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1、【新教材】4.4.2 对数函数的图像和性质（人教 A 版）本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很大的现实价值。课程目标 1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养 1.数学抽象：对数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数
2、学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.重点：对数函数的图象和性质；难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、情景导入 请学生用三点画图法画212log,logyx yx图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课 阅读课本 132-133 页，思考并完成以下问题 1.对数函数的图象
3、是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？2.反函数的概念是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 a1 图 象 a 的范围 0a1 a1 性质 定义域(0，)值域 R 定点(1,0)，即 x1 时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 点睛 底数a与 1 的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a1 时，对数函数的图象“上升”；当 0a1 时，对数函数的图象“下降”2反函数 指数函数 yax和对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数 四、典例分析、举一反三 题型一
4、对数函数的图象 例 1 函数 y=log2x,y=log5x,y=lg x 的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出 y=log12x,y=log15x,y=log110 x 的图象;(3)从(2)的图中你发现了什么?【答案】见解析【解析】(1)对应函数 y=lg x,对应函数 y=log5x,对应函数 y=log2x.这是因为当底数全大于 1时,在 x=1 的右侧,底数越大的函数图象越靠近 x 轴.(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出 y=log12x,y=log15x,y=log110 x 的图象如图所示.(3)从(2)的图中
5、可以发现:y=lg x与y=log110 x,y=log5x与y=log15x,y=log2x与y=log12x的图象分别关于x轴对称.解题技巧：（对数函数图象的变化规律）1.对于几个底数都大于 1 的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近 x 轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x1时“底大图低”.实际上,作出直线 y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.2.牢记特殊点:对数函数 y=logax(a0,且 a1)的图象经过(1,0),(a,1),(1,-1).跟踪训练一 1、作出函数 y=|lg(x
6、-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.【答案】其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+).【解析】先画出函数 y=lg x 的图象(如图).再将该函数图象向右平移 1 个单位长度得到函数 y=lg(x-1)的图象(如图).图 图 图 最后把 y=lg(x-1)的图象在 x 轴下方的部分对称翻折到 x 轴上方(原来在 x 轴上方的部分不变),即得出函数 y=|lg(x-1)|的图象(如图).由图易知其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+).题型二 比较对数值的大小 例 2 比较下列各
7、组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a0，且 a1)【答案】(1)log23.4log28.5(2)log0.31.8log0.32.7 （3）当 a1 时，loga5.1loga5.9；当 0a1 时，loga5.1loga5.9.【解析】(1)考察对数函数 ylog2x，因为它的底数 21，所以它在(0，)上是增函数，于是 log23.4log28.5.(2)考察对数函数 ylog0.3x，因为它的底数 00.31，所以它在(0，)上是减函数，于是log0.31.8log0.32.7.
8、(3)当 a1 时，ylogax 在(0，)上是增函数，于是 loga5.1loga5.9；当 0a1 时，ylogax 在(0，)上是减函数，于是 loga5.1loga5.9.解题技巧：（比较对数值大小时常用的 4 种方法）(1)同底的利用对数函数的单调性(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化(3)底数和真数都不同，找中间量(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 跟踪训练二 1比较下列各题中两个值的大小：(1)lg 6，lg 8；(2)log0.56，log0.54；(3)log132 与 log152;(4)log23 与 log54.【答案
9、】（1）lg 6lg 8（2）log0.56log 0.54（3）log132log152（4）log23log54.【解析】(1)因为函数 ylg x 在(0，)上是增函数，且 68，所以 lg 6lg 8.(2)因为函数 ylog0.5x 在(0，)上是减函数，且 64，所以 log0.56log 0.54.(3)由于 log1321log213，log1521log215.又对数函数 ylog2x 在(0，)上是增函数，且1315，0log2 13log2 15，1log2131log215.log132log152.(4)取中间值 1，log23log221log55log54，log
10、23log54.题型三 比较对数值的大小 例 3(1)已知 loga121，求 a 的取值范围；(2)已知 log0.7(2x)log0.7(x1)，求 x 的取值范围【答案】(1)12，1；(2)(1，).【解析】(1)由 loga121 得 loga12logaa.当 a1 时，有 a12，此时无解 当 0a1 时，有12a，从而12a1.a 的取值范围是12，1.(2)函数 ylog 0.7x 在(0，)上为减函数，由 log0.72xlog0.7(x1)得 2x0，x10，2xx1，解得 x1.x 的取值范围是(1，)解题技巧：（常见对数不等式的 2 种解法）(1)形如 logaxlo
11、gab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0a1 两种情况讨论(2)形如 logaxb 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式，再借助 ylogax 的单调性求解.跟踪训练三 1已知 loga(3a1)恒为正，求 a 的取值范围【答案】13，23(1，)【解析】由题意知 loga(3a1)0loga1.当 a1 时，ylogax 是增函数，3a11，3a10，解得 a23，a1；当 0a1 时，ylogax 是减函数，3a11，3a10，解得13a23.13a23.综上所述，a 的取值范围是13，23(1，).题型四 有关对数型函
12、数的值域与最值问题 例 4 求下列函数的值域(1)ylog2(x24)；(2)ylog12(32xx2)【答案】(1)2，)；(2)2，)【解析】(1)ylog2(x24)的定义域是 R.因为 x244，所以 log2(x24)log242，所以 ylog2(x24)的值域为2，)(2)设 u32xx2(x1)244.因为 u0，所以 0u4.又 ylog12u 在(0，)上为减函数，所以 log12ulog1242，所以 ylog12(32xx2)的值域为2，)解题技巧：（对数型函数的值域与最值）(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解(2)求函数的值域时，一
13、定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值 跟踪训练四 1已知 f(x)2log3x，x1,9，求函数 yf(x)2f(x2)的最大值及此时 x 的值【答案】当 x3 时，y 取得最大值，为 13.【解析】yf(x)2f(x2)(2log3x)2log3x22(log3x)26log3x6(log3x3)23.f(x)的定义域为1,9，yf(x)2f(x2)中，x 必须满足 1x9，1x29，1x3，0log3x1，6y13.当 x3 时，y 取得最大值，为 13.五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 4.4.2 对数函数的图像与性质 1.对数函数图像 例 1 例 2 2.对数函数的性质 例 3 例 4 3.反函数 七、作业 课本 140 页习题 4.4 本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.