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1、 平面向量的综合应用【课堂导入】如图，在等腰三角形 ABC 中，已知 AB=AC=1，A=120，E，F 分别是边 AB，AC 上的点，且AE=mAB，AF=nAC，其中 m，n(0，1).若 EF，BC 的中点分别为 M，N，且 m+4n=1，则|MN|的最小值为 .解答：连接 AM、AN，等腰三角形 ABC 中，AB=AC=1，A=120，ABAC=|AB|AC|cos120=21 AM 是 AEF 的中线，AM=21(AE+AF)=21(mAB+nAC)同理，可得AN=21(AB+AC)，由此可得MN=ANAM=21(1m)AB+21(1n)AC 2.MN=21(1m)AB+21(1n)
2、AC2=41(1m)2+21(1m)(1n)ABAC+41(1n)2=41(1m)241(1m)(1n)+41(1n)2，m+4n=1，可得 1m=4n 代入上式得2.MN=41(4n)2414n(1n)+41(1n)2=421n223n+41 m，n(0，1)，当 n=71时，2.MN的最小值为71，此时|MN|的最小值为77.故答案为：77 考点：向量在几何中的应用 【知识讲解】1、平面向量的线性运算：2、平面向量的坐标运算：3、平面向量的数量积：【典例分析】【例 1】平面内两个非零向量、，满足|=1，且与的夹角为 135，则|的取值范围是 解答：令用AB=、AC=，如下图所示：则由BC=
3、，又与的夹角为 135，ABC=45 又由 AC=|=1 由正弦定理45sin|sin|C得：|=2sinC2|(0，2 故|的取值范围是(0，2 故答案：(0，2 考点：数量积表示两个向量的夹角【变式 1-1】已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a，b是相互垂直的单位向量，且(ac)(b3c)=1，|c|的最大值为 解答：a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a=(1，0)，b=(0，1)，设c=(x，y)，ac=(1x，y)，3 bc=(x，3y)，(ac)(3 bc)=1，(1x)xy(3y)=1，x2x+y23y=1，(x21)2+(y23)2=2，向量c的轨迹为以(21，23)为圆
4、心，以2为半径的圆，圆心到原点的距离为 1，|c|的最大值为 1+2 故答案为：1+2 考点：平面向量数量积的运算 【变式 1-2】已知|OA|=|OB|=2，且OA OB=1，若点 C 满足|OA+CB|=1，则|OC|的取值范围是 解答：OAOB=1，22cos=1，cos=12.OA，OB的夹角为3.设OA=(2，0)，OB=(22，62)，设OA+OB=OD.则OD=OA+OB=(223，62)，|OD|=6，|OA+CB|=1，|OA+OBOC|=1，即|ODOC|=|CD|=1.C 在以 D 为圆心，以 1 为半径的圆上，|OC|的最小值为61，|OC|的最大值是6+1.故答案为6
5、1，6+1.考点：平面向量数量积的运算 【例 2】已知向量a，满足a=(4，3)，|b|=1，|ab|=21，则向量a，b的夹角为 解答：|a|=916=5，|ab|=21，2.a+2ab+2.b=262ab=21，ab=25.cos=|baba=21.向量a，b的夹角为3.故答案为：3.考点：平面向量数量积的运算【变式 2】已知平面向量a=(x4，x2)，b=(1，xx222)，xR，若ab，则|ab|=解答：平面向量a=(x4，x2)，b=(1，xx222)，xR，若ab，则x4+x22=0，解得：x2=1，a=(1，1)，b=(1，1)ab=(0，2)，|ab|=2，故答案为：2.考点：
6、向量的模【例 3】如图，在 ABC 中，已知BAC=3，AB=2，AC=3，DC=2BD，AE=3，则|BE|=解答：BD=31BC，AE=AD，BE=AEAB=43AD43AB=43(AB+BD)AB=41AB+43BD=41AB+4331BC=41AB+4331(ACAB)=21AB+41AC 2.BE=(21AB+41AC)2=412.AB41ABAC+1612.AC=1613|BE|=413 故答案为：413.考点：平面向量数量积的运算【变式 3-1】在梯形ABCD 中，DCAB2，6|BC，P 为梯形ABCD 所在平面上一点，且满足 04DPBPPA，|DPDACBDA，Q 为边 A
7、D 上的一个动点，则|PQ的最小值为 解答：DCAB2，EBAB2，EBDC，四边形 DEBC 为平行四边形 ，CBDE，04DPBPPA，PEBPAP2 DPPE2，6|BC，DP2，4PE ，31cos，322sin 当ADPD 时，|PQ最小，.考点：向量的几何意义【变式 3-2】O 内接 ABC 中，M 是 BC 的中点，AC=3.若AOAM=4，则AB=解答：因为 O 是 ABC 的外心，O 在 AB、AC 边的射影分别是 AB、AC 的中点，AOAC=|AO|AC|cosOAC=21|AC|2=29 同理，得到AOAB=21|AB|2，AM=21(AB+AC)，AOAM=21(AO
8、AB+AOAC)=41|AB|2+2129=4，|AB|=7.故答案为：7.考点：平面向量数量积的运算 【例 4】在 ABC 中，BD=2DC，若AD=1AB+2AC，则 12的值为 解答：如图所示，BD=2CD，BC=ACAB.AD=AB+BD=AB+32BC=AB+32(ACAB)=31AB+32AC，而AD=1AB+2AC，1=31，2=32.12=3132=92.故答案为：92 考点：向量加减混合运算及其几何意义【变 4-1】如图，已知 ABC 中，AB=AC=4，BAC=90，D 是 BC 的中点，若向量AM=AB41+mAC，且AM的终点 M 在 ACD 的内部(不含边界)，则AM
9、BM的取值范围是 解答：以 AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，作图如右图，点 A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，D(2，2)，则AM=AB41+mAC=41(4，0)+m(0，4)=(1，4m)，则 M(1，4m)，又AM的终点 M 在 ACD 的内部(不含边界)，14m3，41m43，则AMBM=(1，4m)(3，4m)=16m23，41m43，216m23b，MN=2，(ab)2+(ba)2=2，ab=1，a=b+1，0b1 CNCM=(a，2a)(b，2b)=2ab2(a+b)+4=2(b2b+1)，0b1 当 b=0 或 b=1 时有最大值 2；当 b=21时有最小值23 C
10、NCM 的取值范围为23，2 故答案为23，2 考点：平面向量数量积的运算 6、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆(x1)2+(y1)2=4，C 为圆心，点 P 为圆上任意一点，则CPOP 的最大值为 解答：OP=OC+CP OPCP=(OC+CP)CP=OCCP+2.CP 点 P 是圆 C(x1)2+(y1)2=4 上的点 CP的长度等于圆 C 的半径，即|CP|=2，可得CP2=|CP|2=4 又当OC与CP方向相同时，OC CP=|OC|CP|取得最大值 当 P 点在 OC 延长线上时，即点 P 与 P0(1+2，1+2)重合时，OCCP的最大值为|OC|CP|=22 因此CPOP 的
11、最大值为 22+4 故选：22+4 考点：平面向量数量积的运算 7、在 ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 DC=2BD，AB：AD：AC=3：k：1，则实数 k 的取值范围为 解答：AD=32AB+31AC，两边平方得：AD2=94AB2+91AC2+94|AB|AC|cos，(0，)，即 k2=949+911+912cos=937+912cos(925，949)，k0，k(35，37).故答案为：(35，37)考点：平面向量数量积的性质及其运算律 【拓展延伸】1、已知边长为 6 的正三角形 ABC，BD=BC21，BE=AC31，AD 与 BE 交于点 P，则PDPB的值为 解答：等边
12、三角形 ABC 的边长为 6，BD=21BC，AE=31AC，以 BC 为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴，B(3，0)，C(3，0)，A(0，33)，D(0，0)，E(3302，30332)=(1，23)，直线 BE 的方程为 y=23(x+3)，令 x=0，得 y=233，P(0，233)，PB=(3，233)，PD=(0，233)，PDPB=30+(233)(233)=427.故答案为：427 考点：平面向量数量积的运算 2、已知平行四边形 ABCD 中，AD=2，60BAD，若 E 为 DC 中点，且1BDAE，则BDBE 平行四边形 ABCD 中，AD=2，60BAD，若
13、E 为 DC 中点，且1BDAE，则1)()(ABADDEAD，22.2121.ABABADABADAD 解得2|AB BDBE)()21()()(ABADABADABADCEBC=3 答案：3 考点：平面向量数量积的运算 3、设点 O 是 ABC 的三边中垂线的交点，且 AC22AC+AB2=0，则AOBC 的范围是 解答：设圆的半径为 R，AOB 为，AOC 为，则 AB2=AO2+BO22AOBOcos=2R22R2cos，AC2=AO2+CO22AOCO cos=2R22R2cos AOBC=AO(BO+OC)=AOBO+AOBO=R2cosR2cos=222ABAC AC22AC+A
14、B2=0，222ABAC=AC2AC=(AC21)241 AC22AC=AB20，0AC2 41222ABAC 2 BCAO的范围是41，2)故答案为：41，2).考点：三角形五心，平面向量数量积的运算 4、如图，在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m，n 的同侧，且 A 到 m，n 的距离分别为 1，3.点 B.C 分别在 m、n 上，|AB+AC|=5，则ABAC的最大值是 解答：由点 A 位于两平行直线 m，n 的同侧，且 A 到 m，n 的 距离分别为 1，3，可得平行线 m、n 间的距离为 2，以直线 m 为 x 轴，以过点 A 且与直线 m 垂直的直线为 y 轴 建立坐标系，如图
15、所示：则由题意可得点 A(0，1)，直线 n 的方程为 y=2，设点 B(a，0)、点 C(b，2)，AB=(a，1)、AC=(b，3)，AB+AC=(a+b，4).|AB+AC|=5，(a+b)2+16=25，a+b=3，或 a+b=3.当 a+b=3 时，ABAC=ab+3=a(3a)+3=a2+3a+3，它的最大值为4912=421.当 a+b=3 时，ABAC=ab+3=a(3a)+3=a23a+3，它的最大值为4912=421.综上可得，ABAC的最大值为421，故答案为：421 考点：平面向量数量积的运算 5、如图，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB=90，AD=AB=4，C
16、D=1，动点 P 在边 BC上，且满足AP=mAB+nAD(m，n 均为正实数)，则nm11的最小值为 解答：AC=AD+DC=41AB+AD，BC=ACAB=43AB+AD，设BP=BC=43AB+AD(01)，则AP=AB+BP=(143)AB+AD.AP=mAB+nAD，m=143，n=.nm11=344+1=)464)4(3(2814347.当且仅当 3(+4)=464即(+4)2=364时取等号。故答案为：4347.考点：平面向量的基本定理及其意义 6、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，B 分别为 x 轴，y 轴上一点，且 AB=2，若点 P(2，5)，则|AP+BP+OP|
17、的取值范围是 解答：根据题意，设点 A(x1，0)，B(0，y2)，AB=2，21x+22y=4；由点 P(2，5)，|AP+BP+OP=(2x15)+(25y2)+(25)=(6x1，35y2)；(|AP+BP+OP)2=(6x1)2+(35y2)2=8112x165y2+(21x+22y)=8512x165y2；设 x1=2cos，y2=2sin，0，2)；则 8512x165y2=8524cos125sin=8536sin(+)，其中=tan25；当 sin(+)=1 时，|AP+BP+OP|取得最小值3685=7，当 sin(+)=1 时，|AP+BP+OP|取得最大值3685=11；|AP+BP+OP|的取值范围是7，11.故答案为：7，11.考点：向量的模