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1、导数在经济学中的应用第一页，讲稿共五十九页哦 某一商品的某一商品的需求量需求量是指关于一定的价格水平，在是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。商品量。一、经济学中的常见函数一、经济学中的常见函数1.需求函数需求函数消费者对某种商品的消费者对某种商品的需求量需求量是由多种因素决定的，例是由多种因素决定的，例如，人口、收入、季节、该商品的价格、其他商品的如，人口、收入、季节、该商品的价格、其他商品的价格等。价格等。机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二页，讲稿共五十九页哦如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变
2、化很少，如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量 Q 便是价便是价格格 P 的函数，记的函数，记称称 f 为为需求函数需求函数，同时，同时 f（P）的反函数的反函数也称为也称为需求函数需求函数。一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，需求需求函数函数是是单调减少单调减少的。的。第三页，讲稿共五十九页哦人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数线性函数：线性函数：，其中，其中幂函数：幂函数：，其中，其中指数函数：指
3、数函数：，其中，其中第四页，讲稿共五十九页哦例例 1设某商品需求函数为设某商品需求函数为讨论讨论 P=0 时的需求量和时的需求量和 Q=0 时的价格。时的价格。解：解：当当P=0 时，Q=b，它表示当价格为零时，它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为消费者对商品的需求量为 b，b 也就是市场对该也就是市场对该商品的商品的饱和需求量饱和需求量，也称为，也称为最大需求量最大需求量。当当Q=0 时，P=b/a，它表示当价格上涨到，它表示当价格上涨到b/a 时，没有人愿意购买该产品。时，没有人愿意购买该产品。第五页，讲稿共五十九页哦2.供给函数供给函数 某一商品的某一商品的供给量供给量是指在一定的
4、价格条件下，是指在一定的价格条件下，在一定的时期内，生产者愿意生产并可供出出售的在一定的时期内，生产者愿意生产并可供出出售的商品量。商品量。供给量供给量也是由多个因素决定的，如果认为在一段时也是由多个因素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量 Q 便是便是价格价格 P 的函数，设的函数，设称称 为为供给函数。供给函数。第六页，讲稿共五十九页哦一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的供给函供给函数
5、数都是都是单调增加单调增加的。的。人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数线性函数：线性函数：，其中，其中幂函数：幂函数：，其中，其中指数函数：指数函数：，其中，其中第七页，讲稿共五十九页哦使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为P0），称为），称为均衡价格。均衡价格。例例2.已知某商品的需求函数和供给函数分别为已知某商品的需求函数和供给函数分别为求该商品求该商品均衡价格均衡价格。解：解：由供需均衡条件，有由供需均衡条件，有由此，得均衡价格由此，得均衡价格第八页，讲稿共五十九页哦3.生产函数生产函数
6、生产函数生产函数表示了一定的时期内各生产要素的投入量表示了一定的时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。与产品的最大可能产量之间的关系。生产要素生产要素包括资金和劳动力等多种要素。为方便起见，包括资金和劳动力等多种要素。为方便起见，暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量的情况。的情况。例例3.在电力输送过程中，如果用在电力输送过程中，如果用 x 表示能量输入，则能表示能量输入，则能量输出为量输出为 y=f(x)，其中，其中这里这里 c 0 为容量参数。为容量参数。第九页，讲稿共五十九页哦规模报酬问题：规模报酬问题：当投入增加
7、一倍时，产出是否也增加一倍？当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？例：例：设投入设投入 x 与产出与产出g(x)的关系为的关系为由于由于，可见，可见，当当时，规模报酬不变；当时，规模报酬不变；当时，如果投入时，如果投入增加一倍，产量增加不到一倍，即规模报酬递减；增加一倍，产量增加不到一倍，即规模报酬递减；当当时，如果投入时，如果投入 增加一倍，产量增加超过增加一倍，产量增加超过一倍，即规模报酬递增。一倍，即规模报酬递增。第十页，讲稿共五十九页哦4.成本函数成本函数成本成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额。格或费用总额。成本
8、成本由固定成本和可变成本组成。由固定成本和可变成本组成。固定成本固定成本是指支付是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；理人员工资等；可变成本可变成本是指支付可变生产要素的费是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，用，包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。它随着产量的变动而变动。第十一页，讲稿共五十九页哦例例4.设某厂的生产函数设某厂的生产函数，其中，其中 L 表示表示劳动力数量，求劳动力价格为劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成本时的可变成本函数函数解：
9、解：由由，得，得，这样，这样即可变成本函数即可变成本函数第十二页，讲稿共五十九页哦5.收益函数收益函数总收益总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用收入，用 Q 表示出售的产品数量，表示出售的产品数量，R 表示总收益，表示总收益，表示平均收益，则表示平均收益，则如果产品的价格如果产品的价格 P 保持不变，则保持不变，则第十三页，讲稿共五十九页哦6.利润函数利润函数利润利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，即即例例6.已知某产品价格为已知某产品价格为 P，需求函数为，需求函数为 成本函数为成本函数为，求产
10、量，求产量 Q 为多少时利润为多少时利润L 最大？最大利润是多少？最大？最大利润是多少？解：解：由需求函数由需求函数，可得，可得于是，收益函数为于是，收益函数为第十四页，讲稿共五十九页哦因此，因此，时，最大利润为时，最大利润为30。这样，利润函数为这样，利润函数为第十五页，讲稿共五十九页哦7.库存函数库存函数设某企业在计划期设某企业在计划期 T 内，对某种物品的总需求量为内，对某种物品的总需求量为Q，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进货是不合算的，考虑均匀地分货是不合算的，考虑均匀地分 n 次进货，每次进货次进货，每次进货批量为批量为，进货周期为
11、，进货周期为假定每件物品的贮存单位时间费用为假定每件物品的贮存单位时间费用为C1，每次进，每次进货费用为货费用为C2，每次进货量相同，进货间隔时间不，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 。第十六页，讲稿共五十九页哦在时间在时间 T 内的总费用内的总费用 E 为为其中其中是贮存费，是贮存费，是进货费用。是进货费用。第十七页，讲稿共五十九页哦8.戈珀兹（戈珀兹（Gompertz）曲线）曲线戈珀兹戈珀兹 曲线是指数函数曲线是指数函数在经济预测中，经常使用该曲线在经济预测中，经常使用该曲线.当当初始期初始期发展期发展期饱和期饱和期时，
12、其图形如图所示时，其图形如图所示第十八页，讲稿共五十九页哦初始期初始期 发展期发展期饱和期饱和期由图可见戈珀兹曲线当由图可见戈珀兹曲线当 t 0 且无限增大时，其无限与直且无限增大时，其无限与直线线 y=k 接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，表示该产品在的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。商业流通中将达到市场饱和。第十九页，讲稿共五十九页哦二、边际与弹性二、边际与弹性1.边际概念边际概念如果函数如果函数在在处可导，则在处可导，则在内的内的平均变化率平均变化率为为；在；在
13、处的处的瞬时变化率瞬时变化率经济学中称它为经济学中称它为在在处的处的边际函数边际函数值。值。第二十页，讲稿共五十九页哦设在点设在点处，处，从从改变一个单位时，改变一个单位时，的增量的增量的准确值为的准确值为，当当改变量很小时，则由微分的应用知道，改变量很小时，则由微分的应用知道，的近似值为的近似值为当当时，标志着时，标志着 x 由由 x0 减少一个单位。减少一个单位。第二十一页，讲稿共五十九页哦定义定义1设函数设函数在在处可导，则称导数处可导，则称导数的的边际函数边际函数。为为在在 x0 处的值处的值为为边际函数值边际函数值。即：。即：当当x=x0时，时，x 改变一个单位，改变一个单位，y 改
14、变改变个单位。个单位。第二十二页，讲稿共五十九页哦例例1 1解：解：第二十三页，讲稿共五十九页哦（1）边际成本边际成本2.2.经济学中常见的边际函数经济学中常见的边际函数（2）边际平均成本边际平均成本总成本函数总成本函数的导数，称为的导数，称为边际成本边际成本。平均成本平均成本的导数，称为的导数，称为平均边际成本平均边际成本。第二十四页，讲稿共五十九页哦一般说来，总成本一般说来，总成本等于固定成本等于固定成本与可变与可变成本成本之和，即之和，即于是，边际成本为于是，边际成本为显然，显然，边际成本与固定成本无关边际成本与固定成本无关。第二十五页，讲稿共五十九页哦例例2.设某产品生产设某产品生产
15、Q 单位的总成本为单位的总成本为求求：（1）生产）生产900个单位时的总成本和平均成本；个单位时的总成本和平均成本；（2）生产）生产900个单位到个单位到1000个单位时的总成本的平个单位时的总成本的平均变化率；均变化率；（3）生产）生产900个的边际成本，并解释其经济意义。个的边际成本，并解释其经济意义。第二十六页，讲稿共五十九页哦总成本函数：总成本函数：解：解：（1）生产）生产900个单位时的总成本为个单位时的总成本为平均成本为平均成本为第二十七页，讲稿共五十九页哦 （2）生产）生产900个单位到个单位到1000时总成本的平均变化时总成本的平均变化率为率为总成本函数：总成本函数：解：解：第
16、二十八页，讲稿共五十九页哦总成本函数：总成本函数：解：解：（3）边际成本函数）边际成本函数当当Q=900 时的边际成本为时的边际成本为它表示当产量为它表示当产量为 900 个单位时，再增加个单位时，再增加 一个单位，一个单位，需增加需增加 成本成本 1.5 个单位。个单位。（或减少）（或减少）（或减少）（或减少）第二十九页，讲稿共五十九页哦（3 3）边际收益）边际收益定义：定义：总收益函数总收益函数的导数的导数称为称为边际收益函数边际收益函数。设设 P 为价格，为价格，因此，因此第三十页，讲稿共五十九页哦解：解：总收益为总收益为销售销售15个单位时，总收益个单位时，总收益平均收益平均收益第三十
17、一页，讲稿共五十九页哦边际收益边际收益当销售量从当销售量从15个单位到个单位到20个单位时的平均变化率为个单位时的平均变化率为例例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为该商品的需求函数为，其中，其中为需求量，为需求量，为价格，且最大需求量为为价格，且最大需求量为6，求，求该商品的收益函数和边际函数。该商品的收益函数和边际函数。第三十二页，讲稿共五十九页哦解：解：（4）边际利润边际利润定义：定义：边际利润表示：若已经生产了边际利润表示：若已经生产了Q 单位产品，再生单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润产一个单位产品所增加的总利润收
18、益函数收益函数边际收益函数边际收益函数总利润函数总利润函数的导数的导数称为称为边际利润边际利润。第三十三页，讲稿共五十九页哦一般情况下，总利润函数一般情况下，总利润函数等于总收益函数等于总收益函数与总成本函数与总成本函数之差。即之差。即则边际利润为则边际利润为显然，边际利润可由边际收入与边际成本决定，显然，边际利润可由边际收入与边际成本决定，时，时，第三十四页，讲稿共五十九页哦例例5.某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后得出总利润得出总利润（元）与每月产量（元）与每月产量（吨）的关系（吨）的关系为为，试确定每月生产，试确定每月生产20吨，吨，25吨，
19、吨，35吨的边际利润，并作出经济解释。吨的边际利润，并作出经济解释。解：解：边际利润函数为边际利润函数为第三十五页，讲稿共五十九页哦上述结果表明当生产量为每月上述结果表明当生产量为每月2020吨时，再增加一吨，利吨时，再增加一吨，利润将增加润将增加5050元，当产量为每月元，当产量为每月2525吨时，再增加一吨，吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为利润不变；当产量为3535吨时，再增加一吨，利润将减吨时，再增加一吨，利润将减少少100100此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高多，利润越高.边际利润边际利润第三十六页，讲稿共五十九页哦（5）边际
20、需求边际需求定义定义若若是需求函数，则需求量是需求函数，则需求量对价格的导数对价格的导数称为称为边际需求函数边际需求函数。的反函数的反函数是价格函数，价格是价格函数，价格对需求的导数对需求的导数称为称为边际价格函数边际价格函数。由反函数求导法则可知，边际需求函数与边际价格由反函数求导法则可知，边际需求函数与边际价格函数互为倒数，即函数互为倒数，即第三十七页，讲稿共五十九页哦解：解：它的它的经济意义经济意义是价格为是价格为4 4时，价格上涨（或下降）时，价格上涨（或下降）1 1个单个单位，需求量将减少（或增加）位，需求量将减少（或增加）8 8个单位个单位.当当时的边际需求为时的边际需求为第三十八
21、页，讲稿共五十九页哦定义定义3.弹性概念弹性概念设函数设函数在点在点处可导，函数处可导，函数的相对改变量的相对改变量与自变量与自变量的相对改变量的相对改变量之比之比，称为函数，称为函数从从到到两点间的平均相对变化率，两点间的平均相对变化率，或称或称两点间的弹性两点间的弹性。注意：注意：两点间的弹性是有方向性的。两点间的弹性是有方向性的。第三十九页，讲稿共五十九页哦记作记作，或，或即即第四十页，讲稿共五十九页哦弹性函数的定义弹性函数的定义对一般的对一般的，若，若可导且可导且，则有，则有是是的函数，称为的函数，称为的的弹性函数弹性函数（简称（简称弹性弹性）函数函数在点在点处的弹性处的弹性反映了反映
22、了的变化幅度的变化幅度对对变化幅度变化幅度的大小的影响，的大小的影响，也就是也就是对对变化反应的强烈程度或灵敏度。变化反应的强烈程度或灵敏度。第四十一页，讲稿共五十九页哦表示在点表示在点处，当处，当产生产生1%的改变时，的改变时，近似地改变近似地改变。由弹性的定义由弹性的定义边际函数边际函数平均函数平均函数弹性在经济学上可理解为边际函数与平均函数之比。弹性在经济学上可理解为边际函数与平均函数之比。第四十二页，讲稿共五十九页哦常见函数的弹性常见函数的弹性（a,b,c,为常数为常数）（1）常数函数）常数函数的弹性的弹性（2）线性函数）线性函数的弹性的弹性（3）幂函数）幂函数的弹性的弹性第四十三页，
23、讲稿共五十九页哦常见函数的弹性常见函数的弹性（a,b,c,为常数为常数）（4）指数函数）指数函数的弹性的弹性（5）对数函数）对数函数的弹性的弹性（6）三角函数的弹性）三角函数的弹性，第四十四页，讲稿共五十九页哦弹性的四则运算弹性的四则运算第四十五页，讲稿共五十九页哦函数弹性的图解方案函数弹性的图解方案对于给定的函数对于给定的函数的几何意义知的几何意义知（如图所示），由边际函数（如图所示），由边际函数又平均函数为又平均函数为则则注：注：常用符号常用符号表示需求的价格弹性的绝对值表示需求的价格弹性的绝对值第四十六页，讲稿共五十九页哦1.1.需求的价格弹性需求的价格弹性 需求的需求的价格弹性价格弹性
24、是指当价格变化一定的百分比以是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度后引起的需求量的反应程度.用公式表示为用公式表示为三、三、经济学中常见的弹性函数经济学中常见的弹性函数解：解：例例1 1 某需求曲线为某需求曲线为，求，求 P=20时时的弹性。的弹性。，当，当 P=20时，时，Q=1000，所以，所以第四十七页，讲稿共五十九页哦几种特殊的价格弹性几种特殊的价格弹性从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：（1）需求的价格弹性等于）需求的价格弹性等于0。也就是说，这种商品。也就是说，这种商品完全没有弹性，不管价格如何变，其需求量都不会完全没有弹性
25、，不管价格如何变，其需求量都不会发生变化。这种商品的发生变化。这种商品的需求曲线的图形是一条需求曲线的图形是一条垂直的直线。垂直的直线。第四十八页，讲稿共五十九页哦（2）需求的价格弹性为无穷大。它表明商品在一定）需求的价格弹性为无穷大。它表明商品在一定价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把价格价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把价格稍微提高一点点，稍微提高一点点，就可能一个也卖不掉。就可能一个也卖不掉。这种商品的需求曲线为这种商品的需求曲线为一条水平的直线。在这一条水平的直线。在这市场里，不同企业的产市场里，不同企业的产品是同质的，价格由市品是同质的，价格由市场供需关系所决定；场供需
26、关系所决定；第四十九页，讲稿共五十九页哦（3）单位弹性。即需求曲线上各点的弹性均为）单位弹性。即需求曲线上各点的弹性均为1，也就是，也就是说，在任何价格水平下，价格变动一个百分比时，需求说，在任何价格水平下，价格变动一个百分比时，需求量均按同样的百分比变化。这种商品的需求曲线是一条量均按同样的百分比变化。这种商品的需求曲线是一条双曲线，其方程为双曲线，其方程为P Q=K。例如，例如，当一个人从每月的工资中拿当一个人从每月的工资中拿出一定数量的钱，如出一定数量的钱，如100元，元，购买书时，其个人对书的需购买书时，其个人对书的需求曲线就是一条双曲线；求曲线就是一条双曲线；第五十页，讲稿共五十九页
27、哦（4）需求曲线是一条倾斜的直线（如图）。这里需求）需求曲线是一条倾斜的直线（如图）。这里需求曲线的各点的弹性都是变化的。曲线的各点的弹性都是变化的。在其上端点（在其上端点（A），），；在其上端点（；在其上端点（B），），需求曲线的中点（需求曲线的中点（M），），需求曲线的需求曲线的 AM 部分，部分，称之为，称之为弹性需求弹性需求；需求曲线的需求曲线的 MB 部分，部分，称之为，称之为非弹性需求非弹性需求。第五十一页，讲稿共五十九页哦例例9.设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为，其中，其中 P 为价格，为价格，Q 为需求量：为需求量：（1）当）当 P=10，且价格上涨，且价格上涨 1%时
28、，需求量时，需求量 Q 是是增加还是减少，变化百分之几？增加还是减少，变化百分之几？（2）讨论商品价格变化时，需求量变化的情况。）讨论商品价格变化时，需求量变化的情况。解：解：（1）需求弹性）需求弹性故故第五十二页，讲稿共五十九页哦由于由于 P 和和 Q 是按相反方向变化的，在是按相反方向变化的，在 P=10，且价格上涨且价格上涨1%时需求量时需求量Q则减少则减少（2）当）当，即，即时，因时，因，故，故，即，即。因而当价格因而当价格 P 在在0与与25之间变化，且上涨（下降）之间变化，且上涨（下降）1%时，需求量减少（增加）时，需求量减少（增加），小于价格上涨，小于价格上涨（下降）的百分比（因
29、（下降）的百分比（因）；）；第五十三页，讲稿共五十九页哦当当，即，即，得，得这表明这表明 P=25时，需求量的变动与价格变动按相同时，需求量的变动与价格变动按相同的百分比进行；的百分比进行；当当，即，即时，显然得时，显然得于是，当于是，当且价格且价格 P 上涨（下降）上涨（下降）1%时，需求量减少（增加）时，需求量减少（增加），大于价格上涨，大于价格上涨（下降）的百分比（因（下降）的百分比（因）。）。第五十四页，讲稿共五十九页哦需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系总收益总收益边际总收益边际总收益第五十五页，讲稿共五十九页哦边际总收益边际总收益（1）若）若
30、，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，需求变动的幅度小于价格变动的幅度此时，边际收益大于零，即价格上涨，总收益增加，此时，边际收益大于零，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；价格下跌，总收益减少；（2）若）若，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，需求变动的幅度大于价格变动的幅度此时，边际收益小于零，即价格上涨，总收益减少，此时，边际收益小于零，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；价格下跌，总收益增加；第五十六页，讲稿共五十九页哦综上所述，总收益的变化受综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变商品需求弹性的变化而变化，其关系如图所示。化，
31、其关系如图所示。边际总收益边际总收益（3）若）若，需求变动的幅度等于价格变动的幅度，需求变动的幅度等于价格变动的幅度此时，边际收益等于零，即总收益保持不变。此时，边际收益等于零，即总收益保持不变。第五十七页，讲稿共五十九页哦2.2.供给弹性供给弹性定义：定义：供给弹性通常指的是供给的供给弹性通常指的是供给的价格弹性价格弹性。设供给曲线设供给曲线，则供给弹性为，则供给弹性为式中式中为供给的价格弹性。为供给的价格弹性。例例10.设某产品的供给函数为设某产品的供给函数为，求供给，求供给弹性函数及当弹性函数及当时的供给弹性。时的供给弹性。解：解：，故，故当当时，时，第五十八页，讲稿共五十九页哦3.3.收益弹性收益弹性收益的价格弹性收益的价格弹性收益的销售弹性收益的销售弹性例例11.设设分别为销售总收益，商品价格，销售量分别为销售总收益，商品价格，销售量（1）试分别求出收益的价格弹性）试分别求出收益的价格弹性，收益的销售弹，收益的销售弹性性与需求的价格弹性与需求的价格弹性的关系；的关系；（2）试分别解出关于价格）试分别解出关于价格的边际收益的边际收益，关于需求，关于需求的边际收益的边际收益与需求价格弹性与需求价格弹性 的关系。的关系。第五十九页，讲稿共五十九页哦