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1、偏导数欧阳顺湘北京师范大学珠海分校2004.12.26第三节第三节 偏导数与全微分偏导数与全微分一、一、偏导数的定义及计算法偏导数的定义及计算法设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，当当固定固定当当在在处有增量处有增量时，时，称为函数称为函数在点在点处对处对的的偏增量偏增量.当当固定固定而而在在处有增量处有增量时，时，称为函数称为函数在点在点处对处对的的偏增量偏增量.称为函数称为函数在点在点处处的的全增量全增量.在在处有增量处有增量时，时，而而在在处有增量处有增量时，时，定义定义定义定义设函数设函数在点在点某邻域内有定义，某邻域内有定义，当当固定固定而而在在处有增量处有增量时，时
2、，存在，存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数在点在点处对处对的的偏导数偏导数.记作记作:或或若极限若极限在点在点处对处对的的偏导数偏导数定义为定义为:类似类似,函数函数也记作也记作是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,结论结论二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义方向导数二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:xyzSo是一元函数是一元函数在点在点处的导数处的导数,由一元函数导数的几何意义知由一元函数导数的几何意义知在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线在点在点处的
3、切线对处的切线对轴的轴的斜率斜率.类似类似,在几何上表示空间曲线在几何上表示空间曲线在点在点处的切线对处的切线对轴的轴的斜率斜率.视视 y 为常量，为常量，对对 x 求导求导.视视 x 为常量，为常量，对对 y 求导求导.说明说明对二元函数求关于对二元函数求关于某一个自变量的偏导数某一个自变量的偏导数时时,只需视只需视其它变量为常量其它变量为常量,求导即可求导即可.根据根据一元函数一元函数的求导的求导公式和求导法则公式和求导法则,若函数若函数在区域在区域D内内每一点每一点处对处对的偏导数都存在的偏导数都存在,偏导数就是偏导数就是的函数的函数,称为函数称为函数对对的的偏导偏导(函函)数数.记作记
4、作类似定义函数类似定义函数对对的的偏导数偏导数.记作记作:说明说明:偏导函数的概念偏导函数的概念可以推广可以推广到二元以上的函数到二元以上的函数.例如三元函数例如三元函数在点在点处关于处关于的偏导数为的偏导数为:类似类似,说明说明对多元函数求关于对多元函数求关于某一个自变量的偏导数某一个自变量的偏导数时时,只需视只需视其它变量为常量其它变量为常量,求导即可求导即可.根据根据一元函数一元函数的求导的求导公式和求导法则公式和求导法则,例例1.求求的偏导数的偏导数.解解例例2.求求处的偏导数处的偏导数.在点在点解解例例2.求函数求函数在原点处的偏导数在原点处的偏导数.解解二元函数在某一点处二元函数在
5、某一点处偏导数存在偏导数存在,但但未必连续未必连续.不存在不存在x yoz.旋转锥面旋转锥面.连续函数的偏导数也未必存在连续函数的偏导数也未必存在例例3.求求的偏导数的偏导数.解解例例4.求求的偏导数的偏导数.解解二、高阶偏导数二、高阶偏导数设函数设函数在区域在区域D 内有偏导数内有偏导数若这两个函数的偏导数存在，若这两个函数的偏导数存在，称其为函数称其为函数的的二阶偏导数二阶偏导数混混合合偏偏导导数数Note：记号有的书上的记法不同 若函数若函数在区域在区域D 内的两个内的两个二阶混合偏导数连续二阶混合偏导数连续,则在该区域内这两个则在该区域内这两个混合偏导数必相等混合偏导数必相等.类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，类似可定义三阶、四阶及更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数高阶偏导数.定理定理解解例例1.设设求它的二阶偏导数求它的二阶偏导数.再求再求The End练习Page 5 （1），（2）