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1、光的衍射计算题 1.在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两秏波长1和2，垂直入射于单缝上假如1的第一级衍射极小与2的第二级衍射极小相重合，试问 (1)这两种波长之间有何关系 (2)在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合 解：(1)由单缝衍射暗纹公式得 111sina 222sina 由题意可知 21,21sinsin 代入上式可得 212 3 分 (2)211112sinkka (k1=1,2,)ak/2sin211 222sinka (k2=1,2,)ak/sin222 若 k2=2k1，则1=2，即1的任一 k1级极小都有2的 2k1级极小与之重合 2 分 2.波长为
2、 600 nm(1 nm=10-9 m)的单色光垂直入射到宽度为 a=0.10 mm 的单缝上，观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距 f=1.0 m，屏在透镜的焦平面处求：(1)中央衍射明条纹的宽度 x0；(2)第二级暗纹离透镜焦点的距离 x2 解：(1)对于第一级暗纹，有 a sin 1 因 1很小，故 tg 1sin 1=/a 故中央明纹宽度 x0=2f tg 1=2f/a=1.2 cm 3 分(2)对于第二级暗纹，有 a sin 22 x2=f tg 2f sin 2=2f /a=1.2 cm 2 分 3.在用钠光(=nm)做光源进行的单缝夫琅禾费衍射实验中，单缝宽度 a=0.5 mm，透镜焦
3、距f=700 mm求透镜焦平面上中央明条纹的宽度(1nm=109m)解：a sin=2 分 afffx/sintg1=0.825 mm 2 分 x=2x1=1.65 mm 1 分 4.某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽 a=0.15 mm 缝后放一个焦距 f=400 mm的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹之间的距离为 8.0 mm，求入射光的波长 解：设第三级暗纹在3方向上，则有 a sin3=3 此暗纹到中心的距离为 x3=f tg3 2 分 因为3很小，可认为 tg3sin3，所以 x33f /a 两侧第三级暗纹的距离是 2 x3=6f /a=8.0mm
4、=(2x3)a/6f 2 分 =500 nm 1 分 5.用波长?=nm(1nm=109m)的平行光垂直照射单缝，缝宽 a=0.15 mm，缝后用凸透镜把衍射光会聚在焦平面上，测得第二级与第三级暗条纹之间的距离为 1.7 mm，求此透镜的焦距 解：第二级与第三级暗纹之间的距离 x=x3 x2f /a 2 分 f a x/=400 mm 3 分 6.(1)在单缝夫琅禾费衍射实验中，垂直入射的光有两种波长，1=400 nm，=760 nm (1 nm=10-9 m)已知单缝宽度 a=10-2 cm，透镜焦距 f=50 cm求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离 (2)若用光栅常数 d=10-3 cm
5、 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离 解：(1)由单缝衍射明纹公式可知 111231221sinka (取 k1)1 分 222231221sinka 1 分 fx/tg11,fx/tg22 由于 11tgsin,22tgsin 所以 afx/2311 1 分 afx/2322 1 分 则两个第一级明纹之间距为 afxxx/2312=0.27 cm 2 分 (2)由光栅衍射主极大的公式 1111sin kd 2221sin kd 2 分 且有 fx/tgsin 所以 dfxxx/12=1.8 cm 2 分 7.一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有两种波长的
6、光，1=440 nm，2=660 nm(1 nm=10-9 m)实验发现，两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角=60的方向上求此光栅的光栅常数 d 解：由光栅衍射主极大公式得 111sinkd 222sinkd 212122112132660440sinsinkkkkkk 4 分 当两谱线重合时有 1=2 1 分 即 69462321kk 1 分 两谱线第二次重合即是 4621kk，k1=6，k2=4 2 分 由光栅公式可知 d sin60=61 60sin61d=10-3 mm 2 分 8.一束具有两种波长1和2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长1的第三级主极大衍射角和2的
7、第四级主极大衍射角均为 30已知1=560 nm(1 nm=10-9 m)，试求:(1)光栅常数 ab (2)波长2 解：(1)由光栅衍射主极大公式得 1330sinba cm1036.330sin341ba 3 分 (2)2430sinba 4204/30sin2banm 2 分 9.用含有两种波长=600 nm和500 nm(1 nm=10-9 m)的复色光垂直入射到每毫米有200 条刻痕的光栅上，光栅后面置一焦距为 f=50 cm 的凸透镜，在透镜焦平面处置一屏幕，求以上两种波长光的第一级谱线的间距x 解：对于第一级谱线，有：x1=f tg 1，sin 1=/d 1 分 sin tg x
8、1=f tg 1f /d 2 分 和两种波长光的第一级谱线之间的距离 x=x1 x1=f(tg 1 tg 1)=f(?)/d=1 cm 2 分 10.以波长 400 nm760 nm (1 nm10-9 m)的白光垂直照射在光栅上，在它的衍射光谱中，第二级和第三级发生重叠，求第二级光谱被重叠的波长范围 解：令第三级光谱中=400 nm 的光与第二级光谱中波长为的光对应的衍射角都为，则 d sin=3，d sin=2 =(d sin/)2=23600nm 4 分 第二级光谱被重叠的波长范围是 600 nm-760 nm 1 分 11.氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长=m 的谱线的衍射
9、角为=20如果在同样角处出现波长2=m 的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少 解：由光栅公式得 sin=k1 1/(a+b)=k2 2/(a+b)k1 1=k2 2 将 k2 k1约化为整数比 k2 k1=3/2=6/4=12/8.k2 k1=1/2=/3 分 取最小的 k1和 k2，k1=2，k2=3，3 分 则对应的光栅常数(a+b)=k1 1/sin=m 2 分 12.用钠光(=nm)垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为 60 (1)若换用另一光源测得其第二级光谱的衍射角为 30，求后一光源发光的波长 (2)若以白光(400 nm760 nm)照射在该光栅上，求其第二级光谱的
10、张角(1 nm=10-9 m)解：(1)(a+b)sin=3 a+b=3/sin，=60 2 分 a+b=2/sin =30 1 分 3/sin=2/sin 1 分 =nm 1 分 (2)(a+b)=3/sin=nm 2 分 2=sin-1(2400/(=400nm)1 分 2=sin-1(2760/(=760nm)1 分 白光第二级光谱的张角 =22=25 1 分 13.某种单色光垂直入射到每厘米有 8000 条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为 30那么入射光的波长是多少能不能观察到第二级谱线 解：由光栅公式 (ab)sin=k k=1，=30，sin=1/2 =(ab)sin/k=6
11、25 nm 3 分 实际观察不到第二级谱线 2 分 若 k=2,则 sin=2/(a+b)=1,2=90 14.用波长为 nm(1 nm=10-9 m)的钠黄光垂直入射在每毫米有 500 条缝的光栅上，求第一级主极大的衍射角.解：d=1/500 mm，=nm，sin=d=3 分 第一级衍射主极大：d sin=2 分 15.一块每毫米 500 条缝的光栅，用钠黄光正入射，观察衍射光谱钠黄光包含两条谱线，其波长分别为 nm 和 nm(1nm=10-9m)求在第二级光谱中这两条谱线互相分离的角度 解：光栅公式，d sin=k 现 d=1/500 mm=210-3 mm，1=nm，2=nm，k=2 s
12、in1=k1/d=，1=2 分 sin2=k2/d=，2=2 分 =12=1 分 16.波长范围在 450650 nm 之间的复色平行光垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为 35.1 cm求透镜的焦距 f (1 nm=10-9 m)解：光栅常数 d=1m/(5105)=2 105m 2 分 设 1=450nm，2=650nm,则据光栅方程，1和2的第 2 级谱线有 dsin 1=21；dsin 2=22 据上式得：1=sin121/d 2=sin122/d 3 分 第 2 级光谱的宽度 x2 x1 =f(tg 2tg 1
13、)透镜的焦距 f=(x1 x2)/(tg 2 tg 1)100 cm 3 分 17.设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有 5000 条刻线，用它来观察钠黄光（=589 nm）的光谱线 (1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次 km是 多少 (2)当光线以 30的入射角（入射线与光栅平面的法线的夹角）斜入 射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级次mk 是多少 (1nm=109m)解：光栅常数 d=210-6 m 1 分 (1)垂直入射时，设能看到的光谱线的最高级次为 km，则据光栅方程有 dsin=km sin km/d 1，kmd/=km为整数,有 km=3 4
14、 分(2)斜入射时，设能看到的光谱线的最高级次为mk，则据斜入射时的光栅方程有 mkdsin30sin dkm/sin21 sin1 5.1/dkm /5.1 dkm=mk为整数，有 mk=5 5 分 18.一双缝，缝距 d=0.40 mm，两缝宽度都是 a=0.080 mm，用波长为=480 nm(1 nm=10-9 m)的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距 f=2.0 m 的透镜求：(1)在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距 l；(2)在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目 N 和相应的级数 解：双缝干涉条纹：(1)第 k 级亮纹条件：d sin=k 第 k 级亮条纹位置：xk =f tgf sinkf/d 相邻两亮纹的间距：x=xk+1xk=(k1)f/dkf/d=f/d =10-3 m=2.4 mm 5 分 (2)单缝衍射第一暗纹：a sin1=单缝衍射中央亮纹半宽度：x0=f tg1f sin1 f/a12 mm x0/x=5 双缝干涉第5 极主级大缺级 3 分 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目 N=9 1 分 分别为 k=0，1，2，3，4 级亮纹 1 分 或根据 d/a=5 指出双缝干涉缺第5 级主大，同样得该结论的 3 分