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1、.jz*解三角形知识点总结及题型分类讲解一、知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3:sin:sin:sina b cABC（）sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbBcCcC2、正弦定理适用情况：1两角及任一边2两边和一边的对角需要判断三角形解的情况a，b 和 A，求 B 时的解的情况:如果BAsinsin，那么 B有唯一解；如果1sinsinBA，那么 B有两解；如果1sinB，那
2、么 B有唯一解；如果1sinB，那么 B无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况：1两边及夹角；2三边.5、常用的三角形面积公式1高底21ABCS；.jz*2BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21两边夹一角.6、三角形中常用结论1,(abc bca acb 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；2sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）.3在 ABC中，CBA，所以CBAsin)sin(
3、；CBAcos)cos(；CBAtan)tan(.42sin2cos,2cos2sinCBACBA.二、典型例题题型 1、计算问题边角互换例 1、在ABC中，假设7:5:3sin:sin:sinCBA，那么角 C 的度数为答案：C23例 2、ABC中，A60，3a，那么sinsinsinabcABC=答案：2 例 3、在锐角 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2asinB=b求角 A的大小；答案：题型 2、三角形解的个数例 1.在ABC中，b=40,c=20,C=，那么此三角形的解的情况是A.有一解B.两解C.无解D.有解但个数不确定例 2.在ABC中，分别根据以下条件解三
4、角形，其中有两解的是()A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B；D、6a，3b，60B。例 3.在ABC中，bsinAab，那么此三角形有.jz*A.一解B.两解C.无解D.不确定例 4，在ABC 中，a=x,b=2,B=,假设三角形 ABC有两个解，那么 x 的取值围_.例 5在ABC 中有几个？则满足此条件的三角形,45),0(3,aoAb题型 3、判断三角形形状例 1 在ABC 中，2222()sin()()sin()abABabAB,判断该三角形的形状。答案：等腰三角形或直角三角形例 2 ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，那么 ABC
5、为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形例 3.ABC中，a,b,c分别为角 A,B,C的对边，假设,那么ABC为A.锐角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.任意三角形例 4.在ABC 中，,角 A 是锐角，那么ABC的形状是 _.例 5.在ABC 中，假设,那么ABC 的形状是 _.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；角化边.jz*二是应用正弦定理、余弦定理将条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形角和定理得到角之间的关系，从而判断
6、出三角形的形状。边化角题型 4、求围或最值问题例 1、在锐角ABC 中，BC=1，B=2A，那么的值等于 _,AC的取值围为_.例 2、在ABC 中，A60，BC=3，那么ABC 的两边AC+AB的取值围是_.例 3、在ABC 中，B60，AC=，那么 AB+2BC的最大值 .例4、在ABC 中，B60，AC=，那 么ABC 的 周 长 的 最 大 值 为_.例 5、ABC中，a,b,c分别为角 A,B,C的对边，且.(1).求角 A 的大小(2)假设 a=1,求三角形 ABC的周长 l 的取值围.题型 5、面积问题例 1、ABC 的一个角为0201，并且三边构成公差为4的等差数列，那么ABC
7、的面积为.jz*答案：例 2.设在ABC的角,A B C 所对边的长分别是,a b c，且 b=3，c=1，ABC的面积为2，求 cosA与 a 的值；例 3:在ABC中，角,A B C的对边分别为,3a b c B，4cos,35Ab。求 sinC 的值；求ABC的面积.例 4：C的角，C所对的边分别为a，b，c 向量与平行I求；II假设7a，2b求C的面积例 5在ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c且满足.jz*(1)求ABC的面积；(2)假设 c1，求 a 的值例 6.在锐角 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2asinB=b求角 A的大小；假设 a=6
8、，b+c=8，求 ABC的面积例 7：ABC的角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，2cos(coscos).C aB+bAcI求 C；II假设7,cABC的面积为3 32，求ABC的周长题型六、边化角，角化边注意点:换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分怎么区分边化角还是角化边呢？假设两边都是正弦首先考虑角化边，假设sin,cos都存在时首先考虑边化角例 1:在ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC 求角 C的大小；.jz*例 2 在ABC中，角 A，B，C所对的边分别是a，b，c.假设 3a2b，那么2sin2Bsin2Asin2A的值为 _
9、.例 3 ABC的角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，asin Acsin C2asin Cbsin B.(1)求 B；(2)假设 A75，b2，求 a，c.例 4 在ABC中，角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c,且coscossinABCabc.I证明：sinsinsinABC；II假设22265bcabc，求tan B.例 5 在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c.b+c=2acosB.I证明：A=2B；II假设 ABC的面积2=4aS，求角 A的大小.jz*例 6ABC的角CBA，所对的边分别为cba，.I假设cba，成等差数列，证明：CACAsin2sinsin
10、；II假设cba，成等比数列，求Bcos的最小值.题型七、三角变换与解三角形的综合问题例 1.在ABC中，AC=6,（1）求 AB的长（2）求的值变式练习.在ABC 中，角CBA，所对的边分别为cba，.且(1),求角 C 2.假设，求的值.jz*2.在ABC 中，角CBA，所对的边分别为cba，且1.求角 A的大小2假设 c=3，求 b 的长.题型八、解三角形与平面向量结合例 1.在ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，且ABC 的面积为 S，.(1)求的值2假设 C=求 b 的值.jz*变式练习 1.在锐角ABC中，向量(1).求 A-B 的值2.假设2.在ABC中，角CBA，所 对的
11、 边分别为cba，且1求 B.jz*2 假设，求 a.题型九、以平面图形为背景的解三角形问题例 1.在ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，.(1).求ABC 2假设 A=,D 为三角形 ABC外一点，DB=2,DC=1,求四边形 ABCD面积的最大值。.jz*变式练习.如图，在平面四边形ABCD中，DAAB,DE=1,EC=,EA=2,，且CBE,BEC，BCE成等差数列.1求(2)求 BE的长4、如图，在梯形ABCD中，ADBC,AD=1,BD=,tanADC=-2，求：1CD的长 2三角形 BCD的面积课时达标训练.jz*1、在锐角ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，1.设,求
12、证三角形 ABC是等腰三角形2.设向量S=的值.2、在ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，.ab,a=5,c=6,.(1)求 b 和的值2求的值.jz*3、在ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，.1假设 m=2,且；2假设 m=4,求的最大值.4、如图，在梯形ABCD中，ADBC,AD=1,BD=,tanADC=-2，求：1CD的长 2三角形 BCD的面积.jz*5、函数 f(x)=(1)求 fx的最小值，并写出取得最小值时自变量x 的取值集合；2设ABC中，角CBA，所对的边分别为cba，且 c=，求 a,b的值。6.在锐角ABC 中，角CBA，所对的边分别为cba，2cosB=
13、2c-b.(1)假设 cos(A+C)=,求 cosC的值；2假设 b=5,求三角形 ABC的面积；3假设 O是三角形 ABC外接圆的圆心，且.jz*解三角形根底练习1、满足45A，6c，2a的ABC 的个数为m，那么ma为.2、35,5 ba，30A，解三角形。3、在ABC 中，4acm，xbcm，60A，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么x的取值围是()A、4xB、40 xC、3384xD、3384x4、在ABC中，假设),(41222cbaS那么角 C.5、设R是ABC外接圆的半径，且BbaCARsin)2()sin(sin222，试求ABC面积的最大值。.jz*6、在ABC中，D为边
14、 BC 上一点，33BD，135sin B，53cosADC，求AD.7、在 ABC 中，,a b c分别为角CBA,的对边，假设coscosaBbA，试确定ABC 形状。8、在ABC中，,a b c分别为角CBA,的对边，cos2cos2cosACcaBb1求sinsinCA；2假设1cos,2,4Bb求ABC 的面积。.jz*1、在ABC 中，假设bcacbcba3)(，且CBAcossin2sin，那么ABC是A、等边三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形2、ABC 中假设面积 S=)(41222cba那么角 C3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处
15、测得山下水平面上一点 C 的俯角为，在塔底 B 处测得点 C 的俯角为，假设铁塔的高为hm，那么清源山的高度为m。A、)sin(cossinhB、)sin(sincoshC、)sin(sinsinhD、)sin(coscosh4、ABC的三个角为 ABC、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。5、在ABC中，,a b c分别为角 ABC、的对边，且满足sincoscAaC1求角 C 的大小2求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角BA,的大小。.jz*正弦定理、余弦定理水平测试题一、选择题1在ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，假设
16、a2c2b23ac，那么角 B的值为A.6B.3C.6或56D.3或232锐角 ABC的面积为 33，BC4，CA3，那么角 C的大小为A75B60 C45D303(2010高考)假设 ABC的三个角满足 sin Asin Bsin C51113，那么 ABCA一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为A.518B.34C.32D.785(2010高考)在ABC中，角 A，B，C所对的边长分别为a，b，c，假设C 120，c2a，那么()AabBabCabDa与 b 大小不能确定二、填
17、空题6ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C所对的边，a3，b3，C30，那么 A7(2010高考)在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.假设 a2，b2，sin Bcos B2，那么角 A的大小为 _8ABC的三个角 A，B，C成等差数列，且AB1，BC4，那么边 BC上的中线 AD的长为 _三、解答题9ABC中，角 A、B、C的对边长分别为 a、b、c.假设 a2c22b，且 sin B4cos Asin C，求 b.10在 ABC中，a2b2c2ab.1求角 C的大小；2又假设 sin Asin B34，判断 ABC的形状.jz*11(2010高考)在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，设 S为ABC的面积，且 S34(a2b2c2)1求角 C的大小；2求 sin Asin B的最大值12.【2015 高考新课标 2，理 17】此题总分值 12 分ABC中，D是 BC 上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC 面积的 2 倍()求sinsinBC；()假设1AD，22DC，求BD和 AC 的长