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1、山东省威海市 2019-2020 学年高一下学期期末考试数学试题 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.时间经过 5 小时，时针转过的弧度数为（）A.56 B.56 C.512 D.512【答案】A【解析】时针每过一个小时，其转过度数为6，故时间经过 5 小时，时针转过的弧度数56.故选：A 2.已知3cos3，(),2，则tan（）A.2 B.2 C.2 2 D.2 2【答案】B【解析】因为3cos3，(),2，所以3,22，因此26sin1 cos3 ，所以6sin3tan2cos33.故选：B.3.已知向量(1
2、,2),(2,)abm，且/ab，则m（）A.1 B.1 C.4 D.4【答案】D【解析】向量(1,2)a ，(2,)bm，且/ab，1220m ，解得：4m ，故选：D.4.下列选项中描述空间角类型与其它三项不同的是（）A.短道速滑运动员在弯道时由于离心力的作用，身体与冰面产生通常小于45的角度 B.为保证安全性和舒适性，一般客机起飞时会保持1020的仰角 C.市场上主流笔记本电脑屏幕开合角度一般在0130，超过这个角度容易导致转轴损坏 D.春分时节，威海正午时分太阳的高度角约为53 的【答案】C【解析】A 选项，身体与冰面所成的角为线面角；B 选项，客机起飞时所保持的仰角是线面角；C 选项
3、，电脑屏幕开合角度是二面角；D 选项，太阳的高度角是视线与地平面所成的角，属于线面角.故选：C.5.已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点3 4(,)5 5P，则sin(2)2的值为（）A.725 B.725 C.45 D.35【答案】B【解析】终边与单位圆交于点3 4(,)5 5P，4sin5，3cos5，227sin(2)cos2sincos225，故选：B.6.古代将圆台称为“圆亭”，九章算术中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（）A.198立方丈 B.19立方丈 C.198
4、立方丈 D.19立方丈【答案】B【解析】由题意得，下底半径32R（丈），上底半径212 r（丈），高1h（丈），所以它的体积为2222113131 13322 Vh RrRr 所以19V(立方丈).故选：B.7.已知,m n是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若/,/mm，则/B.若/,/,mn，则mn C.若,/mn，则mn D.若,mmn，则/n【答案】C【解析】对于 A，若/,/mm，则/或,相交，对于 B，若/,/,mn，/m n或,m n相交或异面，对于 C，若,/mn，则mn必成立，对于 D，若,mmn，则/n或n，故选：C.8.如图所示，在平面四边形A
5、BCD中，ADCD，6ADCD，ACBC，o60B，现将 ACD沿AC边折起，并连接BD，当三棱锥DABC的体积最大时，其外接球的表面积为（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】因为ABC的面积不变，要使体积最大，需 D 到平面 ABC 的距离最大，即当平面 ACD平面 ABC 时，体积最大，因为ACD等腰直角三角形，取AC中点E,则DE平面ABC，高为DE=3最大，AC=2 3，则 RtABC中o60B，BC=2，AB=4，所以 EB=7，故 RtBDE中 BD=10，所以ABD中222ADBDAB，即得空间中o90ADBACB 即 AB 为球直径，故半径22416RAB，所
6、以外接球的表面积2416SR.故选：D.二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分.9.下列选项中，与11sin(6的值相等的是（）A.2o2cos 151 B.oooocos18 cos 42sin18 sin 42 C.oo2sin15 sin75 D.ooootan30tan151tan30 tan15【答案】BC【解析】首先111sin(sin662，下面计算选项：A 选项中，2oo32cos 151cos302，不相等；B 选项中，ooooooo1cos18 cos
7、42sin18 sin42cos(1842)cos602，相等；C 选项中，ooooo12sin15 sin752sin15 cos15sin302，相等；D 选项中，oooootan30tan15tan4511tan30 tan15，不相等；故选：BC.10.已知函数 sincosf xxx，则（）A.f x的最大值为2 B.f x的最小正周期为 C.4fx是偶函数 D.将 yf x图象上所有点向左平移2个单位，得到 sincosg xxx的图象【答案】AC【解析】sincos2si4nfxxxx，因为xR，所以4xR，因此sin11,4x，则 max2f x，故 A 正确；最小正周期为2T
8、，故 B 错；2sin2cos42fxxx，所以4fx是偶函数，即 C 正确；将 yf x图象上所有点向左平移2个单位，得到sincoscoss2i2nyxxxx，故 D 错误.故选：AC 11.已知非零平面向量a，b,c,则（）A.存在唯一的实数对,m n，使cmanb B.若0a ba c，则/b c C.若/a b c，则abcabc+D.若0a b，则abab【答案】BD【解析】A 选项，若a与b共线，c与a，b都不共线，则manb与c不可能共线，故 A错；B 选项，因为a，b,c是非零平面向量,若0a ba c，则ab，ac，所以/b c，即 B 正确；C 选项，因为向量共线可以是反
9、向共线，所以由/a b c不能推出abcabc+；如a与b同向，c与a反向，且abc，则abcabc+，故 C 错；D 选项，若0a b，则222222abababa bab，222222abababa bab，所以abab，即 D 正确.故选：BD.12.已知正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为1，12AA，则（）A.1/DC平面11ABC B.异面直线1AB与AC所成角的余弦值为45 C.AC 平面11BB D D D.点1B到平面11A BCD的距离为2 55【答案】ACD【解析】根据题意作图如下，A 选项：在正四棱柱1111ABCDABC D中，因为11/DCAB，1DC 平
10、面11ABC，1AB 平面11ABC，所以1/DC平面11ABC，故 A 选项正确；B 选项：在正四棱柱1111ABCDABC D中，因为11/DCAB，所以异面直线1AB与AC所成角即为异面直线1DC与AC所成角1DCA，在1DCA中，因为15DC，15D A，2AC，所以110cos10DCA，故 B 选项错误；C 选项：在正四棱柱1111ABCDABC D中，因为ACBD，1ACBB，1BDBBB，所以AC 平面11BB D D，故 C 选项正确；D 选项：在正四棱柱1111ABCDABC D中，因为BC 平面11ABB A，在平面11ABB A内点1B到线段1AB的距离就是点1B到平面
11、11A BCD的距离，在11ABB中，1B到线段1AB的距离为2 55，所以点1B到平面11A BCD的距离为2 55，故 D 选项正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.已知单位向量,a b，若ab，则3ab与a的夹角为_.【答案】3【解析】因为,a b为单位向量，ab，所以0a b，1ab，因此2331abaaa b，即向量3ab与a的夹角为，则223111cos2432 331abaab aaa bb，所以3.故答案为：3.14.设,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，已知2a，6c，o45A，则角C _.【答案】60o或 1
12、20o【解析】因为2a，6c，o45A，由正弦定理可得：sinsinacAC，则26sin32sin22cACa，所以C 60o或 120o.故答案为：60o或 120o.15.函数yAsin（x+）（0，|）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为_ 【答案】y2sin（2x23）【解析】由图象知2A，由五点对应法得12253122，解得22,3，即函数的解析式为22sin 23yx.故答案为：22sin 23yx.16.正方体1111ABCDABC D的棱长为2，则平面11AC D与平面ABCD所成角为_；设P为1CC的中点，过点A，P，1D的平面截该正方体所得截面的面积为_.【答案】(1
13、).4 (2).92【解析】连接1BC，在正方体1111ABCDABC D中，易知11/AB C D且11ABC D，则四边形11ABC D为平行四边形，即B 平面11AC D，因为正方体中，ABBC，1ABBB，且1,BC BB 平面11BBCC，则AB 侧面11BBCC，所以1ABBC，又平面11AC D 平面ABCDAB，则1C BC即等于平面11AC D与平面ABCD所成的角，所以11tan1CCC BCBC，即14C BC；取BC中点为Q，连接PQ，AQ，因为P为1CC的中点，则1/PQ BC，又11/ADBC，则1/PQ AD，即A，1D，P，Q四点共面，即梯形1AD PQ即为过点
14、A，P，1D的平面截该正方体所得截面，因为正方体棱长为2，则221112 2ADBCBCCC，11PCBQ，所以1122PQBC，22215AQ，221215PD，即梯形1AD PQ为等腰梯形，分别作1PMAD于点M，1PNAD于点N，则1112222ADNMADPQD MAN，所以221113 2522PMPDDM，因此梯形1AD PQ的面积为1113 293 22222SPQADPM.故答案为：4；92.四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.已知函数 4cossin3fxxx.（1）求 fx的单调递增区间；（2）当,3 4x 时，求 f
15、x的取值范围.解：（1）4sincos4sincoscossinsin333fxxxxxx 22sincos2 3sinxxxsin 23cos23xx 2sin 233x，由 2 22 232kxk，解得51212kxkk ,所以函数 f x单调递增区间为5,1212kkk，（2）设23xt，,3 4x，,36t ，3sin12t，2 323f x，所以当,3 4x 时，函数 fx的取值范围为2 3,23.18.设,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，若3cossin3baCaC.（1）求角A；（2）若2a，ABC的面积为3，求ABC的周长.解：（1）由3cossin3baCa
16、C及正弦定理可得 3sinsincossinsin3BACAC，由sinsin()sincossincosBACACCA代入上式，整理得 3sinsinsincos3ACCA，因为sin0C 所以tan3A，因为(0,)A，所以角3A.（2）ABC的面积为3，1sin32bcA，得4bc，由2222cosabcbcA，可得224bcbc，即228bc，2()28bcbc，解得4bc，所以求ABC的周长为6.19.在正三棱柱111ABCABC中，D为BC的中点.（1）求证：平面1ADC 平面11B BCC；（2）若124ABAA，求点1A到平面1ADC的距离.解：（1）正三棱柱111ABCABC
17、，1CC 平面ABC,1CCAD,D为BC的中点，BCAD,又1BCCCC,AD平面11B BCC，AD 平面1ADC，平面1ADC 平面11B BCC.（2）过点D作DEAC，E为垂足，则3DE，平面11A ACC 平面ABC，DE 平面11A ACC，11114 334 2323D A ACV，设点1A到平面1ADC的距离为h，1111AADCD A ACVV,114 333ADChS,由（1）可知1ADC为直角三角形，可求得，11112 32 22 622ADCSADDC,可得2h,点1A到平面1ADC的距离2.20.在ABC中，2AB，1AC，120oBAC，点E，F在BC边上且BEB
18、C，BFBC.（1）若13，求AE的长；（2）若4AE AF，求11的值.解：（1）设ABa，ACb，则2a，1b，因此ocos1201a ba b，所以121333AEABBEabaab，221113(1614)3393AEab，（2）因为BEBC，所以1AEABBEabaab，同理可得，(1)AFABBFabaab，所以1(1)abaAE AFb 4(1)(1)(1)(1)475()，475()4，即75()0，同除以可得，1175.21.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PB PD，M，N分别为PA，BC的中点.（1）求证：/MN平面PCD；（2）求证：BDPA；（3）
19、若o60DABPAC，o90APC，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解：（1）证明：取PD得中点E，连接ME，CE，M为PA的中点，1/2MEAD且12MEAD，N为BC的中点且四边形ABCD为菱形，1/2NCAD且12NCAD，/ME NC且MENC，四边形MNCE为平行四边形，/NM CE，又MN 平面PCD，CE 平面PCD，/MN平面PCD.（2）连接AC交BD于点O，四边形ABCD为菱形，BDAC，PB PD，BDPO，又,PO AC为平面PAC内的两条相交直线，BD 平面PAC，又PA 平面PAC，BDPA.（3）过P作PKAC，K为垂足，连接BK，由（2）可知BD 平面P
20、AC，所以平面ABCD 平面PAC，而平面ABCD平面PACAC，所以PK 平面ABCD，因此直线PB在平面ABCD的射影为KB，即PBK为直线PB与平面ABCD所成角，四边形ABCD为菱形边长为2，60DAB，3AO，1BO,由题意可知PAC为直角三角形，易得3POAO，又60PAC，3PA，32PK，由BD 平面PAC可知POB为直角三角形，222PBPOOB，在Rt PKB中，332sin24PBK，所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为34.22.天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为110米，最高点距离地面120米，
21、相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30分钟.（1）某游客自最低点处登上摩天轮，请问5分钟后他距离地面的高度是多少？（2）若甲乙两游客分别坐在A，B两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求A，B两个座舱的直线距离；（3）若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.解：（1）设摩天轮转动t分钟（030t）时游客的高度为h，摩天轮旋转一周需要30分钟，所以座舱每分钟旋转角的大小为15，由题意可得，55sin()65152ht，当5t 时，55sin(5)6537.5152h ，所以游客5分钟后距离地面的高度是37.5米.（2）由题意可知，216483AOB，在AOB中，222cos55 33ABOAOBOA OB，（3）由题意可知，要获得俯瞰的最佳视觉效果，应满足55sin()6592.5152t，化简得1sin()1522t，因为030t，所以15222t ,所以 61526t，解得1020t，所以摩天轮旋转一周能有10分钟最佳视觉效果.