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1、数学建模概论1数数 学学 建建 模模 数学建模周教学课件（指导教师：周其华）数学建模2概论 数学具有超越民族和时空的尺度。数数学具有超越民族和时空的尺度。数学可能高傲地直达星宿，也可能谦恭地为学可能高傲地直达星宿，也可能谦恭地为市场服务。市场服务。H.W.邓博 想象力比知识更重要。因为知识是有想象力比知识更重要。因为知识是有限的，而想象力包括世界的一切，推动着限的，而想象力包括世界的一切，推动着进步，并且是知识的源泉。进步，并且是知识的源泉。A.爱因斯坦数学建模3概论知识能力力量 缺乏知识的能力是低层次的能力缺乏知识的能力是低层次的能力,缺乏能力的知识是僵死的知识。缺乏能力的知识是僵死的知识。
2、大百科全书式的知识积累，如果缺乏转化到应用中大百科全书式的知识积累，如果缺乏转化到应用中去的能力，仅仅是百科全书而已。因此，强调培养去的能力，仅仅是百科全书而已。因此，强调培养“应应用能力用能力”是本课程的主要特点。是本课程的主要特点。数学建模4概论 本课程着重于如下能力的培养本课程着重于如下能力的培养。1.1.培养实际问题与数学问题之间的培养实际问题与数学问题之间的“双向翻译双向翻译”能力。能力。2.2.培养灵活而恰当地应用数学知识，培养灵活而恰当地应用数学知识，创造性地解决问题的能力。创造性地解决问题的能力。3.3.培养敏锐的对问题本质的洞察能力。培养敏锐的对问题本质的洞察能力。4.4.培
3、养熟练使用计算机手段解决数学培养熟练使用计算机手段解决数学问题的能力。问题的能力。数学建模5概论 主要内容：主要内容：什么是数学模型？什么是数学模型？数学建模模型举例数学建模模型举例数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 lingo简介简介数学建模6概论一、一、什么是数学模型什么是数学模型 我们从几个简单例子说起我们从几个简单例子说起。例例 1.1.航行问题航行问题 甲乙两地相距甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水公里，船从甲到乙顺水航行需航行需30小时，从乙到甲逆水航行需小时，从乙到甲逆水航行需50小小时，问船的速度是多少时，问船的速度是多少?数学建模7概论 用用x表示船速，用表示船速，用y
4、表示水速，列出方程表示水速，列出方程 求解求解x=20y=5答：船速每小时答：船速每小时20千米千米.数学建模8概论 例例2 商人安全过河问题商人安全过河问题 有三个商人与三个随从一块过河，只有有三个商人与三个随从一块过河，只有一只小船，每次最多载两人。随从们密约，一只小船，每次最多载两人。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。就杀人越货。但是乘船渡河的方案由商人决定，商人但是乘船渡河的方案由商人决定，商人们怎样才能安全过河？们怎样才能安全过河？数学建模9概论图解法：图解法：状态状态s=(x,y)16个格点个格点允许状态允许状态 允
5、许决策允许决策 移动移动1或或2格；格；k奇，左下移；奇，左下移；k偶，右上移。偶，右上移。安全渡河方案见图中箭头安全渡河方案见图中箭头所指路线。所指路线。xy3322110d11d1 10个个 点点数学建模10概论 例例 3 3 一只装满水的圆柱型桶，底半一只装满水的圆柱型桶，底半径为径为 1 1 米，高为米，高为 2 2 米，米，底部有底部有一直径为一直径为 0.1 0.1 米的洞。问桶流空米的洞。问桶流空要多少时间？要多少时间？数学建模11概论图数学建模12概论 忽略摩擦引起的能量损失，则在一个忽略摩擦引起的能量损失，则在一个tt时间时间区间内，水面降低减少的势能应等于等量的水流区间内，
6、水面降低减少的势能应等于等量的水流出小洞的动能，即在任意时刻有出小洞的动能，即在任意时刻有 于是于是 这就是流体力学中的托里拆利定律。这就是流体力学中的托里拆利定律。数学建模13概论 设设A为桶的水平截面积，为桶的水平截面积，B为洞的为洞的水平截面积，水平截面积，h为桶内水的高度，为桶内水的高度，s为由洞口流出的水柱的长度，则有为由洞口流出的水柱的长度，则有 AdhBds 即即 dhB/Ads 而而 ds/dtv 数学建模14概论故有故有 dhB/Avdt已知已知 数学建模15概论 h h-1/21/2d dh=-h=-4.43(0.05)4.43(0.05)2 2d dt t模型模型模型模型
7、 对上式积分得对上式积分得对上式积分得对上式积分得 解得解得解得解得 t=t=255255.39 39 （秒秒秒秒）以上是经典数学模型的几个简单例子，数学模以上是经典数学模型的几个简单例子，数学模以上是经典数学模型的几个简单例子，数学模以上是经典数学模型的几个简单例子，数学模型的表现形式是多种多样的。型的表现形式是多种多样的。型的表现形式是多种多样的。型的表现形式是多种多样的。数学建模16概论 数学模型是对于一个数学模型是对于一个特定的对象特定的对象，为了一个为了一个特定的目标特定的目标，根据事物的内，根据事物的内在规律，作出一些在规律，作出一些必要的简化假设必要的简化假设，运用适当的数学工具
8、，得到的一个运用适当的数学工具，得到的一个数数学结构学结构。数学建模17概论 “特定的对象特定的对象”表明了数学模型的应用表明了数学模型的应用性，即它是为解决某个实际问题而提出的性，即它是为解决某个实际问题而提出的（桶中的水）。（桶中的水）。“特定的目的特定的目的”表明了它的功能性，即表明了它的功能性，即当研究一个特定对象时，不是笼统地研究当研究一个特定对象时，不是笼统地研究该对象的方方面面，而是为实现特别的功该对象的方方面面，而是为实现特别的功能而研究的（水流完的时间）。能而研究的（水流完的时间）。数学建模18概论 “根据事物的内在规律作出必要的简化根据事物的内在规律作出必要的简化假设假设”
9、表明了数学模型的抽象性。从繁杂表明了数学模型的抽象性。从繁杂的现象中将那些最本质的因素提炼出来，的现象中将那些最本质的因素提炼出来，忽略次要因素，如例忽略次要因素，如例1.11.1中忽略了摩擦、温中忽略了摩擦、温度、气压等。一个因素是否可忽略，须依度、气压等。一个因素是否可忽略，须依建模目的而定，例如考虑炮弹射程时可忽建模目的而定，例如考虑炮弹射程时可忽略地球自转因素，但洲际导弹则必须考虑略地球自转因素，但洲际导弹则必须考虑此因素。此因素。数学建模19概论 “运用适当的数学工具，得到数学结构运用适当的数学工具，得到数学结构”表明了数学模型的数量性。表明了数学模型的数量性。“数学结构数学结构”可
10、以是数学公式、算法、表格、图示等。可以是数学公式、算法、表格、图示等。它体现了数学模型不同于其他模型，是一它体现了数学模型不同于其他模型，是一种用数学语言表达的定量化的抽象模型种用数学语言表达的定量化的抽象模型。数学建模20概论图图图图 1.1.数学模型的桥梁作用数学模型的桥梁作用数学模型的桥梁作用数学模型的桥梁作用 每个工程技术人员应成为架设这座桥梁每个工程技术人员应成为架设这座桥梁的工程师的工程师 数学建模21概论二、数学建模二、数学建模 模型模型例一例一n n 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗n n问题分析问题分析 通常通常 三只脚着地三只脚着地 放稳放稳 四只四只脚
11、着地脚着地n n模型假设模型假设 1 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形;2 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面面;数学建模22概论3 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。同时着地。模型构成模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来示出来1 椅子位置椅子位置 利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性2 用用(对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置
12、3 四只脚着地四只脚着地 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零 距离距离是是 的函数的函数数学建模23概论四个距离四个距离(四只脚四只脚)正方形对称性两个距离正方形对称性两个距离 A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g()xBADCODC B A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转数学建模24概论n n模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 1地面为连续曲面 故 f(),g()是是连续函连续函数数 2椅子在任意位置至少三只脚着地椅子在任意位置至少三只脚着地 故故对对任意任意,f(),g()至少一个为至少一个为0数
13、学问题数学问题 已知：已知：f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意，f()g()=0;且且 g(0)=0，f(0)0.证明：存在证明：存在 0，使，使f(0)=g(0)=0.数学建模25概论n n模型求解模型求解模型求解模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转将椅子旋转将椅子旋转将椅子旋转90900 0，对角线，对角线，对角线，对角线ACAC和和和和BDBD互换。互换。互换。互换。由由由由g g(0 0)=0)=0，f f(0 0)0)0，知，知，知，知f f(/2/2)=0,)=0,g g
14、(/2/2)0.)0.令令令令h h()=)=f f()g g(),),则则则则h h(0)0(0)0和和和和h h(/2/2)0.)0.由由由由 f,gf,g的连续性知的连续性知的连续性知的连续性知 h h为连续函数为连续函数为连续函数为连续函数,据连续函数的据连续函数的据连续函数的据连续函数的基本性质基本性质基本性质基本性质,必存在必存在必存在必存在 0 0,使使使使h h(0 0)=0,)=0,即即即即f f(0 0)=)=g g(0 0).).因为因为因为因为f f()g g()=0,)=0,所以所以所以所以f f(0 0)=)=g g(0 0)=0.)=0.评注和思考评注和思考评注和
15、思考评注和思考 建模的关键建模的关键建模的关键建模的关键 和和和和 f f(),),g g()的确定的确定的确定的确定 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子数学建模26概论 例二例二 假设木匠销售桌子和书架的单位净利润分别是25 美元和30美元，他希望确定每种家具每周制作多少，他每周最多有600张木板可以使用，并且每周最多工作40小时。如果木板和劳动时间不用于生产桌子和书架，他能够将他们有效地使用在其他方面。据估计，生产一张桌子需要20张木板和5小时劳动时间，生产一个书架需要30张木板和4小时劳动时间。此外，他已经签订了每周供应4张桌子和2个
16、书架的交货合同。他希望确定桌子和书架的周生产计划，使获得的利润最大。数学建模27概论桌子桌子桌子桌子 书架书架书架书架需要木板数（张）需要木板数（张）2030需花费劳动时间需花费劳动时间（小时）（小时）54合同要求（张）合同要求（张）42单位利润（美元）单位利润（美元）2530共有木板共有木板600600张，工作时间张，工作时间4040小时小时问题：确定桌子和书架的周问题：确定桌子和书架的周生产计划，使获得的利润最大。生产计划，使获得的利润最大。数学建模28概论n n目标函数：目标函数：n n约束条件：约束条件：n n木板约束：木板约束：n n劳动时间约束：劳动时间约束：n n合同约束：合同约
17、束：lingolingo运算结果：运算结果：x1=4,x2=5x1=4,x2=5时有最大利润：时有最大利润：250250美元美元数学建模29概论例三例三 钢管下料问题钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管原料钢管都是19m19m长.现有客户要求(下表),应如何下料最节省?客户要求钢管长度客户要求钢管长度客户要求钢管长度客户要求钢管长度数量数量数量数量4m4m5050根根6m 6m 2020根根8m8m1515根根数学建模30概论合理的切割模式合理的切割模式:余料不超过不超过客户所需要的钢管最小尺寸 即:余料44m4m4m4m钢管根数
18、钢管根数钢管根数钢管根数6m6m6m6m钢管根数钢管根数钢管根数钢管根数8m8m8m8m钢管根数钢管根数钢管根数钢管根数余料余料余料余料/m/m/m/m模式模式1 14 40 00 03 3模式模式2 23 31 10 01 1模式模式3 32 20 01 13 3模式模式4 41 12 20 03 3模式模式5 51 11 11 11 1模式模式6 60 03 30 01 1模式模式7 70 00 02 23 3数学建模31概论用xi表示按照第i钟模式（i=12,.7)切割的原料钢管的根数。对”下料最省”的两种理解：切割原料钢管的总根数最少切割后剩余的总余料最少数学建模32概论客户要求客户要
19、求客户要求客户要求钢管长度钢管长度钢管长度钢管长度数量数量数量数量4m4m5050根根6m 6m 2020根根8m8m1515根根4m4m4m4m6m6m6m6m8m8m8m8m余余余余料料料料/m/m/m/m模式模式1 14 40 00 03 3模式模式2 23 31 10 01 1模式模式3 32 20 01 13 3模式模式4 41 12 20 03 3模式模式5 51 11 11 11 1模式模式6 60 03 30 01 1模式模式7 70 00 02 23 3数学建模33概论模型求解模型求解用用lingolingo软件求解软件求解:1.以切割后剩余的总余料为目标函数时：x1=0 x
20、2=15x3=0 x4=0 x5=12x6=0 x7=02.以切割原料钢管的总根数为目标函数时：x1=0 x2=15x3=0 x4=0 x5=5x6=0 x7=5数学建模34概论三、三、数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 建立数学模型与其说是一门技术，不如建立数学模型与其说是一门技术，不如说是一门艺术。成功建立一个好的模型，说是一门艺术。成功建立一个好的模型，就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复就如同完成一件杰出的艺术品，是一种复杂的创造性劳动。正因为如此，这里介绍杂的创造性劳动。正因为如此，这里介绍的步骤只能是一种大致上的规范。的步骤只能是一种大致上的规范。数学建模35概论 建立模型的大致
21、步骤。建立模型的大致步骤。1.1.模型准备模型准备 在建模前应对实际背景有尽可能深入的了在建模前应对实际背景有尽可能深入的了解，明确所要解决问题的目的和要求，收集必解，明确所要解决问题的目的和要求，收集必要的数据。归纳为一句话：要的数据。归纳为一句话：深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。深入了解背景，明确目的要求，收集有关数据。数学建模36概论 2.2.模型假设模型假设 在充分消化信息的基础上，将实际问题理在充分消化信息的基础上，将实际问题理想化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质想化、简单化、线性化，紧紧抓住问题的本质及主要因素，作出既合情合理，又便于数学处及主要因素，作出既合情合理，
22、又便于数学处理的假设。归纳为一句话：理的假设。归纳为一句话：充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。充分消化信息，抓住主要因素，作出恰当假设。数学建模37概论 3.3.模型建立模型建立 用数学语言描述问题。用数学语言描述问题。根据变量类型及问题目标根据变量类型及问题目标 选择适当数学工具。选择适当数学工具。注意模型的完整性与正确性。注意模型的完整性与正确性。模型要充分简化，以便于求解；同时要保模型要充分简化，以便于求解；同时要保 证模型与实际问题有足够的贴近度。证模型与实际问题有足够的贴近度。正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。正确翻译问题，合理简化模型，选择适当方法。数学建模38概论
23、 4.4.模型求解模型求解 就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解就复杂一些的实际问题而言，能得到解析解更好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应更好，但更多情形是求数值解。对计算方法与应用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决用软件掌握的程度，以及编程能力的高低，将决定求解结果的优化程度及精度。定求解结果的优化程度及精度。掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。掌握计算方法，应用数学软件，提高编程能力。数学建模39概论 5.5.模型检验与分析模型检验与分析 模型建立后，可根据需要进行以下检验分模型建立后，可根据需要进行以下检验分析。析。结果检验：将求解结果结果检验：将求解结果“翻译翻译”
24、回实回实际问题中，检验模型的合理性与适用性。际问题中，检验模型的合理性与适用性。敏感性分析：分析目标函数对各变量敏感性分析：分析目标函数对各变量变化的敏感性。变化的敏感性。稳定性分析：分析模型对参数变化的稳定性分析：分析模型对参数变化的“容忍容忍”程度。程度。误差分析：对近似计算结果的误差作误差分析：对近似计算结果的误差作出估计。出估计。数学建模40概论 概括地说，数学建模是一个迭代的过程，概括地说，数学建模是一个迭代的过程，其一般步骤可用流程图表示：其一般步骤可用流程图表示：图图 2.2.数学建模的过程数学建模的过程数学建模41概论四、论文格式四、论文格式n n摘要摘要 数模方法数模方法 主
25、要结果主要结果n n问题重述问题重述n n假设假设n n符号设定符号设定n n问题分析问题分析n n建立模型及求解建立模型及求解n n模型检验模型检验n n参考文献参考文献lA4纸打印l封面不要彩页l正文为宋体数学建模42概论数学建模周论文格式规范数学建模周论文格式规范n n请将答题论文用word文档或pdf文件储存。n n每篇论文总页数控制在15页之内。n n请同学们调整好论文的格式，尤其注意调整公式下标的大小，以免看不清，打印一律采用黑白打印，请调整好论文中图片颜色的对比度。n n论文第一页为封面，使用附一中统一封面样式，A4大小。论文的第二页必须是论文摘要，用单独一页书写，放在封面后正文
26、前。数学建模43概论n n论文第三页开始是论文正文。n n论文从第二页（摘要）开始编写页码，页码必须位于每页右下角，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。n n论文题目用初号或1号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。n n论文附加部分的内容还包括有关计算过程的详细资料（例如图表等）以及作者认为需要交代的其他资料（例如参考书等）。数学建模44概论注意：注意：n n1.摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。摘要中把论文的主要内容及特点充分表达出来。论文主要部分要阐述题目，假设，分析，建模，解模和结果的全过程，
27、对模型的检验及模型的优缺点和发展前景也要有所表述。数学建模45概论n n2.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如13等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。数学建模46概论n n参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。数学建模47概论 数学建模一周论文 （论文
28、题目）姓名姓名1 1：学号：学号：姓名姓名2 2：学号：学号：姓名姓名3 3：学号：学号：专专 业：业：班班 级：级：指导教师：指导教师：年年 月月 日日数学建模48概论四、数学模型求解四、数学模型求解一个一个简单的简单的LINGO程序程序n n例例例例 直接用直接用LINGOLINGO来解来解如下二次规划问题：如下二次规划问题：数学建模49概论输入窗口如下：数学建模50概论程序语句输入的备注：LINGOLINGO总是根据总是根据“MAX=MAX=”或或“MIN=MIN=”寻找目标函数，寻找目标函数，而除注释语句和而除注释语句和TITLETITLE语句外的其他语句都是约束条件，语句外的其他语句
29、都是约束条件，因此语句的顺序并不重要因此语句的顺序并不重要 。限定变量取整数值的语句为限定变量取整数值的语句为“GIN(X1)GIN(X1)”和和“GIN(X2)GIN(X2)”，不可以写成，不可以写成“GIN(2)GIN(2)”，否则，否则LINGOLINGO将把这个模型看成没有整数变量。将把这个模型看成没有整数变量。LINGOLINGO中函数一律需要以中函数一律需要以“”开头，其中整型变量函开头，其中整型变量函数（数（BINBIN、GINGIN）和上下界限定函数（）和上下界限定函数（FREEFREE、SUBSUB、SLBSLB）与）与LINDOLINDO中的命令类似。而且中的命令类似。而且
30、0/10/1变量函数是变量函数是BINBIN函数。函数。数学建模51概论输出结果：n n运行菜单命令运行菜单命令运行菜单命令运行菜单命令“LINGO|SolveLINGO|SolveLINGO|SolveLINGO|Solve”数学建模52概论LINGO使用注意点 LINGO LINGO LINGO LINGO的基本用法的几点注意事项的基本用法的几点注意事项的基本用法的几点注意事项的基本用法的几点注意事项 INGO INGO中不区分大小写字母；变量和行名可以超过中不区分大小写字母；变量和行名可以超过8 8个字符，但不能超过个字符，但不能超过3232个字符，且必须以字母开头。个字符，且必须以字母
31、开头。用用LINGOLINGO解优化模型时已假定所有变量非负解优化模型时已假定所有变量非负(除非用限定变量取值范围除非用限定变量取值范围的函数的函数freefree或或subsub或或slbslb另行说明另行说明)。变量可以放在约束条件的右端变量可以放在约束条件的右端(同时数字也可放在约束条件的左端同时数字也可放在约束条件的左端)。但为了提高但为了提高LINGOLINGO求解时的效率，应尽可能采用线性表达式定义目标求解时的效率，应尽可能采用线性表达式定义目标和约束和约束(如果可能的话如果可能的话)。语句是组成语句是组成LINGOLINGO模型的基本单位模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写
32、程序每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，按照语句之间时应注意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感。的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感。以感叹号开始的是说明语句以感叹号开始的是说明语句(说明语句也需要以分号结束说明语句也需要以分号结束)）。）。题目下载地址题目下载地址n 数学建模54概论人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。