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1、第 6 讲 不等式的证明常用的证明不等式的方法(1)比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差变形判断结论为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负(2)综合法：利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件第一页，编辑于星期六：七点 二十八分。综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2Bn B，及从已知条件 A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要
2、证明的结论 B.(3)分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程(4)反证法：可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设 AB，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定AB.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法第二页，编辑于星期六：七点 二十八分。(5)放缩法：要证明不等式 A0，且 a1，若 Ploga(a31)，Qloga(a21)
3、，则 P 与 Q 的大小关系为()AAPQBPQCPQAbc 时，前两项为正，最后一项为负，如何使得三项之和为正，成为问题的关键，需采用“拆”的技巧，把第三项并入前两项中去，于是想到 ca(ca)ca(cb)(ba)ca(cb)ca(ba)，问题便迎刃而解证明：左一右ab(ab)bc(bc)ca(ca)ab(ab)bc(bc)ca(cb)(ba)a(ab)(bc)c(bc)(ba)(ab)(bc)(ac)例例 1：已知：abc，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2.第六页，编辑于星期六：七点 二十八分。abc，(ab)(bc)(ca)0.因此：a2bb2cc2aab2bc2ca2.比较法
4、证不等式步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其化简目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论第七页，编辑于星期六：七点 二十八分。【互动探究】证明：ab1，ax2by2(axby)2 ax2by2a2x22abxyb2y2a(1a)x2b(1b)y22abxyabx2bay22abxyab(xy)2.又 a、bR+，ab(xy)2 0.ax2by2(axby)2.第八页，编辑于星期六：七点 二十八分。考点 2综合法第九页，编辑于星期六：七点 二十八分。第十页，编辑于星期六：七点 二十八分。【互动探究】第十一页，编辑于星期六：七
5、点 二十八分。1b 1a考点 3反证法例 3：已知 a0，b0，且 ab2.求证：1ba，1ab中至少解题思路：由于题目结论是：至少有一个小于 2，情况较复杂，讨论起来比较繁，宜采用反证法证明：假设1ba，1ab都不小于 2，则1ba2，1ab2.a0，b0，1b2a,1a2b，两式相加可得 1b1a2(ab)，即 ab2，这与已知 ab2 矛盾故假设不成立因此：，a b，中至少有一个小于 2.有一个小于 2.第十二页，编辑于星期六：七点 二十八分。从正难则反的角度考虑，即要证明不等式 AB，先假设 AB，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定 AB，凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或
6、含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法【互动探究】3若 0 x、y、zB，可适当选择一个 C，使得 CB，反之亦然主要应用于不等式两边差异较大时的证明一般的放缩技巧有：分式放缩：固定分子，放缩分母；固定分母，放缩分子多见于分式类不等式的证明；添舍放缩：视情况丢掉或增多一些项进行放缩，多见于整式或根式配方后需要放缩的不等式的证明第十五页，编辑于星期六：七点 二十八分。【互动探究】第十六页，编辑于星期六：七点 二十八分。第十七页，编辑于星期六：七点 二十八分。第十八页，编辑于星期六：七点 二十八分。用分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是：欲证命题 B 为真
7、，只需证明命题 B1 为真，从而又只需证明命题B2 为真，从而又只需证明命题 A 为真，今已知 A 真，故 B必真简写为：BB1 B2 Bn A.论中正确的是()DA(a1)(c1)0Cac1Bac1Dac1解析：若 1abc，f(x)|lgx|lgx 单调递增，f(a)f(b)f(c)，不成立，若 0abcf(b)f(c)，不成立，故 0a1，由 f(a)f(c)得：lgalgc，即 lgac0，0ac1.【互动探究】5设 f(x)|lgx|，若 0ab f(c)f(b)，则下列结第十九页，编辑于星期六：七点 二十八分。2数学归纳法：当不等式是一个与自然数 n 有关的命题，可以利用数学归纳法进行证明3构造法：在不等式的证明中，可根据不等式的结构特点，恰当的构造一个与不等式相关的数学模型，如构造函数、方程、数列、向量等，实现问题的转化，从而使不等式得到证明第二十页，编辑于星期六：七点 二十八分。