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1、高三二轮复习强化训练28 平面向量的综合应用一、填空题1在直角坐标系xOy中，若点(1,2)A与动点(,)P xy满足4OPOA.则点P的轨迹方程是2 在ABC中,O是中线AM上的一个动点，若AM=2，则()O AOBO C的最小值是3 自圆222440 xyxy外一点)4,0(P向圆引两条切线,切点分别为A、B，则P A P A等于4已知向量(3,4),(6,3)(5,3),O AO BO Cmm，若点A、B、C能构成三角形，则实数m 应满足的条件是5设O为坐标原点，(2,1)M，点),(yxN满足4335251xyxyx，则cosONM ON的最大值为6在凸四边形ABCD中，AB=4，BC
2、=3，CD=52，且ADC=ABC=90，则BCAD7已知O是ABC内一点，3OAOCOB，则AOB和AOC的面积之比为8已知向量(1,0),(1cos,3sin)O AO B，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是9ABC的外接圆圆心为O，两边上的高的交点为H，()O Hm O AO BO C，则实数m=10 若 对n个 向 量12,aaan，存 在n个 不 全 为 零 的 实 数12,nkkk使1122aaannkkk0，则 称 向 量12,aaan为 线 性 相 关，依 次 规 定，能 使123(1,0),(1,1),(2,2)aaa“线性相关”的一组实数依次为11已知向量1(6,2),
3、(4,)2ab，直线l过点(3,1)A且与向量2ab垂直，则直线l的方程为QPMNCx y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -12如图，四边形MNPQ是C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量CM与PN的夹角为 120，2Q CQM，则C的方程为13设13(,),22aababOAOB，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积是14O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足()|ABACOPOAABAC，0,)，则 P 点的轨迹一定通过ABC（填外心、内心、重心、垂心之一）二、解答题15已知,a b是两个给定的向量，它们
4、的夹角为，向量(cabttR)，求c的最小值，并求此时向量b与c的夹角16如图，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角 取何值时BPC Q的值最大？并求这个最大值P C Q B A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -17已知13(3,1),(,)22ab，存在实数k和t，使得2(3)xabt，yabkt，且xy，若不等式2ktmt恒成立，求m的取值范围18在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线34xy相切（1）求圆的方程；（2）圆O与x轴相交于,A B两点，圆内的动点P使|,|,|PAPOPB成等比数列，求P
5、APB的取值范围名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -19已知抛物线C：24(0)yax a，过点(,0)F a的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点)0,(ak，KA与KB的夹角为，求证：0220椭圆的两焦点分别为1(0,1)F、2(0,1)F，直线4y是椭圆的一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且12|1PFPFm，求1212|PFPFPFPF的最大值和最小值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -答案一、填空题1在直角坐标系xOy中，若点(1,2)A与动点(,)P xy满足4OPOA.则点P
6、的轨迹方程是24xy2 在ABC中,O是中线AM上的一个动点，若AM=2，则()O AO BO C的最小值是 2 3 自圆222440 xyxy外一点)4,0(P向圆引两条切线,切点分别为A、B，则P A P A等于1254已知向量(3,4),(6,3)(5,3),O AO BO Cmm，若点A、B、C能构成三角形，则实数m 应满足的条件是12m5设O为坐标原点，(2,1)M，点),(yxN满足4335251xyxyx，则cosONM ON的最大值为12556在凸四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=52，且ADC=ABC=90，则BCAD273347已知O是ABC内一点，3OAOCOB
7、，则AOB和AOC的面积之比为138已知向量(1,0),(1cos,3sin)O AO B，则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是,32名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -9ABC的外接圆圆心为O，两边上的高的交点为H，()OHm O AOBO C，则实数m=1 10若对n个向量12,aaan，存在n个不全为零的实数12,nkkk使1122aaannkkk0，则称向量12,aaan为线性相关，依次规定，能使123(1,0),(1,1),(2,2)aaa“线性相关”的一组实数依次为4,2,111已知向量1(6,2),(4,)2ab，直线l过点(3,1)A且与
8、向量2ab垂直，则直线l的方程为2390 xy12如图，四边形MNPQ是C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量CM与PN的夹角为120，2Q CQM，则C的方程为224xy13设13(,),22aababOAOB，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积是 1 14O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足()|ABACOPOAABAC，0,)，则 P 点的轨迹一定通过ABC内心（填外心、内心、重心、垂心之一）拓展：1O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOA，()|sin|sinABACABBACC,0,)，则P点的轨迹一定通过A
9、BC的2O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OPOA()|cos|cosABACABBACC,0，则P点的轨迹一定通过ABC的3P是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC的4点O是ABC所在平面内一点，满足222222OABCOBACOCAB，则O是QPMNCx y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 10 页 -ABC的二、解答题15已知,a b是两个给定的向量，它们的夹角为，向量(cabttR)，求c的最小值，并求此时向量b与c的夹角点拨：求|c的最小值，就是求2|c的最小值，于是将问题转化为关于t的二次函数，通过配
10、方可以求出的|c最小值解：因为cabt，所以22222|2|cabaabbttt2222222|cos|()|cos|sin|abaaabt于是，当|cos0|abt，即|cos|abt时，2|c取最小值22|sina，此时|cos()|ab bbabb=|cos|cos0abab，所以bc，此时向量b与c的夹角为90变式 1已知向量,|1aee，对任意tR，恒有aeaet，则下列结论：ae；()aae；()eae；()()aeae，其中正确的一个是变式 2已知ABC，若对任意tR，BAtBCAC，则AC B 90 变式 3 若向量a与c不共线，0ab，且()aacabab，则向量a与c的夹角
11、为 9016如图，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角 取何值时BPC Q的值最大？并求这个最大值点拨：一种思路是通过向量运算将BPC Q朝着PQ与BC的运算上靠拢；另一种思路是通过建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算解法一：ABAC，故0ABAC，因为,APAQBPAPAB C QAQAC所以()()BPCQAPABAQACAPAQAPACABAQABAC=222()aAPACABAPaAPABACaAPCB=2221cos2aPQBCaa故当cos1，即0时，BPC Q的值最大，其最大值为0P C Q B A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师
12、精心整理-第 7 页，共 10 页 -解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴建立直角坐标系设,(,)ABcACb P x y，则(0,0),(,0),(0,)AB cCb，且2,PQaBCa，(,),(,),(,),(2,2)BPxc yCQxybBCc bPQxy所以22()()()()BPCQxcxyybxycxby因为2222cosPQBCcxbycxbyaaPQBC所以2coscxbya，所以22cosBPC Qaa，故当故当cos1，即0时，BPC Q的值最大，其最大值为017已知13(3,1),(,)22ab，存在实数k和t，使得2(3)xabt，yabkt，且
13、xy，若不等式2ktmt恒成立，求m的取值范围点拨：本题具有一定的综合性，要注意揭示题中的隐含条件，然后根据垂直的条件列方程得到k和t的关系，再利用二次函数求出2ktt的最小值解：由题意，有|2,|1ab，1331022a bab，0 xy，2(3)()0ababtkt，2332(3)1(3)4battktt，222117(43)(2)444kttttt故2t时，2ktt有最小值74，即74m18在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线34xy相切（1）求圆的方程；（2）圆O与x轴相交于,A B两点，圆内的动点P使|,|,|PAPOPB成等比数列，求PAPB的取值范围解：依题意，圆O的半径r
14、等于原点O到直线34xy的距离，即2r名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -所以圆的方程为224xy不妨设12(,0),(,0)A xB x，且21xx，由24x，得(2,0),(2,0)AB.设(,)P x y，由,PAPOPB成等比数列，得222222(2)(2)xyxyxy，即222xy.所以222(2,)(2,)42(2)PAPBxyxyxyy.由于点 P在圆内，故222242xyxy，由此得201y.所以PBPA的取值范围为2,0)19已知抛物线C：24(0)yax a，过点(,0)F a的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点)0,(
15、ak，KA与KB的夹角为，求证：02解：设l的方程为)(axky，由24()yaxykxa消去x，得22440ayyak，设1122(,),(,)A xyB xy，则2124y ya，1122(,),(,)KAxayKBxa y22221212121212121()()()(2)4KAKBxaxay yx xa xxay yyya21212204y ya，所以cos0K AK BK AKB，即02点评：向量具有代数形式与几何形式的双重身份，这使它成为知识的一个交汇点，本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合起来20椭圆的两焦点分别为1(0,1)F、2(0,1)F，直线4y
16、是椭圆的一条准线（1）求椭圆的方程；（2）设点P在椭圆上，且12|1PFPFm，求1212|PFPFPFPF的最大值和最小值解：（1）解答本题的入手点是写出椭圆的标准方程依据题意，设椭圆的方程为22221(0)yxabab，则由212,14cacac,3b名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -椭圆方程为22143yx11212244242mPFPFPFmPFPFmPF（2）因为P在椭圆上，故1212cosPFPFPFPFFPF2222121212121212818()442PFPFF FPFPFmPFPFmmPFPFPFPF由平面几何知识得1212PFPFF F，即2m，所以1,2m令8()fxxx，设12,1,2xx，且12xx，则1212128()()()(1)0fxfxxxx x所以函数()fx在1,2上是单调递减的，从而当1m时，原式取得最大值94，当2m时原式取得最小值32点评本题的综合性极强，涉及到解析几何、向量、函数、不等式等知识，当中，应用平面几何知识，构造函数，进而判断函数的单调性，这是问题的解答水到渠成名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -