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1、个人住房抵押个人住房抵押贷款以及其它贷款以及其它金融问题金融问题数学实验 正如文学诱导人们的情感一样，正如文学诱导人们的情感一样，数学启发人们的想象与推测。数学启发人们的想象与推测。Chaserole Chaserole 方法就是把我们应注意的方法就是把我们应注意的事物进行适当的整理和排列事物进行适当的整理和排列.R.DescartesR.Descartes实验目的实验目的 介绍差分方程介绍差分方程 复习：数列及其极限、线性代数方程复习：数列及其极限、线性代数方程 组、矩阵及其运算、方程的求根组、矩阵及其运算、方程的求根 运用运用 Mathematica Mathematica 进行迭代运算、
2、求进行迭代运算、求 根、矩阵等运算根、矩阵等运算 学习相关问题建模学习相关问题建模背景背景 随着经济的发展，金融正越来越多随着经济的发展，金融正越来越多地进入普通人的生活：贷款、保险养地进入普通人的生活：贷款、保险养老金和信用卡等；个人住房抵押贷款是老金和信用卡等；个人住房抵押贷款是其中重要的其中重要的项。项。个人住房商业抵押贷款个人住房商业抵押贷款养老保险养老保险金融公司的支付基金的流动金融公司的支付基金的流动本节主要讨论：本节主要讨论：小知识小知识个人住房贷款个人住房贷款 个人住房贷款是指银行向借款人发放的用于购买自用普通住房的贷款。借款人申请个人住房贷款时必须提供担保。目前，个人住房贷款
3、主要公积金贷款、商业贷款和组合贷款三种。1、住房公积金贷款住房公积金贷款:是指由各地住房公积金管理中心运用职工以其所在单位所缴纳的住房公积金，委托商业银行向缴存住房公积金的在职职工和在职期间缴存住房公积金的离退休职工发放的房屋抵押贷款2、个人住房商业贷款个人住房商业贷款:是中国公民因购买商品房而向银行申请的一种贷款，是银行用其信贷资金所发放的自营性贷款。3、组合贷款组合贷款:是指符合个人住房商业性贷款条件的借款人又同时缴存住房公积金的，在办理个人住房商业贷款的同时还可以申请个人住房公积金贷款，及借款人以所购本市城镇自住住房（或其他银行认可的担保方式）作为抵押可同时向银行申请个人住房公积金贷款和
4、个人住房商业性贷款。首付比例：首付比例：买房子时不能全部贷款。要先付一部分，余下的从银行贷款。现在的要求是付房款的20%-30%。因为考虑到贷款的还款风险，相关的部门都会要求购房人提供一部分首付，就是预先由个人支付一部分房款，以证明你有还款能力。还款方式还款方式贷款期限在一年以上的房屋贷款还款方式一般有等额本金等额本金还款和等额本息等额本息还款两种。1 1、等额本金、等额本金 是在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。每月还款金额每月还款金额 =（贷款本金（贷款本金 /还款月数）还款月数）+（本金（本金 已归还本金累计额）已归还本金累计额）每月利率每月利
5、率 特点：由于每月的还款本金额固定，而利息越来越少，贷款人起初还款压力较大，但是随时间的推移每月还款数也越来越少。2 2、等额本息、等额本息 在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)。每月还款金额每月还款金额 =贷款本金贷款本金月利率月利率（1 1月利率）还款月数月利率）还款月数（1 1月利率）月利率）还款月数还款月数1 1 特点：相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。但该方法每月的还款额固定，可以有计划地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。实际案例实际案例 1998年12月，中
6、国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:中国人民银行再次调整存、贷款利率中国人民银行再次调整存、贷款利率贷款期限贷款期限半年半年 1 1年年 3 3年年 5 5年年 5 5年以上年以上利率利率/6.126.12 6.39 6.39 6.66 7.20 7.56 6.66 7.20 7.56(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.)最新贷款利率表最新贷款利率表（2010 2010年年1010月月2020日）日）贷款期限贷款期限半年半年 1 1年年 3 3年年 5 5年年 5 5年以上年以上利率利率/5.105.10 5.56 5.60 5.96 6
7、.14 5.56 5.60 5.96 6.14 根据央行的贷款利率表，上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表 个人住房商业抵押贷款年利率表个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率（）利率（）6.120 6.255 6.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660 个人住房商业抵押贷款个人住房商业抵押贷款(万元万元)还款表还款表 贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5 月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还
8、款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71 提出提出问题问题 个人住房商业抵押贷款年利个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？利率水平制定的？分析一下年利率和月还款
9、额表：分析一下年利率和月还款额表：贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率（）利率（）6.120 6.255 6.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5 月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63
10、11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71建立模型建立模型 (差分方程差分方程)则由则由A Ak k到到A Ak k+1+1，应有，应有 A Ak k+1+1-A Ak kr rA Ak k-m m即得模型即得模型 A Ak k+1+1(r(r1)1)A Ak k-m m (k k=0,1,=0,1,)其中其中r r为利息，当然应该用月利率为利息，当然应该用月利率 r r0.06255/120.06255/120.00521250.0052125设贷款后第设贷款后第k k个月时欠款余数为个月时欠款余数为Ak k,月还
11、款额月还款额m元元另外显然有另外显然有 A A0 01000010000分析求解分析求解 月还款额的确定月还款额的确定令令 B Bk kA Ak kA Ak k1 1,(,(k k1 1，2,.)2,.)推得推得 B Bk k+1+1(1+r)(1+r)B Bk k (等比等比)从而从而 B Bk+1k+1B B1 1(1+r)(1+r)k k利用以上关系导出利用以上关系导出 A Ak kA A0 0(1+r)(1+r)k k(1+r)(1+r)k k11m m/r/r B Bk+1k+1 A Ak+1k+1A Ak k (r(r1)1)A Ak k-m m)(r(r1)1)A Ak-1k-1
12、-m m)A A0 010000,10000,k k24,24,A A2424=0=0 r0.0052125M M A A0 0(1+r)(1+r)k k r/(1+r)r/(1+r)k k11=52.125(1.0052125)24 24/(/(1.0052125)242411In1:=52.125*1.005212524/(1.0012524-1)Out1=444.356 (24个月还款本息总额10664.54元)考虑二年期情况：考虑二年期情况：使用使用MathematicaMathematica 年利率如何得到年利率如何得到 比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款，有数字相同：6.12、
13、6.66，但年限不同 中间年限的利率如何得出 (建议作图，从得到线性插值)任务任务1 1：制定住房商业性贷款利率表和还款表：制定住房商业性贷款利率表和还款表 还款周期越短越好吗还款周期越短越好吗 如果逐年还款，对二年期贷款，用公式 A Ak kA A0 0(1+r)(1+r)k k(1+r)(1+r)k k11m m/r/r其中:r=0.06255 0.06255 应为年利率 k=2年还款额为m=5473.867元本息总额 2m=10947.63元，比逐月还款本息总额10664.54元多任务任务2 2：讨论还款周期问题：讨论还款周期问题对于公式对于公式 A Ak k+1+1(r(r1)1)A
14、Ak k m (*)m (*)平衡点平衡点若若 A Ak k+1+1A Ak k=A A则则 A=m/r A=m/r 成为方程（成为方程（*）的平衡点）的平衡点由此若由此若 A A0 0m/r m/r 则衡有则衡有 A Ak km/r m/r 这就意味着如果贷款利率这就意味着如果贷款利率r r和月还款额和月还款额m m固定，第固定，第一个月还一个月还m/r,m/r,正好抵上利息，每个月的欠款额始正好抵上利息，每个月的欠款额始终不变。终不变。(稳定）稳定）若第一个月还款大于或小于若第一个月还款大于或小于m/rm/r，则欠款额就会远，则欠款额就会远离离m/rm/r（不稳定）（不稳定）对于一般差分方
15、程对于一般差分方程 Ak+1f(Ak)平衡点（续）平衡点（续）当初始值当初始值A0A0稍大于或小于差分方程的平衡点稍大于或小于差分方程的平衡点A A时时若若有有 AkA (k)称称A A为稳定的，否则称为稳定的，否则称A A为不稳定的为不稳定的 判断判断A A是否稳定的方法是：是否稳定的方法是：|f(Ak)|1,A是不稳定的是不稳定的其它金融或经济问题其它金融或经济问题 养老保险养老保险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.问题问题交保险费所
16、得利率如何？交保险费所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生)(注意：显然结果依于投保人寿命)设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额F Fk k为，那么易得到数学模型为分段表示的差分方程F Fk+1=F Fk(1+r)p,k=0,1,NF Fk+1=F Fk(1+r)q,k=N+1,M 其中p p、q q分别为6060岁前所交月月保保险险费费和6060岁起所领月月养养老老金金的数目(元)，r r是所交保险金获得的利利率率，N N,M M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间时间(月).显然M依赖于投保人的寿命,取 M=75(75(岁)（统计平均值）以2525岁起
17、投保为例,则有 P=200,q=2282;N=420,M=600 如前可推出差分方程的解F Fk=F F0(1+r)k(1+r)k1 p/r,k=0,1,N F Fk=F FN(1+r)k N(1+r)k1 q/r,k=N+1,M 在前一式取k=N，后一式取k=M，且注意 F F0 =F FM=0，消去F FN，(1+r)M(1+q/p)(1+r)MN+q/p 0记 x 1+r，代入数据 x60012.41x18011.410(Newton法,方程求根)使用MathematicaMathematicaIn2:=FindRootx600-12.41x180+11.41 =0,x,1.01Out1
18、=x-1.00485x1.00485 ,r 0.00485交保险费所得月利率为 0.00485 年利率为 0.0582 某保险公司的推出结合养老的寿险计划，例子为：若4040岁的男性投保人每年交保险费15401540元，交费期20年至6060岁任务任务3 3：一个人寿保险计划的利率分析：一个人寿保险计划的利率分析 试分析：若该投保人的寿命为7676岁，其交保险费所获得的实际年利率年利率是多少？若该投保人的寿命为7474岁，其交保险费所获得的实际年利率年利率又是多少？则在他生存时期，4545岁时(投保满5年)可获返还补贴40004000元，5050岁时可获返还补贴50005000元，其后每隔5
19、5年可获增幅为10001000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金2000020000元 每过一周 A城公司基金10 B城公司 A城公司 B城公司基金12 金融公司的支付基金的流动金融公司的支付基金的流动(形式的推广)新问题总额$540万基金,放置A公司和B公司要求：周末结算时总额仍为$540万A公司基金额A0$260万 B公司基金额B0$280万 问题问题 资金流动趋势？会否少于警戒数220(万)数学模型 设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有 差分方程组ak+1=0.9ak+0.12 bkbk+1=0.1ak+0.88 bk
20、 观察数据 通过对数据的观测估计结论 (12周数据)Fora0=260;b0=280;k=0,k=12,k+,Printk;ak+1=0.9ak+0.12bk;Printak/N;bk+1=0.1ak+0.88bk;Printbk/N使用MathematicaMathematicaA城公司基金数在逐步增加,但增幅逐步变小;B城公司的基金数变化则正好相反.任务任务4 4 ak是否有上界、bk是否有下界?bk是否会小 于220？矩阵形式导出表达式进一步的任务进一步的任务 根据两地公司的业务情况，该金融机构决定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6 6万，相应地B城公司的支付基金减少$6 6万.此
21、时，机构中一位的职员(他曾就读于某大学数学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.55.5万.任务任务5 5:试问机构负责人是否应该采纳这个建议，为什么？此任务可改作修改，例如周末分别给A、B公司增减加资金3，可尝试讨论可尝试讨论ak+1=0.9ak+0.12 bk+mbk+1=0.1ak+0.88 bk-m任务任务6 6 一个购房贷款的比较一个购房贷款的比较 房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元,22年还清,不过由于中介费手续费等原因，贷款时要预付4000元.小李夫妇曾经准备申请商业贷款1010万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的.试分析情况是否这样？谢谢各位谢谢各位!积极思考积极思考合作讨论合作讨论有所选择有所选择自己动手自己动手