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1、目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 第八节一、一、二、二、第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.待定系数法待定系数法目录 上页 下页 返回 结束 一、一、为实数,设特解为其中 为待定多项式,代入原方程,得 为 m 次多项式.(1)若 不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为 m 次待定系数多项式目录 上页 下页 返回 结束(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为(3)若 是特征方
2、程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为小结小结 对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解目录 上页 下页 返回 结束 例例1.的一个特解.解解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 例例2.的通解.解解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求解定解问题解解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得目录 上页 下页 返
3、回 结束 于是所求解为解得练习：练习：1.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.提示：特解代入，求通解 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、第二步第二步 求出如下两个方程的特解分析思路:第一步第一步将 f(x)转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步 利用欧拉公式将 f(x)变形目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根(k =0,1),故等式两边取共轭:为方程 的特解.设则 有特解:目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果,
4、根据叠加原理,原方程有特解:原方程 均为 m 次多项式.目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析因均为 m 次实多项式.本质上为实函数,目录 上页 下页 返回 结束 小小 结结:对非齐次方程则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.目录 上页 下页 返回 结束 例例4.的一个特解.解解:本题 特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解目录 上页 下页 返回 结束 例例5.的通解.解解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为目录
5、 上页 下页 返回 结束 例例6.解解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 时可设特解为 提示提示:1.(填空)设目录 上页 下页 返回 结束 2.求微分方程的通解 (其中为实数).解解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P347 1(1),(3),(5),(7),(9);2(2),(4);习题课2 第九节