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1、3.33.3 导数在经济分析中的应用导数在经济分析中的应用u边际与边际分析边际与边际分析u经济分析中的最大最小值问题经济分析中的最大最小值问题u需求价格弹性需求价格弹性一、边际分析一、边际分析1.1.边际成本边际成本总成本的平均变化率总成本的平均变化率边际成本的经济意义：边际成本的经济意义：2.2.边际收入边际收入总收入的平均变化率总收入的平均变化率3.3.边际利润边际利润二、经济分析中的最大最小值问题二、经济分析中的最大最小值问题我们关心的是何时平均成本最小？收入最大或利润我们关心的是何时平均成本最小？收入最大或利润最大？最大？1.1.已知总成本，求使平均成本最小时的产量及最已知总成本，求使
2、平均成本最小时的产量及最小平均成本。小平均成本。2.已知收入利润时的销量？最大收入函数或利润已知收入利润时的销量？最大收入函数或利润函数，求最大收入或最大或最大利润是什么？函数，求最大收入或最大或最大利润是什么？方法：方法：（4 4）判断极值点。如果极值点唯一，该极值点就）判断极值点。如果极值点唯一，该极值点就是最值点。是最值点。（1 1）写出目标函数；写出目标函数；（2 2）求导；）求导；（3 3）令）令1 1阶导数等于阶导数等于0 0，求出驻点。，求出驻点。例例1 1 某家具厂某款家具的日生产能力为某家具厂某款家具的日生产能力为100100套，每日套，每日该产品的总成本该产品的总成本C C
3、（单位（单位:千元）是日产量千元）是日产量Q的函数的函数试求：（试求：（1 1）日产）日产2020套家具的平均成本及边际成本；套家具的平均成本及边际成本；（2 2）最小平均成本时的产量及此时的边际成本。）最小平均成本时的产量及此时的边际成本。解解（1）平均成本函数平均成本函数边际成本边际成本生产生产2020套的平均成本套的平均成本生产前生产前2020套家具时平均每套成本套家具时平均每套成本88008800元，在此基础上元，在此基础上再生产第再生产第2121套家具所需要增加的成本大约套家具所需要增加的成本大约46004600元，说明：元，说明：此时提高产量能够降低成本。此时提高产量能够降低成本。
4、（2 2）求最小平均成本）求最小平均成本由于驻点唯一由于驻点唯一,所以所以Q=50=50时平均成本最小，此时平均成本为时平均成本最小，此时平均成本为练习练习已知某厂生产已知某厂生产Q 件产品的成本为件产品的成本为问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？问：要使平均成本最少，应生产多少件产品？（万元）（万元）解解 （1 1）因为因为 是是 在其定义域内的唯一驻点所以也是在其定义域内的唯一驻点所以也是 最小值点，即要使平均成本最少，应生产最小值点，即要使平均成本最少，应生产5050件产品件产品最小平均利润最小平均利润是是 例例2 2 某企业每月生产某企业每月生产Q吨产品的总成本吨产品的总成本C（千
5、元）是（千元）是产量产量Q的函数的函数如果每吨产品销售价格是如果每吨产品销售价格是2 2万元，求每月生产万元，求每月生产1010吨，吨，1515吨及吨及2020吨时的边际利润并解释之。吨时的边际利润并解释之。解解 收益函数是收益函数是利润函数是利润函数是边际利润函数是边际利润函数是注意：扩大生产规模不一定增加经济效益，即增产未必增收。注意：扩大生产规模不一定增加经济效益，即增产未必增收。例例3 3 假如假如微积分微积分教科书的需求关系是教科书的需求关系是其中其中Q是销售量（千册），是销售量（千册），P为价格（元）。如果价格从为价格（元）。如果价格从2020元增加到元增加到2121元，对教科书的
6、需求大约下降多少？元，对教科书的需求大约下降多少？解解 求边际需求。求边际需求。说明：说明：价格在价格在2020元的基础上再提高元的基础上再提高1 1元，销售量将会下降大元，销售量将会下降大约约15001500册。册。三、弹性分析三、弹性分析设函数设函数y=f(x)可导，函数的相对改变量与自变量的相可导，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比对改变量之比 函数函数f(x)的弹性的实际意义：当自变量在的弹性的实际意义：当自变量在x处产生处产生1%1%变化的时候，函数变化的时候，函数f(x)将近似改变将近似改变 需求弹性的经济含义是：当某种商品的价格需求弹性的经济含义是：当某种商品的价格P下降下
7、降（或上升）（或上升）1%时，其需求量时，其需求量Q将增加（或减少）约将增加（或减少）约%。定义定义 某种商品的市场需求量为某种商品的市场需求量为Q，价格为价格为P，需求函数需求函数Q=Q(P)可导，则称可导，则称为商品的为商品的需求价格弹性需求价格弹性，简称为，简称为需求弹性需求弹性。1.需求价格弹性需求价格弹性 称为称为单位弹性单位弹性，即商品需求，即商品需求量的相对变化与价格的相对变化量的相对变化与价格的相对变化基本相等基本相等。称为称为富有弹性富有弹性，即商品需求，即商品需求量的相对变化量的相对变化大于大于价格相对变化。价格相对变化。称为称为缺乏弹性缺乏弹性，即商品需，即商品需求量的相
8、对变化求量的相对变化小于小于价格的相对变化。价格的相对变化。例例1已知需求量已知需求量Q(单位：百件单位：百件)，价格，价格P(单位元单位元)，需求价格函数为：，需求价格函数为：解：因为解：因为所以所以求当求当P=9时的需求弹性时的需求弹性经济解释是什么？经济解释是什么？一般商品价格上升需求量下降；价格下降，需求量一般商品价格上升需求量下降；价格下降，需求量上升。所以需求弹性一般为负值。上升。所以需求弹性一般为负值。哪一种商品的需求价格弹性最小？哪一种商品的需求价格弹性最小？n非能源商品！非能源商品！n如如“石油石油”这种能源商品，它的价格弹性就是最大的！这种能源商品，它的价格弹性就是最大的！
9、而且只往而且只往“上上”弹，不往弹，不往“下弹下弹”。n纸张，随着的木材的涨浮而定！纸张，随着的木材的涨浮而定！n外包装品，随着其他能源商品的价格而定。外包装品，随着其他能源商品的价格而定。n金属制品也是同样！金属制品也是同样！n所以，如果说哪一所以，如果说哪一“种种”商品的需求价格弹性最小，商品的需求价格弹性最小，那答案只能是那答案只能是“非能源商品非能源商品”！n例如食品，这是一种可再生的非能源商品！例如食盐，例如食品，这是一种可再生的非能源商品！例如食盐，粮食，水，等。粮食，水，等。在经济分析中在经济分析中,经营者关心的是商品的涨价或降价经营者关心的是商品的涨价或降价对收入的影响的程度对
10、收入的影响的程度.利用需求弹性概念可以知道涨价未必增收利用需求弹性概念可以知道涨价未必增收,降价未必降价未必减收减收.当商品的价格有微小变化时当商品的价格有微小变化时,商品销售收入商品销售收入R=PQ的改的改变量为变量为商品的涨价或降价商品的涨价或降价对商品销售对商品销售总收入基本没有影响总收入基本没有影响。商品涨价商品涨价，即，即商品降价商品降价，即，即销售总收入减少销售总收入减少销售总收入增加销售总收入增加商品涨价商品涨价，即，即商品降价商品降价，即，即商品的涨价或降价对收入的影响：商品的涨价或降价对收入的影响：销售总收入减少销售总收入减少销售总收入增加销售总收入增加美国一家州立大学的管委
11、会面临着一个重要的财务美国一家州立大学的管委会面临着一个重要的财务问题问题.按照现在的学费水平，该大学在每个学生身上每按照现在的学费水平，该大学在每个学生身上每年要亏损年要亏损750750美元美元.这家州立大学的校长提出应把每一位这家州立大学的校长提出应把每一位学生的平均学费水平从现在的学生的平均学费水平从现在的30003000美元提高到美元提高到37503750美元，美元，即增加即增加25%.25%.该校共有该校共有1000010000名学生，他计算这样就可补名学生，他计算这样就可补偿偿750750万元的亏损万元的亏损.案例一案例一大学生的学费应收多少？大学生的学费应收多少？（一）案例背景：
12、（一）案例背景：但学生代表抗议说，他们付不起这么高的学费但学生代表抗议说，他们付不起这么高的学费.为此，校长认为唯一的办法只能是减少办班和裁减教为此，校长认为唯一的办法只能是减少办班和裁减教工工.但教职工们则主张增加学费以保住他们的工作但教职工们则主张增加学费以保住他们的工作.文章作者估计州立大学入学人数对学费变化的反应文章作者估计州立大学入学人数对学费变化的反应程度，即程度，即弹性为弹性为1.31.3.也就是说，学费提高也就是说，学费提高1%1%，会使，会使入学人数减少入学人数减少1.3%.1.3%.这是一个最新的数据，文章的作者这是一个最新的数据，文章的作者是一位很受尊敬的学者是一位很受尊
13、敬的学者.一名经济学专业的学生，在做学期论文的过程中，一名经济学专业的学生，在做学期论文的过程中，发现一本杂志有一篇关于大学教育需求价格弹性的文章发现一本杂志有一篇关于大学教育需求价格弹性的文章.即学生怎样与校方进行交涉才能使得学校不涨学费即学生怎样与校方进行交涉才能使得学校不涨学费呢？只有学生们能够说清楚提高学费并不能实现这一目呢？只有学生们能够说清楚提高学费并不能实现这一目的，管委会才有可能拒绝批准管理当局的建议的，管委会才有可能拒绝批准管理当局的建议.（二）案例分析：（二）案例分析：学生们很快认识到，对他们的困境仅靠寻求怜悯是学生们很快认识到，对他们的困境仅靠寻求怜悯是无济于事的无济于事
14、的.他们的惟一希望是向校方陈述，提高学费他们的惟一希望是向校方陈述，提高学费是对学校不利的是对学校不利的.问：学生应如何做？问：学生应如何做？根据文章中估计的根据文章中估计的价格弹性价格弹性，学生们计算出，如，学生们计算出，如果学费增长果学费增长25%25%，会使入学人数减少，会使入学人数减少32.5%32.5%，接近，接近33003300个学生。这就会使总收入从现在的个学生。这就会使总收入从现在的30 000 30 000 000000美元美元（即（即300010000300010000）减少到约）减少到约2500000025000000美元（即美元（即3750670037506700）。）
15、。（三）案例解答：（三）案例解答：这一信息使管委会大吃一惊，他们问校长，因学生这一信息使管委会大吃一惊，他们问校长，因学生减少而节省下来的开支是否能够补偿总收入的减少。校减少而节省下来的开支是否能够补偿总收入的减少。校长回答说，学校的大部分开支是与入学人数无关的，因长回答说，学校的大部分开支是与入学人数无关的，因此人数减少并不会导致成本的大量节省。通过无记名投此人数减少并不会导致成本的大量节省。通过无记名投票，管委会否决了提高学费的建议，并指示校长寻找其票，管委会否决了提高学费的建议，并指示校长寻找其他途径弥补收入赤字。他途径弥补收入赤字。问题问题 某房地产公司有某房地产公司有5050套公寓要
16、出租，当租金定为套公寓要出租，当租金定为每月每月180180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加1010元时，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费2020元元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？解解设房租为每月设房租为每月x元，元，租出去的房子有租出去的房子有套套，每月总收入为每月总收入为（唯一驻点唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为问租出几套房子收入最大？问租出几套房子收入最大？
17、案例二案例二房租定为多少可获得最大收入？房租定为多少可获得最大收入？问题问题某旅行社组织去风景区的旅游团某旅行社组织去风景区的旅游团.如果每团人数不如果每团人数不超过超过3030人人,飞机票每张收费飞机票每张收费900900元元;如果每团人数多于如果每团人数多于3030人则人则给予优惠给予优惠,每多每多1 1人机票每张减少人机票每张减少1010元元,直至机票降到直至机票降到450450元。元。每团乘飞机每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费旅行社需付给航空公司包机费1500015000元。问：每元。问：每团人数为多少时团人数为多少时,旅行社可以获得最大利润旅行社可以获得最大利润?最大利润是多少
18、最大利润是多少?解解（1）首先写出飞机票的价格函数。依题意，对旅首先写出飞机票的价格函数。依题意，对旅行社而言，机票收入是收益，付给航空公司的包机费是成行社而言，机票收入是收益，付给航空公司的包机费是成本。设本。设x表示每团人数，表示每团人数，p表示机票的价格。表示机票的价格。案例三案例三旅行社如何获得最大利润？旅行社如何获得最大利润？所以每团人数最多为所以每团人数最多为30+45=75人人。飞机票的价格函数为飞机票的价格函数为（x为正整数为正整数）（2 2）旅行社的利润函数）旅行社的利润函数因为驻点唯一，故因为驻点唯一，故x=60=60人时利润最大，即每团为人时利润最大，即每团为6060人人
19、时可获得最大利润，最大利润为时可获得最大利润，最大利润为案例四案例四 你会吃几块巧克力？你会吃几块巧克力？人们消费是为了得到物质何精神上的满足，这人们消费是为了得到物质何精神上的满足，这种满足在经济学上称为种满足在经济学上称为效用效用。生活中的经验告诉我们，消费每一单位商品时生活中的经验告诉我们，消费每一单位商品时产生的效用是不同的。产生的效用是不同的。对一个爱吃巧克力的人来讲，有一个实验表明，对一个爱吃巧克力的人来讲，有一个实验表明，吃一块巧克力的总效用为吃一块巧克力的总效用为3535，吃两块巧克力的总效，吃两块巧克力的总效用为用为6060，吃三块巧克力的总效用为，吃三块巧克力的总效用为75
20、75，吃四块巧克，吃四块巧克力的总效用为力的总效用为8080，吃五块巧克力的总效用为，吃五块巧克力的总效用为7575。由。由简单的观察可以看出，从吃第简单的观察可以看出，从吃第1 1块到第块到第5 5块效用是递块效用是递减趋势。第减趋势。第5 5块后效用没有增加反而减少。块后效用没有增加反而减少。问：你会吃几块巧克力？问：你会吃几块巧克力？0 1 2 3 4 5 6 x10020406080u用最小二乘法可以得到效用函数用最小二乘法可以得到效用函数x为巧克力的块数为巧克力的块数边际效用边际效用吃一块巧克力的边际效用为吃一块巧克力的边际效用为吃两块巧克力的边际效用为吃两块巧克力的边际效用为吃三块
21、巧克力的边际效用为吃三块巧克力的边际效用为吃四块巧克力的边际效用为吃四块巧克力的边际效用为吃五块巧克力的边际效用为吃五块巧克力的边际效用为x为巧克力的块数为巧克力的块数极值点唯一，由判别方法极值点唯一，由判别方法1知为极大值点，也为最大值点。知为极大值点，也为最大值点。最大效用为最大效用为本本 节节 小小 结结u需求价格弹需求价格弹边际成本边际成本MC=边际收入边际收入 MR=1.求使平均成本最小时的产量及最小平均成本。求使平均成本最小时的产量及最小平均成本。2.求最大收入或最大利润时的销量？求最大收入或最大利润时的销量？最大收入或最大利润是什么？最大收入或最大利润是什么？u经济分析中的最大最小值问题经济分析中的最大最小值问题u边际与边际分析边际与边际分析