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1、个人住房抵押个人住房抵押贷贷款以及其它款以及其它金融金融问题问题数学试验 正如文学正如文学诱导诱导人人们们的情感一的情感一样样，数学启数学启发发人人们们的想象与推想。的想象与推想。Chaserole Chaserole 方法就是把我方法就是把我们应们应留意的留意的事物事物进进行适当的整理和排列行适当的整理和排列.R.Descartes试验试验目的目的 介介绍绍差分方程差分方程 复复习习：数列及其极限、：数列及其极限、线线性代数方程性代数方程 组组、矩、矩阵阵及其运算、方程的求根及其运算、方程的求根 运用运用 Mathematica Mathematica 进进行迭代运算、求行迭代运算、求 根、
2、矩根、矩阵阵等运算等运算 学学习习相关相关问题问题建模建模背景背景 随着经济的发展，金融正越来越多地进入一般人的生活：贷款、保险养老金和信用卡等；个人住房抵押贷款是其中重要的项。个人住房商个人住房商业业抵押抵押贷贷款款养老保养老保险险金融公司的支付基金的流淌金融公司的支付基金的流淌本节主要探讨：本节主要探讨：小学小学问问个人住房个人住房贷贷款款 个人住房贷款是指银行向借款人发放的用于购买自用一般住房的贷款。借款人申请个人住房贷款时必需供应担保。目前，个人住房贷款主要公积金贷款、商业贷款和组合贷款三种。1、住房公积金贷款:是指由各地住房公积金管理中心运用职工以其所在单位所缴纳的住房公积金，托付商
3、业银行向缴存住房公积金的在职职工和在职期间缴存住房公积金的离退休职工发放的房屋抵押贷款2、个人住房商业贷款:是中国公民因购买商品房而向银行申请的一种贷款，是银行用其信贷资金所发放的自营性贷款。3、组合贷款:是指符合个人住房商业性贷款条件的借款人又同时缴存住房公积金的，在办理个人住房商业贷款的同时还可以申请个人住房公积金贷款，及借款人以所购本市城镇自住住房（或其他银行认可的担保方式）作为抵押可同时向银行申请个人住房公积金贷款和个人住房商业性贷款。首付比例：首付比例：买买房子房子时时不能全部不能全部贷贷款。要先付一部分，余下的从款。要先付一部分，余下的从银银行行贷贷款。款。现现在的要在的要求是付房
4、款的求是付房款的20%-30%20%-30%。因。因为为考考虑虑到到贷贷款的款的还还款款风险风险，相关的部，相关的部门门都会要求都会要求购购房人供房人供应应一部分首付，就是一部分首付，就是预预先由个人支付一部分房款，以先由个人支付一部分房款，以证证明你有明你有还还款款实实力。力。还还款方式款方式贷贷款期限在一年以上的房屋款期限在一年以上的房屋贷贷款款还还款方式一般有等款方式一般有等额额本金本金还还款和等款和等额额本息本息还还款两种。款两种。1 1、等、等额额本金本金 是在是在还还款期内把款期内把贷贷款数款数总额总额等分，每月等分，每月偿还偿还同等数同等数额额的本金的本金和剩余和剩余贷贷款在款在
5、该该月所月所产产生的利息。生的利息。每月每月还还款金款金额额=（贷贷款本金款本金/还还款月数）款月数）+（本金（本金 已已归还归还本金累本金累计额计额）每月利率每月利率 特点：由于每月的特点：由于每月的还还款本金款本金额额固定，而利息越来越少，固定，而利息越来越少，贷贷款款人起初人起初还还款款压压力力较较大，但是随大，但是随时间时间的推移每月的推移每月还还款数也越来越少。款数也越来越少。2 2、等、等额额本息本息 在在还还款期内，每月款期内，每月偿还偿还同等数同等数额额的的贷贷款款(包括本金和利息包括本金和利息)。每月每月还还款金款金额额=贷贷款本金款本金月利率月利率（1 1月利率）月利率）还
6、还款月数款月数（1 1月利率）月利率）还还款月数款月数1 1 特点：相特点：相对对于等于等额额本金本金还还款法的劣款法的劣势势在于支出利息在于支出利息较较多，多，还还款初期利息占每月供款的大部分，随本金款初期利息占每月供款的大部分，随本金渐渐渐渐返返还还供款中本金比供款中本金比重增加。但重增加。但该该方法每月的方法每月的还还款款额额固定，可以有支配地限制家庭收固定，可以有支配地限制家庭收入的支出，也便于每个家庭依据自己的收入状况，确定入的支出，也便于每个家庭依据自己的收入状况，确定还贷实还贷实力。力。实际实际案例案例 1998年12月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表
7、所列:中国人民中国人民银银行再次行再次调调整存、整存、贷贷款利率款利率贷款期限贷款期限半年半年 1 1年年 3 3年年 5 5年年 5 5年以上年以上利率利率/6.126.12 6.39 6.39 6.66 7.20 7.56 6.66 7.20 7.56(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者.)最新贷款利率表最新贷款利率表（2010 2010年年1010月月2020日）日）贷款期限贷款期限半年半年 1 1年年 3 3年年 5 5年年 5 5年以上年以上利率利率/5.105.10 5.56 5.60 5.96 6.14 5.56 5.60 5.96 6.14 依据央行
8、的贷款利率表，上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表 个人住房商业抵押贷款年利率表个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率（）利率（）6.120 6.255 6.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660 个人住房商业抵押贷款个人住房商业抵押贷款(万元万元)还款表还款表 贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5 月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 444.356
9、305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71 提出提出问题问题 个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何依据中心银行的贷款利率水平制定的？分析一下年利率和月分析一下年利率和月还还款款额额表：表：贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率（）利率（）6.120 6.255 6
10、.390 6.525 6.6606.120 6.255 6.390 6.525 6.660贷款期贷款期 年年 1 2 31 2 3 4 5 4 5 月月 12 24 36 48 6012 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.7110612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71建立模型建立模型 (
11、差分方程差分方程)则则由由A Ak k到到A Ak k+1+1，应应有有 A Ak k+1+1-A Ak kr rA Ak k-m m即得模型即得模型 A Ak k+1+1(r(r1)1)A Ak k-m m (k k=0,1,=0,1,)其中其中r r为为利息，当然利息，当然应应当用月利率当用月利率 r r0.06255/120.06255/120.00521250.0052125设贷设贷款后第款后第k k个月个月时时欠款余数欠款余数为为Ak k,月月还还款款额额m元元另外明另外明显显有有 A0 A01000010000分析求解分析求解 月月还还款款额额的确定的确定令令 B Bk kA Ak
12、 kA Ak k1 1,(,(k k1 1，2,.)2,.)推得推得 B Bk k+1+1(1+r)(1+r)B Bk k (等比等比)从而从而 B Bk+1k+1B B1 1(1+r)(1+r)k k利用以上关系利用以上关系导导出出 A Ak kA A0 0(1+r)(1+r)k k(1+r)(1+r)k k11m m/r/r B Bk+1k+1 A Ak+1k+1A Ak k (r(r1)1)A Ak k-m m)(r(r1)1)A Ak-1k-1-m m)A A0 010000,10000,k k24,24,A A2424=0=0 r0.0052125M M A A0 0(1+r)(1+
13、r)k k r/(1+r)r/(1+r)k k11=52.125(1.0052125)24 24/(/(1.0052125)242411In1:=52.125*1.005212524/(1.0012524-1)Out1=444.356 (24个月还款本息总额10664.54元)考考虑虑二年期状况：二年期状况：运用运用Mathematica 年利率如何得到年利率如何得到 比较央行公布贷款利率与上海住房商业贷款，有数字相同：6.12、6.66，但年限不同 中间年限的利率如何得出 (建议作图，从得到线性插值)任任务务1 1：制定住房商：制定住房商业业性性贷贷款利率表和款利率表和还还款表款表 还还款周
14、期越短越好款周期越短越好吗吗 假如逐年还款，对二年期贷款，用公式 AkA0(1+r)k(1+r)k1m/r其中:r=0.06255 应为年利率 k=2年还款额为m=5473.867元本息总额 2m=10947.63元，比逐月还款本息总额10664.54元多任任务务2 2：探：探讨还讨还款周期款周期问题问题对对于公式于公式 A Ak k+1+1(r(r1)1)A Ak k m (*)m (*)平衡点平衡点若若 A Ak k+1+1A Ak k=A A则则 A=m/r A=m/r 成成为为方程（方程（*）的平衡点）的平衡点由此若由此若 A A0 0m/r m/r 则则衡有衡有 A Ak km/r
15、m/r 这这就意味着假如就意味着假如贷贷款利率款利率r r和月和月还还款款额额m m固定，第固定，第一个月一个月还还m/r,m/r,正好抵上利息，每个月的欠款正好抵上利息，每个月的欠款额额始始终终不不变变。(稳稳定）定）若第一个月若第一个月还还款大于或小于款大于或小于m/rm/r，则则欠款欠款额额就会就会远远离离m/rm/r（不（不稳稳定）定）对对于一般差分方程于一般差分方程 Ak+1f(Ak)平衡点（平衡点（续续）当当时时始始值值A0A0稍大于或小于差分方程的平衡点稍大于或小于差分方程的平衡点A A时时若有若有 Ak Ak A (kA (k)称称A A为稳为稳定的，否定的，否则则称称A A为
16、为不不稳稳定的定的 推断推断A A是否是否稳稳定的方法是：定的方法是：|f(Ak)|1,A|f(Ak)|1,A|f(Ak)|1,A是不是不稳稳定的定的其它金融或其它金融或经济问题经济问题 养老保养老保险险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁起先领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元.问题问题交保交保险费险费所得利率如何？所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息产生)(留意：明显结果依于投保人寿命)设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额F Fk k为，那么易得到数学
17、模型为分段表示的差分方程F Fk+1=F Fk(1+r)p,k=0,1,NF Fk+1=F Fk(1+r)q,k=N+1,M 其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率，N,M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).明显M依靠于投保人的寿命,取 M=75(岁)（统计平均值）以2525岁起投保为例,则有 P=200,q=2282;N=420,M=600 如前可推出差分方程的解F Fk=F F0(1+r)k(1+r)k1 p/r,k=0,1,N F Fk=F FN(1+r)k N(1+r)k1 q/r,k=N+1,M 在前一式取k
18、=N，后一式取k=M，且留意 F0 =FM=0，消去FN，(1+r)M(1+q/p)(1+r)MN+q/p 0记 x 1+r，代入数据 x60012.41x18011.410(Newton法,方程求根)运用MathematicaIn2:=FindRootx600-12.41x180+11.41 =0,x,1.01Out1=x-1.00485x1.00485 ,r 0.00485交保险费所得月利率为 0.00485 年利率为 0.0582 某保险公司的推出结合养老的寿险支配，例子为：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁任任务务3 3：一个人寿保：一个人寿保险险支配的利
19、率分析支配的利率分析 试分析：若该投保人的寿命为7676岁，其交保险费所获得的实际年利率年利率是多少？若该投保人的寿命为7474岁，其交保险费所获得的实际年利率年利率又是多少？则在他生存时期，4545岁时(投保满5年)可获返还补贴40004000元，5050岁时可获返还补贴50005000元，其后每隔5 5年可获增幅为10001000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金2000020000元 每过一周 A城公司基金10 B城公司 A城公司 B城公司基金12 金融公司的支付基金的流淌(形式的推广)新问题总额$540万基金,放置A公司和B公司要求：周末结算时总额仍为$540万A
20、公司基金额A0$260万 B公司基金额B0$280万 问题 资金流淌趋势？会否少于警戒数220(万)数学模型 设第k周末结算时,A城公司和B城公司支付基金数分别为ak和bk(单位:万美元),则有 差分方程组ak+1=0.9ak+0.12 bkbk+1=0.1ak+0.88 bk 视察数据 通过对数据的观测估计结论 (12周数据)Fora0=260;b0=280;k=0,k=12,k+,Printk;ak+1=0.9ak+0.12bk;Printak/N;bk+1=0.1ak+0.88bk;Printbk/N运用MathematicaA城公司基金数在逐步增加,但增幅逐步变小;B城公司的基金数变更
21、则正好相反.任任务务4 4 ak是否有上界、bk是否有下界?bk是否会小 于220？矩阵形式导出表达式进进一步的任一步的任务务 依据两地公司的业务状况，该金融机构确定在每周末结算时，将A城公司的基金增加$6万，相应地B城公司的支付基金削减$6万.此时，机构中一位的职员(他曾就读于某高校数学系)向机构负责人建议将增减数额改为$5.5万.任务5:试问机构负责人是否应当接受这个建议，为什么？此任务可改作修改，例如周末分别给A、B公司增减加资金3，可尝摸索讨ak+1=0.9ak+0.12 bk+mbk+1=0.1ak+0.88 bk-m任任务务6 6 一个一个购购房房贷贷款的比款的比较较 房产商介绍的一家金融机构提出：贷款10万元，每半月还款440.33元,22年还清,不过由于中介费手续费等缘由，贷款时要预付4000元.小李夫妇曾经准备申请商业贷款10万元用于购置住房，每月还款880.66元，25年还清.小李考虑，虽然预付费用不少，可是削减三年还款期意味着削减还款近3万2千元，而每月多跑一趟，那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮实惠的.试分析状况是否这样？感感谢谢各位各位!主主动动思索思索合作探合作探讨讨有所有所选择选择自己自己动动手手