《2017年中考数学专题复习九：中考压轴题702.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年中考数学专题复习九：中考压轴题702.pdf（61页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 专题九：二次函数压轴题【问题解析】中考压轴题是中考必不可少的试题，这类题一般是融代数、几何为一体的综合题，或者是解决实际问题的综合题此类题注重对数学思想方法、探究性思维能力和创新思维能力的考查，涉及的知识比较多，信息量大，题目灵活，要求学生有较高的分析问题、解决问题的能力它符合新课标对学生能力提高的要求 从近几年各省市中考数学压轴题来看，作为试卷的最后一题，一般都是循序渐进地设置几个问题，对学生的要求一步步的抬高压轴题涉及知识多，覆盖面广，综合性强，难度系数大，关系比较复杂，解法灵活，既考查了学生的基础知识和基本技能，又考查了学生的数学思想方法和探索创新能力、解决问题能力，是必不可少的近
2、几年来主要以函数和几何综合题、二次函数与代数知识综合应用、一次函数与二次函数综合题、开放探究题等类型出现，【热点探究】类型一：抛物线与三角形的综合问题【例题 1】（2016云南省昆明市）如图 1，对称轴为直线 x=的抛物线经过 B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与 x 轴的另一交点为 A（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大值；（3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次
3、函数综合题【分析】（1）由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；2（2）作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积 S，化简后是一个关于 S 的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的 Q 点，只有一种，利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；在直角OCQ 和直角CQM 利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍【解答】解：（1）由对称性得：A（1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x2），把 C（0，4）代入：4=2a，a=2，y=2（x+1）（x2），抛物线的解析式为：y=2x2+2x+4；（2）如图 1，设点 P（
4、m，2m2+2m+4），过 P 作 PDx 轴，垂足为 D，S=S梯形+SPDB=m（2m2+2m+4+4）+（2m2+2m+4）（2 m），S=2m2+4m+4=2（m 1）2+6，2 0，S 有最大值，则 S大=6；（3）如图 2，存在这样的点 Q，使MQC 为等腰三角形且MQB 为直角三角形，理由是：设直线 BC 的解析式为：y=kx+b，把 B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，直线 BC 的解析式为：y=2x+4，设 M（a，2a+4），过 A 作 AEBC，垂足为 E，则 AE 的解析式为：y=x+，则直线 BC 与直线 AE 的交点 E（1.4，1.2），设 Q（x，0）（
5、x0），AEQM，3 ABEQBM，由勾股定理得：x2+42=2a2+（2a+44）2，由得：a1=4（舍），a2=，当 a=时，x=，Q（，0）【同步练】（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（3，1），点 C（0，4），顶点为点 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m（m 0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界），求 m 的取值范围；4（3）点 P 是直线 AC
6、 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）类型二：抛物线与四边形的综合问题【例题 2】2016青海西宁12 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是以 AB为直径的M 的内接四边形，点 A，B 在 x 轴上，MBC 是边长为 2 的等边三角形，过点 M作直线 l 与 x 轴垂直，交M 于点 E，垂足为点 M，且点 D 平分（1）求过 A，B，E 三点的抛物线的解析式；（2）求证：四边形 AMCD 是菱形；（3）请问在抛物线上是否存在一点 P，使得ABP 的面积等于定值 5？若存在，请求出所有的点 P
7、 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；5（2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出AMD=CMD=AMC=60，进而得出 DC=CM=MA=AD，即可得出答案；（3）首先表示出ABP 的面积进而求出 n 的值，再代入函数关系式求出 P 点坐标【解答】（1）解：由题意可知，MBC 为等边三角形，点 A，B，C，E 均在M 上，则 MA=MB=MC=ME=2，又COMB，MO=BO=1，A（3，0），B（1，0），E（1，2），抛物线顶点 E 的坐标为（1，2），设函数解析式为 y=a（x+1）2
8、2（a0）把点 B（1，0）代入 y=a（x+1）22，解得：a=，故二次函数解析式为：y=（x+1）22；（2）证明：连接 DM，MBC 为等边三角形，CMB=60，AMC=120，点 D 平分弧 AC，AMD=CMD=AMC=60，MD=MC=MA，MCD，MDA 是等边三角形，DC=CM=MA=AD，四边形 AMCD 为菱形（四条边都相等的四边形是菱形）；（3）解：存在 理由如下：设点 P 的坐标为（m，n）6 SABP=AB|n|，AB=4 4|n|=5，即 2|n|=5，解得：n=，当时，（m+1）22=，解此方程得：m1=2，m2=4 即点 P 的坐标为（2，），（4，），当 n=
9、时，（m+1）22=，此方程无解，故所求点 P 坐标为（2，），（4，）【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系 xOy中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM AM|的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM AM|的最大值 7 类型三：抛物线与图形变换的综合问题【例题3】（
10、2016陕西）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点 M（1，3）和 N（3，5）（1）试判断该抛物线与 x 轴交点的情况；（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点 A（2，0），且与 y 轴交于点 B，同时满足以 A、O、B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由 【考点】二次函数综合题【分析】（1）把 M、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得 a、b 的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与 x 轴的交点情况；（2）利用 A 点坐标和等腰三角形的性质可求得 B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，
11、把 A、B 的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程【解答】解：（1）由抛物线过 M、N 两点，8 把 M、N 坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为 y=x23x+5，令 y=0 可得 x23x+5=0，该方程的判别式为=（3）2415=920=110，抛物线与 x 轴没有交点；（2）AOB 是等腰直角三角形，A（2，0），点 B 在 y 轴上，B 点坐标为（0，2）或（0，2），可设平移后的抛物线解析式为 y=x2+mx+n，当抛物线过点 A（2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为 y=x2+3x+2，该抛物线的顶
12、点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移 3 个单位，再向下平移 3 个单位即可获得符合条件的抛物线；当抛物线过 A（2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，平移后的抛物线为 y=x2+x2，该抛物线的顶点坐标为（，），而原抛物线顶点坐标为（，），将原抛物线先向左平移 2 个单位，再向下平移 5 个单位即可获得符合条件的抛物线 【同步练】（2016重庆市 A 卷12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+x+3与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E （1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）经
13、过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；（3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将AOC 绕点 O 顺时针旋转至A1OC1的位置，点 A，C 的 9 对应点分别为点 A1，C1，且点 A1恰好落在 A
14、C 上，连接 C1A，C1E，AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由 类型四：抛物线下的动态最值问题【例题 4】（2016贵州安顺14 分）如图，抛物线经过 A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0），再把 A（1，0），B（
15、5，0），C（0，）三点代入求出 a、b、c 的值即可；（2）因为点 A 关于对称轴对称的点 B 的坐标为（5，0），连接 BC 交对称轴直线于点 P，求出 P 点坐标即可；（3）分点 N 在 x 轴下方或上方两种情况进行讨论 10【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a0），A（1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，解得 抛物线的解析式为：y=x22x；（2）抛物线的解析式为：y=x22x，其对称轴为直线 x=2，连接 BC，如图 1 所示，B（5，0），C（0，），设直线 BC 的解析式为 y=kx+b（k0），解得，直线 BC 的解析式为 y=x，当 x
16、=2时，y=1=，P（2，）；（3）存在 如图 2 所示，11 当点 N 在 x 轴下方时，抛物线的对称轴为直线 x=2，C（0，），N1（4，）；当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2作 N2Dx 轴于点 D，在AN2D 与M2CO 中，AN2DM2CO（ASA），N2D=OC=，即 N2点的纵坐标为 x22x=，解得 x=2+或 x=2，N2（2+，），N3（2，）综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，），（2+，）或（2，）12 【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分
17、类讨论【同步练】（烟台市 2015 中考-24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c与M 相交于 A、B、C、D 四点，其中 A、B 两点的坐标分别为（1，0），（0，2），点 D 在 x 轴上且AD 为M 的直径点 E 是M 与 y 轴的另一个交点，过劣弧上的点 F 作 FHAD 于点 H，且 FH=1.5（1）求点 D 的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点 P 是 x 轴上的一个动点，试求出PEF 的周长最小时点 P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 类型五：抛物线下的动态存
18、在问题【例题 5】（枣庄市 2015 中考-25）如图，直线 y=x+2与抛物线26yaxbx（a0）相交于 A（12，52）和 B（4，m），点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PCx 轴于点 D，交抛物线于点 C 13（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 思路分析：此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识解题时注意联系，对于题（1）已知 B（4，m）在直线 y=x+2上
19、，很容易求得 m 的值，又因为已知抛物线图象上的 A、B 两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值（2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB与抛物线函数值的差可设出 P 点横坐标，根据直线 AB 和抛物线的解析式表示出 P、C 的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值 对于题（3）当PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，需要结合图形从三种情况进行分类讨论，分别求解 解题过程：解：（1）B（4，m）在直线 y=x+2 上，m=4+2=6，B（4，6），A（12，52）、B（4，6）在抛物线26yaxbx上，251
20、1()622261646abab，解得28ab，抛物线的解析式为2286yxx 14（2）设动点 P 的坐标为（n，n+2），则 C 点的坐标为（n，2286nn），PC=（n+2）（2286nn），=2294nn，=29492()48n，PC0，当 n=94时，线段 PC 最大且为498（3）PAC 为直角三角形，i）若点 P 为直角顶点，则APC=90 由题意易知，PCy 轴，APC=45，因此这种情形不存在；ii）若点 A 为直角顶点，则PAC=90 如答图 31，过点 A（12，52）作 ANx 轴于点 N，则 ON=12，AN=52 过点 A 作 AM直线 AB，交 x 轴于点 M，
21、则由题意易知，AMN 为等腰直角三角形，MN=AN=52，OM=ON+MN=12+52=3，M（3，0）设直线 AM 的解析式为：y=kx+b，则：152230kbkb，解得13kb，直线 AM 的解析式为：y=x+3 又抛物线的解析式为：y=2x28x+6 联立式，解得：x=3 或 x=12（与点 A 重合，舍去）C（3，0），即点 C、M 点重合 当 x=3 时，y=x+2=5，P1（3，5）；15 iii）若点 C 为直角顶点，则ACP=90 y=2x28x+6=2（x2）22，抛物线的对称轴为直线 x=2 如答图 3 2，作点 A（12，52）关于对称轴 x=2 的对称点 C，则点 C
22、 在抛物线上，且 C（72，52）当 x=72时，y=x+2=112 P2（72，112）点 P1（3，5）、P2（72，112）均在线段 AB 上，综上所述，PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（3，5）或（72，112）16 规律总结：熟练把握关于二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识是解此类综合性强的问题的关键【同步练】（2016内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx2（a0）与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为（0，1），该抛物线与 BE
23、 交于另一点 F，连接 BC（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 y=a（x h）2+k 的形式；（2）若点 H（1，y）在 BC 上，连接 FH，求FHB 的面积；（3）一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为 t 秒（t0），在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时，OMB=90？（4）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 P，使得PBF 被 BA 平分？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 类型六：抛物线与相似的综合问题【例题 6】（烟台市 2014 中考-26）如图，在平面直角坐标系中，
24、RtABC 的顶点 A，C 分别在 y 轴，x 轴上，ACB=90，OA=，抛物线 y=ax2ax a 经过点 B（2，），与 y 轴交于点 D（1）求抛物线的表达式；（2）点 B 关于直线 AC 的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长 BA 交抛物线于点 E，连接 ED，试说明 EDAC 的理由 17 【解析】（1）把点 B 的坐标代入抛物线的表达式即可求得（2）通过AOCCFB 求得 OC 的值，通过OCDFCB 得出 DC=CB，OCD=FCB，然后得出结论（3）设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，求得与抛物线的交点 E 的坐标，然后通过解三角函数求得结果【解答】解：（1）把
25、点 B 的坐标代入抛物线的表达式，得=a222aa，解得 a=，抛物线的表达式为 y=x2x （2）连接 CD，过点 B 作 BFx 轴于点 F，则BCF+CBF=90 ACB=90，ACO+BCF=90，ACO=CBF，AOC=CFB=90，AOCCFB，=，设 OC=m，则 CF=2m，则有=，解得 m1=m2=1，OC=CF=1，当 x=0 时，y=，OD=，18 BF=OD，DOC=BFC=90，OCDFCB，DC=CB，OCD=FCB，点 B、C、D 在同一直线上，点 B 与点 D 关于直线 AC 对称，点 B 关于直线 AC 的对称点在抛物线上（3）过点 E 作 EGy 轴于点 G
26、，设直线 AB 的表达式为 y=kx+b，则，解得 k=，y=x+，代入抛物线的表达式x+=x2x 解得 x=2 或 x=2，当 x=2 时 y=x+=（2）+=，点 E 的坐标为（2，），tanEDG=，EDG=30 tanOAC=，OAC=30，OAC=EDG，EDAC 【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的判定及性质，以及对称轴的性质和解三角函数等知识的理解和掌握 19【同步练】（2016湖北荆门14 分）如图，直线 y=x+2与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点B，两动点 D，E 分别从点 A，点 B 同时出发向点 O 运动（运动到点 O 停止），运动速度分别是 1 个单位
27、长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为 t 秒，以点 A 为顶点的抛物线经过点 E，过点 E 作 x 轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点 G，与 AB 相交于点 F（1）求点 A，点 B 的坐标；（2）用含 t 的代数式分别表示 EF 和 AF 的长；（3）当四边形 ADEF 为菱形时，试判断AFG 与AGB 是否相似，并说明理由（4）是否存在 t 的值，使AGF 为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 20【达标检测】1.（2016湖北黄石8 分）科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园 如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从 8：30 开门后经过的时间（分钟），纵
28、坐标y 表示到达科技馆的总人数图中曲线对应的函数解析式为 y=，10：00 之后来的游客较少可忽略不计（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过 684人，后来的人在馆外休息区等待从 10：30 开始到 12：00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时，馆外等待的游客可全部进入请问馆外游客最多等待多少分钟？2.（2016广西百色12 分）正方形 OABC 的边长为 4，对角线相交于点 P，抛物线 L经过 O、P、A 三点，点 E 是正方形内的抛物线上的动点（1）建立适当的平面直角坐标系，直接写出 O、P、A 三
29、点坐标；求抛物线 L 的解析式；（2）求OAE 与OCE 面积之和的最大值 21 3.（2016 广西桂林12 分）如图 1，已知开口向下的抛物线 y1=ax22ax+1 过点 A（m，1），与 y 轴交于点 C，顶点为 B，将抛物线 y1绕点 C 旋转 180后得到抛物线 y2，点 A，B 的对应点分别为点 D，E （1）直接写出点 A，C，D 的坐标；（2）当四边形 ABCD是矩形时，求 a 的值及抛物线 y2的解析式；（3）在（2）的条件下，连接 DC，线段 DC 上的动点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度运动到点 C 停止，在点 P 运动的过程中，过点 P 作直线 lx
30、 轴，将矩形 ABDE沿直线 l 折叠，设矩形折叠后相互重合部分面积为 S 平方单位，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S与 t 的函数关系 4.（2016 黑龙江齐齐哈尔8 分）如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=x2+bx+c与 x轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且点 A 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出 B、C 两点的坐标；（3）求过 O，B，C 三点的圆的面积（结果用含 的代数式表示）注：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）22 5.（枣庄市 2014 中考-25）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x22x 3 的图
31、象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，点 D 为抛物线的顶点，点 P 是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点 D 重合）（1）求OBC 的度数；（2）连接 CD、BD、DP，延长 DP 交 x 轴正半轴于点 E，且 SOCE=S四边形 OCDB，求此时 P 点的坐标；（3）过点 P 作 PFx 轴交 BC 于点 F，求线段 PF 长度的最大值 6.（郴州市 2014 中考-26）已知抛物线 y=ax2+bx+c经过 A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 P 运动到什么位置
32、时，四边形 ABPC 的面积最大？求出此时点 P 的坐标；（3）如图二，设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点，那么在直线 DE 上是否存在一点 G，使CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由 23 7.（2016湖北荆州14 分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点 M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和 y 轴上，抛物
33、线经过 B、C 两点，顶点 D 在正方形内部（1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线；（2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？24 8.（2016福建龙岩14 分）已知抛物线cbxxy221与 y 轴交于点 C，与 x 轴的两个交点分别为 A（4，0），B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）已知点 P 在抛物线上，连接 PC，PB，若PBC
34、 是以 BC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标；（4）已知点 E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，是否存在以 A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 25【参考答案】类型一：抛物线与三角形的综合问题 【同步练】（2016浙江省湖州市）如图，已知二次函数 y=x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（3，1），点 C（0，4），顶点为点 M，过点 A 作 ABx 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC（1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移 m（m 0）个单位，使
35、平移后得到的二次函数图象的顶点落在ABC 的内部（不包括ABC 的边界），求 m 的取值范围；（3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）【考点】二次函数综合题【分析】（1）将点 A、点 C 的坐标代入函数解析式，即可求出 b、c 的值，通过配方法得到点 M 的坐标；（2）点 M 是沿着对称轴直线 x=1 向下平移的，可先求出直线 AC 的解析式，将 x=1 代入求出点 M 在向下平移时与 AC、AB 相交时 y 的值，即可得到 m 的取值范围；（3）由题意分析可得MCP=90，则若P
36、CM 与BCD 相似，则要进行分类讨论，分成PCMBDC 或PCMCDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标【解答】解：（1）把点 A（3，1），点 C（0，4）代入二次函数 y=x2+bx+c得，解得 二次函数解析式为 y=x2+2x+4，26 配方得 y=（x 1）2+5，点 M 的坐标为（1，5）；（2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，把点 A（3，1），C（0，4）代入得，解得 直线 AC 的解析式为 y=x+4，如图所示，对称轴直线 x=1 与ABC 两边分别交于点 E、点 F 把 x=1 代入直线 AC 解析式 y=x+4 解得 y=3，则点 E 坐标为（1，3），点 F
37、坐标为（1，1）15m 3，解得 2 m 4；（3）连接 MC，作 MGy 轴并延长交 AC 于点 N，则点 G 坐标为（0，5）MG=1，GC=54=1 MC=，把 y=5 代入 y=x+4 解得 x=1，则点 N 坐标为（1，5），NG=GC，GM=GC，NCG=GCM=45，NCM=90，27 由此可知，若点 P 在 AC 上，则MCP=90，则点 D 与点 C 必为相似三角形对应点 若有PCMBDC，则有 BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45，若点 P 在 y 轴右侧，作 PHy 轴，PCH=45，CP=PH=把 x=代入 y=x+4，解得 y=，P1（）；同理可得
38、，若点 P 在 y 轴左侧，则把 x=代入 y=x+4，解得 y=P2（）；若有PCMCDB，则有 CP=3 PH=3=3，若点 P 在 y 轴右侧，把 x=3 代入 y=x+4，解得 y=1；若点 P 在 y 轴左侧，把 x=3 代入 y=x+4，解得 y=7 P3（3，1）；P4（3，7）所有符合题意得点 P 坐标有 4 个，分别为 P1（），P2（），P3（3，1），P4（3，7）类型二：抛物线与四边形的综合问题【同步练】（2016四川眉山）已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4，（1）求经过 A、B、C 三点的
39、抛物线的解析式；28（2）在平面直角坐标系 xOy中是否存在一点 P，使得以以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点 M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PMAM|的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PMAM|的最大值 【分析】（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把 A，B，C 三点坐标代入求出 a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系 xOy中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：根据 OA，OB，OC 的长，利用勾股定理求出 BC 与 AC
40、 的长相等，只有当 BP 与AC 平行且相等时，四边形 ACBP为菱形，可得出 BP 的长，由 OB 的长确定出 P 的纵坐标，确定出 P 坐标，当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线 PA 解析式，当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，联立直线 AP 与抛物线解析式，求出当|PMAM|的最大值时 M 坐标，确
41、定出|PMAM|的最大值即可【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，A（1，0）、B（0，3）、C（4，0），解得：a=，b=，c=3，经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为 y=x2x+3；29（2）在平面直角坐标系 xOy 中存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：OB=3，OC=4，OA=1，BC=AC=5，当 BP 平行且等于 AC 时，四边形 ACBP 为菱形，BP=AC=5，且点 P 到 x 轴的距离等于 OB，点 P 的坐标为（5，3），当点 P 在第二、三象限时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，
42、则当点 P 的坐标为（5，3）时，以点 A、B、C、P 为顶点的四边形为菱形；（3）设直线 PA 的解析式为 y=kx+b（k0），A（1，0），P（5，3），解得：k=，b=，直线 PA 的解析式为 y=x，当点 M 与点 P、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PMAM|PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|=PA，当点 M 与点 P、A 在同一直线上时，|PMAM|的值最大，即点 M 为直线 PA 与抛物线的交点，解方程组，得或，点 M 的坐标为（1，0）或（5，）时，|PMAM|的值最大，此时|PMAM|的最大值为 5 30 【点评】此题属于二次函数综合题，
43、涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 类型三：抛物线与图形变换的综合问题【同步练】（2016重庆市 A 卷12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+x+3与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E （1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）经过 B，C 两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P 为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当PCD 的面积最大时，Q 从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M 处
44、，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y 轴上的点 N 处，最后沿适当的路径运动到点 A 处停止当点 Q 的运动路径最短时，求点 N 的坐标及点 Q 经过的最短路径的长；（3）如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E 在射线 AE 上移动，点 E 平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将AOC 绕点 O 顺时针旋转至A1OC1的位置，点 A，C 的对应点分别为点 A1，C1，且点 A1恰好落在 AC 上，连接 C1A，C1E，AC1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由 31【分析】（1）先求出抛物线与 x 轴和 y 轴的交点坐标，再用勾股
45、定理的逆定理判断出ABC 是直角三角形；（2）先求出 SPCD最大时，点 P（，），然后判断出所走的路径最短，即最短路径的长为 PM+MN+NA的长，计算即可；（3）AC1E是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可 【解答】解：（1）ABC 为直角三角形，当 y=0 时，即x2+x+3=0，x1=，x2=3 A（，0），B（3，0），OA=，OB=3，当 x=0 时，y=3，C（0，3），OC=3，根据勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，AC2+BC2=48，AB2=3（）2=48，AC2+BC2=AB2，ABC 是直角三角形，（2）如图，B（3，0），
46、C（0，3），直线 BC 解析式为 y=x+3，过点 P 作y 轴，设 P（a，a2+a+3），G（a，a+3），32 PG=a2+a，设点 D 的横坐标为 xD，C 点的横坐标为 xC，SPCD=（xDxC）PG=（a）2+，0a3，当 a=时，SPCD最大，此时点 P（，），将点 P 向左平移个单位至 P，连接 AP，交 y 轴于点 N，过点 N 作 MN抛物线对称轴于点 M，连接 PM，点 Q 沿 PMNA，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为 PM+MN+NA的长，P（，）P（，），点 A（，0），直线 AP的解析式为 y=x+，当 x=0 时，y=，N（0，），过点 P作 PHx
47、轴于点 H，AH=，PH=，AP=，点 Q 运动得最短路径长为 PM+MN+AN=+=；（3）在 RtAOC 中，tanOAC=，OAC=60，OA=OA1，OAA1为等边三角形，AOA1=60，BOC1=30，OC1=OC=3，33 C1（，），点 A（，0），E（，4），AE=2，AE=AE=2，直线 AE 的解析式为 y=x+2，设点 E（a，a+2），A（a2，2）C1E2=（a2）2+（+2）2=a2a+7，C1A2=（a2）2+（2）2=a2a+49，若 C1A=C1E，则 C1A2=C1E2 即：a2a+7=a2a+49，a=，E（，5），若 AC1=AE，AC12=AE2 即：
48、a2a+49=28，a1=，a2=，E（，7+），或（，7），若 EA=EC1，EA2=EC12 即：a2a+7=28，a1=，a2=（舍），E（，3+），34 即，符合条件的点 E（，5），（，7+），或（，7），（，3+）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了函数极值的确定方法，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解本题的关键是分类讨论，也是解本题的难点 类型四：抛物线下的动态最值问题【同步练】（烟台市 2015 中考-24）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c与M 相交于 A、B、C、D 四点，其中 A、B 两点的坐标分别为（1，0），（0，2
49、），点 D 在 x 轴上且AD 为M 的直径点 E 是M 与 y 轴的另一个交点，过劣弧上的点 F 作 FHAD 于点 H，且 FH=1.5（1）求点 D 的坐标及该抛物线的表达式；（2）若点 P 是 x 轴上的一个动点，试求出PEF 的周长最小时点 P 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使QCM 是等腰三角形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 【解析】（1）首先根据圆的轴对称性求出点 D 的坐标，将 A、B、D 三点代入，即可求出本题的答案；（2）由于点 E 与点 B 关于 x 轴对称，所以，连接 BF，直线 BF 与 x 轴的交点，即为点P，据此即可
50、得解；（3）从 CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ 三个方面进行分析，据此即可得解【解答】35 解：（1）连接 BD，AD 是M 的直径，ABD=90 AOBABD，=，在 RtAOB 中，AO=1，BO=2，根据勾股定理得：AB=，AD=5，DO=ADAO=51=4，D（4，0），把点 A（1，0）、B（0，2）、D（4，0）代入 y=ax2+bx+c可得：，解得：，抛物线表达式为：；（2）连接 FM，36 在 RtFHM 中，FM=，FH=，MH=2，OM=AM OA=1=，OH=OM+MH=+2=，F（，），设直线 BF 的解析式为 y=kx+b，则：，直线 BF 的解析式为：y=x2，