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1、 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程1二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法小结小结 思考题思考题 作业作业n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程齐次齐次常系数常系数常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次第第5 5章章 微分方程微分方程 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程2方程方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性线性一、定义一、定义 5.7 常系数齐次线性微分方
2、程常系数齐次线性微分方程3-特征方程法特征方程法将其代入方程将其代入方程,故有故有特征根特征根二阶二阶设设解解 得得特征方程特征方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶二、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数.5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程4两个两个 特解特解的通解的不同形式的通解的不同形式.有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程特征方程特征方程常数常数线性无关线性无关的的得得齐次
3、齐次方程的通解为方程的通解为设设解解其中其中r为待定常数为待定常数.5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程5有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为化简得化简得设设取取则则知知得得齐次齐次方程的通解为方程的通解为其中其中r为待定常数为待定常数.设设解解其中其中u(x)为待定函数为待定函数.5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程6有一对共轭复根有一对共轭复根为了得到实数形式的解为了得到实数形式的解,重重新新组组合合的两个的两个线性无关线性无关的解的解.其中其中r为待定常数为待定常数.用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:设设解解常数常数得得齐次齐次方程的通解为方
4、程的通解为 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程7称为称为解解 特征方程特征方程故所求通解为故所求通解为例例由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法特征方程法特征方程法.特征根特征根 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程8解解 特征方程特征方程故所求通解为故所求通解为例例特征根特征根得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程9例例 解初值问题解初值问题解解 特征方程特征方程特征根特征根所以方程的通解为所以方程的通解为(二重根二重根)特解特解 5.7 常系数
5、齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程10考研数学考研数学(二二)选择选择,4分分函数函数满足的一个微分满足的一个微分方程是方程是定理定理5.35.3与与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(2)的的通解通解.的通解的通解,是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程11考研数学考研数学(一一)填空填空,3分分(C1,C2为任意常数为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则微分则微分方程为方程为解解由所给通解的表达式知由所给通解的表达式知,是所求是所求由微分方程的特征方程的根由微分方程的特征方
6、程的根,于是特征方程为于是特征方程为故所求微分方程为故所求微分方程为 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程12特征方程特征方程特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项三、三、n阶阶常系数齐次线性方程解法常系数齐次线性方程解法若是若是k重根重根r若是若是k重共轭重共轭复根复根n阶阶线性微分方程线性微分方程常系数常系数形如形如 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程13注意注意一个根都对应着通解中的一项一个根都对应着通解中的一项,n次代数方程有次代数方程有n个根个根,而特征方程的每而特征方程的每且每一项各且每一项各一个任意常数一个任意常数.5.7 常系数齐
7、次线性微分方程常系数齐次线性微分方程14例例 求方程求方程解解的通解的通解.特征方程特征方程故所求通解为故所求通解为特征根特征根即即和和 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程15特征根特征根故所求故所求通解通解解解 特征方程特征方程例例对应的对应的特解特解(单根单根)(二重二重)共轭复根共轭复根 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程16(1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2)求出特征根求出特征根四、小结四、小结二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根实根实根复根复根求通解的步骤求通解的步骤:(3)根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程17思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程18思考题解答思考题解答令令则则特征根特征根求微分方程求微分方程 的通解的通解.特征方程特征方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程通解通解此方程属于此方程属于设设所以所以所以所以因为因为所以所以所以所以 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程19作作 业业习题习题5.7(1865.7(186页）页）