《用正交变换化二次型为标准型课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用正交变换化二次型为标准型课件.ppt（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、关于用正交变换化二关于用正交变换化二次型为标准型次型为标准型第1页，此课件共20页哦一、正交变换法一、正交变换法.:为正交变换为正交变换称称 T定义定义.定理定理.,1TTnnTTITTRT 即即满满足足：若若.为正交矩阵为正交矩阵则称则称T nTATTATT 11,TnnA阶阶正正交交矩矩阵阵则则存存在在阶阶实实对对称称矩矩阵阵为为设设.,1,niAi 的的特特征征值值为为其其中中 使得使得-2-第2页，此课件共20页哦得得标标准准正正交交化化分分别别将将,)3(1iini 即即基基础础解解系系的的基基的的解解空空间间分分别别求求得得,0)()2(iVXAIi .,)1(1kA 的全部互异特
2、征值的全部互异特征值求矩阵求矩阵),()4(11111kknknT 令令.,1,1kiiini .,1,1kiiini -3-用正交变换化二次型为标准形的步骤用正交变换化二次型为标准形的步骤T则则为正交矩阵为正交矩阵,且且第3页，此课件共20页哦 kkTATTATT 111 knknII 11-4-第4页，此课件共20页哦例例2.2.求一个正交变换求一个正交变换434232413121321222222),(xxxxxxxxxxxxxxxf化为标准形化为标准形,并求正交变换矩阵并求正交变换矩阵.解：解：,PYX 把二次型把二次型二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：,0111101111011110
3、 A其特征多项式为：其特征多项式为：111111111111)(AIfA-5-(1)(1)求求的特征值：的特征值：A第5页，此课件共20页哦 1111111111111把第把第2,3,42,3,4列都加到第列都加到第1 1列上列上,有有 1111111111111)1(提取公因子提取公因子把第把第2,3,42,3,4行分别减去第行分别减去第1 1行行,有有1000212022101111)1(-6-第6页，此课件共20页哦按第按第1 1列展开列展开100212221)1(按最后按最后1 1行展开行展开,得得1221)1(2 .)1)(3()32()1(322 ).(1,34,3,21三重三重
4、于是，于是，A的特征值为：的特征值为：-7-(2)(2)求求A的特征向量：的特征向量：,31 对对于于解方程组解方程组0)3(XAI第7页，此课件共20页哦得基础解系为：得基础解系为：。11111得基础解系为：得基础解系为：,14,3,2 对于对于解方程组解方程组0)(XAI.1001,0101,0011432 将将432,Schmidt正交化得正交向量组：正交化得正交向量组：-8-第8页，此课件共20页哦,001122 将将4321,单位化单位化得：得：,012/12/1),(),(2222333 .13/13/13/1),(),(),(),(222243333444 ,2/12/12/12
5、/11.2/36/36/36/3,06/26/16/1,002/12/1432 -9-第9页，此课件共20页哦23002163620216361212163612121T于是，正交矩阵为于是，正交矩阵为TYX 所以，原二次型在正交变换所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：下可化为标准形：.3)(24232221yyyyYg-10-第10页，此课件共20页哦例例3.3.用正交变换将二次型用正交变换将二次型323121232221321222),(xxxxxxxxxxxxf化为标准形化为标准形,并求正交变换矩阵并求正交变换矩阵.解：解：二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：111111111A.2,1
6、,2321 的的特特征征值值为为易易知知A,1011,1112.1213 对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为-11-第11页，此课件共20页哦将将321,单位化单位化得：得：,210211,3131312.6162613 61312162310613121),(321 TTYX 于是，正交矩阵为：于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：下可化为标准形：.22)(232221yyyYg-12-第12页，此课件共20页哦 用正交变换化实二次型为标准形用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理主轴定理),),它起源它起源于对二次曲线和二次曲面的
7、分类问题的讨论。即将二次曲线于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形和二次曲面的方程变形(化为标准形方程化为标准形方程),),选有主轴选有主轴(正交正交矩阵的列向量矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。例如例如,画图画图1658222121xxxx步骤：步骤：(1)(1)令令2221212158),(xxxxxxf特征值和对应的正交单位特征向量为特征值和对应的正交单位特征向量为二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：5441A 用正交变换化实二次型为标准形的应用用正交变换化实二次型为标准形的应用-13-第13页，此课件共2
8、0页哦所以，正交矩阵为：所以，正交矩阵为：5/25/15/15/2T且在正交变换且在正交变换x=Tyx=Ty下下,原二次型化为标准形：原二次型化为标准形：22212173),(yyyyg因此双曲线因此双曲线1658222121xxxx的图形为以的图形为以21,方向为主轴方向的双曲线方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转即标准位置双曲线的旋转-14-5/25/1,5/15/2;7,32121 第14页，此课件共20页哦1 2-15-图形图形(如下图所示如下图所示)。第15页，此课件共20页哦-16-得得标标准准正正交交化化分分别别将将,)3(1iini 即即基基础础解解系系的的基基的的解
9、解空空间间分分别别求求得得,0)()2(iVXAIi .,)1(1kA 的全部互异特征值的全部互异特征值求矩阵求矩阵),()4(11111kknknT.,1,1kiiini .,1,1kiiini 用正交变换化二次型为标准形的步骤：用正交变换化二次型为标准形的步骤：为正交矩阵。为正交矩阵。第16页，此课件共20页哦1.1.求一正交变换求一正交变换,将二次型将二次型323121232232124433),(xxxxxxxxxxxf 化为标准形化为标准形,并求正交变换矩阵并求正交变换矩阵.解：解：二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：312132220A.2),(421 二二重重的的特特征征值值为为易易
10、知知A-17-第17页，此课件共20页哦对于对于,41 特征向量为特征向量为：,0211 ,2012 对于对于,22 特征向量为：特征向量为：.1123 将将321,单位正交化单位正交化得：得：,05/25/11 ,30/530/130/22 .6/16/16/23 -18-第18页，此课件共20页哦 6/130/506/130/15/26/230/25/1),(321TTYX 于是，正交矩阵为：于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：下可化为标准形：.244)(232221yyyYg -19-第19页，此课件共20页哦感谢大家观看感谢大家观看第20页，此课件共20页哦