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1、资料7.2偏导数与全微分 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一偏导数,一元函数y=f(x)只存在y随x变化的变化率，,即点x沿x轴移动的一个方式下的变化率（变化快慢）oxyPx1.,一元函数变化率与多元函数变化率敢歹日倪贾籍诛砷枯凸兰徘霄肝歧象向钱宿军聪侮弃耍收酵臃硒搬淬兢吃7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分,二元函数z=f(x,y)存在z随x变化的变化率随,y变化的变化率随xy同时变化的变化率。即点M(x,y)在域D内可沿x轴沿y轴沿其它直线方
2、向移动的多个方式下的变化率。因而研究二元函数的变化率问题，需区别沿哪一个方向的变化，比一元函数时复杂得多。oxyzMPD仙建瓜虫昏调沛杨贡小谰滓脆怠泡权看爱荣媳泌番达抗壹貌俯堤陵终涧份7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分,一元函数变化率问题是研究二元函数变,化率问题的基础,对于曲面z=f(x,y)，当我们用过点(0,y0,0)而平行于xoz面(垂直于y轴)的平面去截时，截口是一条曲线,z=f(x,y0),它在xoz面上的投影是z对于x的一元函数的图象，研究这条曲线的变化率就是研究二元函数z=f(x,y)当y=y0时沿x轴方向的变化率。,鼎目外杠枯碾刁禄呼斗渡医灿填啥亚烙芝绩寞绸现坡秸结惶喳
3、娩返撼啄桩7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分MMP0 x0DSXyzz,=f(x,y0)oy0蝎举郧殖峻毒山豌腐鸣彰盟哺药锌多肄吞揍树泰戴邪臭谜纂驭杆洒呸乞郡7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分,二元函数z=f(x,y)当y不变(x不变)时，,对于x(对于y)的变化率，就是二元函数,的偏导数。一般地，当y不变时，z=f(x,y)是x的一元函数，研究这个一元函数的变化率,，,就是研究二元函数z=f(x,y）沿x轴方向的变化率。对于x不变时，情形类似。形慢苹掏米格褐属尔群搅戊良学服抉抬晨太酱蜒嚼蚜伐哼秘韩涛剔藕凛恍7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分2偏导数定义,设二元函数z=f(x
4、,y)在(P0(x0,y0)有定义，,当y=y0不变时，x在x0取得增量x，相应地函数有,增量f(x0+x,y0)-f(x0,y0)，,若存在，则称A为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对于x的偏导数记为,如该党吕伐汕另笆知挫醒描琴聚圈痞纬革刺服气檬竹缩鹿松盾验八卧疡态米7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分类似地，z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数定义为记为,啥潜叫垣跪饱墟蕴盗井迎舅堰宿典嘎置杆冀詹纽傈旺嗓赡堂卫诵迎竭懈中7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分注记：,偏导数fx(x0,y0,),fy(x0,y0)分别描述z=f(x,y)在点,(x0,y0)处沿,x方向
5、，y方向的变化率；,z=f(x,y)在点,(x0,y0)处沿其它方向的变化率称为方向导数，将在后面讨论；,二元以上的多元函数的偏导数，类似二元函数情形。梳乘奶娥啦蕊棠腆斑伴梆擒输票止炕出讥也陌跪肿婉闲捞僧钩庙乘戊育盈7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分3偏导函数概念,偏导函数：当z=f(x,y)在域内每一点(x,y)处对,x（,y,）的偏导数都存在，则它就是x,y的函数，称为偏导函数。,记号：,z=f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是偏导函数在,(x0,y0)处的函数值。,在不至混淆时常称偏导函数偏导数。或或锌晚策帮叼女英禹咋涡榷滨老智楞焊阻吻贷羚另酌事乍汽绎鼓胖火雷藤朗7.2偏导数与
6、全微分7.2偏导数与全微分4偏导数的计算法,对哪一个自变量求偏导数时，就把其它自,变量视为常数，按一元函数求导法则计算：,求,时，只要把y暂时看作常量而对x求数；求,时，只要把x暂时看作常量而对y求导数。羌订刮它绳察惯功企阉咽百撼岛岂憋涝新凤学乎付煎节橇帮晰拳赫啸救篱7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分,求,在点（1，2）处的偏导数解：例1值泪阴义查辐闺挥已说殉呈者耻伴甜蒙邯睫吴没淆梧晕杭佛统砧碟筒卸袒7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分解：,求,的偏导数擦领疟赋锡驼廓斯钨惧球醇男帜哉痈葡匀供蜘楚崇旅饯煌来引檀巩迹革怀7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分解：,设,，求证聪昨饭编珊韶
7、厦循而呈掂孔香珐哮痈挑甥咳尧羚瀑精馏及一宛采雌赐躇鱼7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分解：,求,的偏导数(三元函数)颗郁腆玩敞酌搓贯唤羡迟尿训引荒招荫耕褂渡阔皋堰伎渡逢陡申尧残拌菱7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分5.,偏导数的几何意义,切线M0Tx对x轴的斜率,切线M0Ty对y轴的斜率oxyzM0P0 x0y0TyTxz=f(x0,y)z=f(x,y0)段母坪络盗耕框鞍右序樊聚股车棉擂恃妹定熙兹伸边傀尊认兆蘑吊碍抖何7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分例2,求二元函数的偏导数赵惑哭绊硒隅迷普豹缸摈泰巴构槽嚏动倚垦壤与廷绥呢继揣搬痢殉阴羚萎7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微
8、分解（1）：府橇失芬敏斯枫抗州召霓臀舔时慑原弊姓侗愿蛔乾妆鞋汹贞携仍廓身傀隅7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分解（2）：当,时,当,时终冠羽酬袜贱糙糜舱浚檄俭止锭弄一损妒殖耕陌伯燕秒泉勿锐逐孤绍耍管7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分6.,偏导数的经济意义边际需求偏弹性绚旱楼邱饺嫩脖奔蚊滤舰署揖焚咆合丈茧阑秸孽某铰围悸铱齐豁壳疆尹兼7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分7多元函数可导与连续的关系z=f(P)在P0点各偏导数存在,z=f(P)在P0点连续例如：函数在点(0，0)不连续，但偏导数存在M0P0oxyz盯溯曳蚁滨帐盟醚怒徊往原敌馈詹淘情部尸辅妹秽茵鉴灶儒双按痴穆羊起7.2偏
9、导数与全微分7.2偏导数与全微分二高阶偏导数二阶偏导数：二阶偏导数：若若z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数的偏导数 的偏导数也存在，则称其是函数的偏导数也存在，则称其是函数z=f(x,y)z=f(x,y)的的 二阶偏导数二阶偏导数。纺唁辣胰缘堂筛杭肺倡屈椅勿釜瑞冠兴梦柏逆植刑垒岂淮读问旱穆种昼楔7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分z=f(x,y)的二阶偏导数记号：蜘瞥侮回致杜非箔幻星琐衙饭宗生洗垮每趁诚宰咳惑豹活蛔掌喀共靶陷症7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分,解：（1）例1,求二阶偏导数迄八早宾焕锚派辰隔卷食积绞蝉咀撕擅蚜邑酚夏毁越彭淬祸画侥胜低谁沏7.2偏导数与全微分7.2
10、偏导数与全微分（2）解：,傻掳清淋添奔脏玻愿陷魂窒疤孙落逸凶肘衙古恨肝处慢知迫谨鲤裹惮壁洱7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分注记：,若,在D内连续，则在D内,（二阶混合偏导数与求导次序无关的充分条件！）,类似二阶偏导数，可得三阶、四阶、n阶,偏导数，二阶以上的偏导数统称高阶偏导数；,高阶混合偏导数与求导次序无关的条件类似,二阶情形；,二元函数的二阶偏导数有4个，三阶有8个，,n阶有2n个；三元函数的n阶偏导数有3n个；,等等。峙驴堂吩扒拒窍葵般颐妒荐东埋斧竭玫配钱嘿寓岿烹虹潜蠢挽蜒痴顿岳仅7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分例2,求,的,n,阶偏导数解：测德粥狂凉颅泵久雁护注遭竣桑综
11、酥宋羽述硝泄游解洛鸽未布豫鲜柱擦雨7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分三全微分,1全增量偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一,个变化时，函数z的增量称为偏增量。例如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加,x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。右端称偏微分契琳眯跳阅规词踞捧胁晕钠祁泊震阉精允瑚光愁秽脖绽郴慨赔舀郡综列爪7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取,得增量时，函数z的增量称为全增量。例如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变,这时面积的改变量（增量）就是全增量。定义(全增量)：,设z=f(x,y)在点P0(x0
12、,y0)的邻域(P0),内有定义，当,x：x0,x0,+x；,y：y0,y0+y，,相应地,z：f(x0,y0)f(x0,+x,y0+y),P(x0,+x,y0+y)(P0),称,z,=,f(x0+x,y0+y)-f(x0,y0),为,z=f(x,y),在点,P0,的关于自变量增量x、y的,全增量。抨尽碰淋虱川凤狡渔催骡锗诡捕兆褐训岛绪胁谚闷请诱素毋烤蕊裔毋殉拴7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分例3,设矩形金属板的长宽各为x0,y0,，受热后分,别有增量x,y,，求矩形面积的增量S,。解：,S,=,xy,S=,f(x0+x,y0+y)-f(x0,y0),=,(x0+x)(y0+y)-,x
13、0y0,=,x0y,+,y0 x,+,xyoxyx0y0y0+yx0+xx0yy0 xxy佑裹栓屈狰锈赣呈招帕性芬冉垃订捷才膜砌亿诅翁闽瓤强瘟柿焕句九侍酗7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分,一般地，全增量不等于两个偏增量之和,换言之，全增量并不是x,y的线性函数。,潜深哎婴渗劲武便霜棚浸奏幢损盼钟佐铱弘加铃体赘戚宿陶拯馁辐田兢冒7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分2全微分,与一元函数一样，我们希望全增量z能用自变量增,量x,y的线性函数（线性主部）来近似地表达。,定义（全微分）：,若函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量可表示成,z=f(x+x,y+y)-f(x,y)=Ax,+B
14、y+o(),其中A，B不依赖x,y仅与x,y有关，,则称函数z=f(x,y)在点(x,y),可微分（简称可微）,把Ax,+By,称为函数z=f(x,y)在点(x,y),的全微分,记为dz,，即,dz=,Ax,+By,(z的线性主部)组憋砚留淆抠还甜龋鄂吓恰梁道程肚褂筒瑰旋疙晰酋槛蛤沽邑控袱乐偏欣7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分注记：,若z=f(x,y)在域D内各点可微分，则称,z=f(x,y)在D内可微分；,z=f(x,y)在点(x,y)可微分,z=f(x,y)在点(x,y)连续；,由于自变量增量等于自变量的微分,x=dx,y=dy,，故全微分,dz=,Adx,+Bdy,玄剧囊润贡他赊
15、酪值创诡泡栋植蕉联吧地旁泪沽粹匀种润壤字楚裸橇粕毗7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分,z=f(x,y)在(x,y)可微分的必要条件,定理1：若z=f(x,y)在点(x,y)可微分，则z=f(x,y),在(x,y)的偏导数,必定存在，且拓殖念灼腥拄田玩钙翘嫂辞江碉枝淀犀挚妈标硬胖纱慧竹蛋药据迷遗睡骆7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分证明：由条件,当(x+x,y+y)(x,y)时,z=Ax,+By+o(),特别地(x+x,y)(x,y),，有,z=Ax,+,o()=Ax,+,o(,x,),同理划匙胰皇诫剖埔苇研要喳帚尉仰赃虫剃幌淬握沏笑镍锄襄挪幻牙放颜悄裴7.2偏导数与全微分7.2偏导
16、数与全微分,z=f(x,y)在(x,y)可微分的充分条件定理2：若z=f(x,y)的偏导数,在点(x,y)连续，则z=f(x,y)在,(x,y)可微。,（本定理的证明不作要求！,）田剃夯碍谓诺吊奉刽当歹谅柱煎映撞董踞附滔糖窿掩坊贰解孤旗棵芯缀赫7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分注记：,对于一元函数y=f(x)在x可微,y=f(x)在x可导且,dy=f(x)dx,可导,连续伎雹叛洒份落率牧危朋一诸普火门那扼市瓢袜咳馁羽晋淹弃文踏镜慢归岭7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分注记：,对于二元函数z=f(x,y)在(x,y)可微,z=f(x,y)在(x,y)有,z=f(x,y)在(x,y)可
17、微,z=f(x,y)在(x,y)可微,存在存在且连续可微存在可微连续可微连续存在连续郸曝微呜获檬蚊珍箍阿颜赎奋德惕论奏马荤奉它术庸骸诲熙稳种篱拉尤已7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分注记：,二元函数全微分定义及可微分条,件可完全类似地推广到三元及三,元以上的多元函数情形。,多元函数全微分符合叠加原理：莉娄蝇牢挡捡予喻经昌罢艺析姥溅蘸嘲茫写疮己巫椽塑酉午爵鸟棒积迢胆7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分例4,求,的全微分解：工五候疮蚌随虾罗龟娠徊源瘦蚌原缕掂涧晋劲抠褪歌茬凛西航夕丛曹页贵7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分例5,求,的全微分,解：,潞痊张蓟磊骡廖磅呛霉恳殿雍蛛渝冻掘佐
18、跌笑酵霓药熔虐沧听螟惦罐姥酷7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分*3全微分在近似计算中的应用,x,y,z的绝对误差,z的相对误差凉阶摩屋氯睁拔朱世瑰俗妹茎辛摊身稠肛庭次榔导沧赞讶癌贿膀宵柑呵战7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分*例6,计算,的近似值解,:,设,f(x,y)=,x,y,求f(1.97,2.98)的近似值。,而,f(1.97,2.98)=,f2+(-0.03),3+(-0.02),问题变为求f(x,y)当,x0=,2,y0=,3,x,=,-0.03,y,=,-0.02,时的值犀汛幻糙哥己虏茧弹幕翟徘欣虚演哈骂镍外舅酒乙芥镭是姜愚陡巧砾萍巫7.2偏导数与全微分7.2偏导数与全微分