点 A、B，试推断是否存在直线l，使得线段 AB 的垂直平分线经过圆心 O2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由