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1、第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率【自我预习自我预习】函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间xx0 0,x,x0 0+x(+x(或或xx0 0+x,x+x,x0 0)的平均的平均变化率变化率(1)(1)条件条件:已知函数已知函数y=f(x),xy=f(x),x0 0,x,x1 1是其定义域内不同的两是其定义域内不同的两点点,记记x=xx=x1 1-x-x0 0,y=y,y=y1 1-y-y0 0=f(x=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0).).(2)(2)结论结论:x0:x0时时,商商:称作函数称作函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间xx0 0,x,
2、x0 0+x(+x(或或xx0 0+x,x+x,x0 0)的平均变化的平均变化率率.(3)(3)实质实质:_:_的改变量与的改变量与_的改变量的改变量_._.(4)(4)作用作用:刻画函数在区间刻画函数在区间xx0 0,x,x0 0+x(+x(或或xx0 0+x,x+x,x0 0)上变化的快慢上变化的快慢.函数值函数值自变量自变量之比之比【微提醒微提醒】xx是变量是变量x x2 2在在x x1 1处的改变量处的改变量,且且x x2 2是是x x1 1附近的任意一点附近的任意一点,即即x x2 2可以在可以在x x1 1的左侧也可以在右侧的左侧也可以在右侧.【思考思考】(1)(1)在平均变化率的
3、定义中在平均变化率的定义中,自变量自变量x x在在x x0 0处的增量处的增量xx是否可以为任意实数是否可以为任意实数,y,y呢呢?提示提示:在平均变化率的定义中在平均变化率的定义中,增量增量xx可正、可负可正、可负,但但不能等于不能等于0;0;而而yy可以为任意实数可以为任意实数.(2)(2)对于函数对于函数f(x),f(x),若若x x1 1xx2 2,平均变化率能否表示平均变化率能否表示为为?提示提示:能能.若从若从x x1 1变为变为x x2 2,平均变化率为平均变化率为 ,若从若从x x2 2变为变为x x1 1,平均变化率为平均变化率为 ,而而 =.=.【自我总结自我总结】1.1.
4、对平均变化率的两点说明对平均变化率的两点说明(1)y=f(x)(1)y=f(x)在区间在区间xx1 1,x,x2 2 上的平均变化率是曲线上的平均变化率是曲线y=f(x)y=f(x)在区间在区间xx1 1,x,x2 2 上陡峭程度的上陡峭程度的“数量化数量化”,曲线陡峭程度曲线陡峭程度是平均变化率的是平均变化率的“视觉化视觉化”.(2)(2)平均变化率的绝对值越大平均变化率的绝对值越大,曲线曲线y=f(x)y=f(x)在区间在区间xx1 1,x,x2 2 上越上越“陡峭陡峭”,反之亦然反之亦然.2.2.平均变化率的两个意义平均变化率的两个意义(1)(1)平均变化率的几何意义就是函数平均变化率的
5、几何意义就是函数y=f(x)y=f(x)图象上两点图象上两点P P1 1(x(x1 1,f(x,f(x1 1),P),P2 2(x(x2 2,f(x,f(x2 2)所在直线的斜率所在直线的斜率.(2)(2)平均变化率的物理意义是把位移平均变化率的物理意义是把位移s s看成时间看成时间t t的函数的函数s=s(t),s=s(t),在时间段在时间段tt1 1,t,t2 2 上的平均速度上的平均速度,即即 .3.3.对两个改变量的理解对两个改变量的理解(1)(1)自变量的改变量自变量的改变量:用用xx表示表示,即即x=xx=x2 2-x-x1 1,表示自表示自变量相对于变量相对于x x1 1的的“增
6、加量增加量”.(2)(2)函数值的改变量函数值的改变量:用用yy表示表示,即即y=fy=f -f-f ,也表示为也表示为f f -f-f ,表示函数值在表示函数值在x x1 1处的处的“增增加量加量”.(3)(3)改变量并不一定都是正值改变量并不一定都是正值,也可以负值也可以负值,函数值的改函数值的改变量还可以是变量还可以是0,0,比如常数函数比如常数函数,其函数值的改变量就是其函数值的改变量就是0.0.【自我检测自我检测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)在平均变化率的定义中在平均变化率的定义中,自变量自变量x x在在x x0 0处的变化量处的
7、变化量xx可取任意实数可取任意实数.(.()(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率 公式中公式中xx与与yy同号同号.()(3)(3)设函数设函数y=f(x),y=f(x),当自变量当自变量x x由由x x0 0改变到改变到x x0 0+x+x时时,函数函数值的改变量是值的改变量是f(xf(x0 0+x)+x)()提示提示:(1)(1).在平均变化率的定义中在平均变化率的定义中,自变量自变量x x在在x x0 0处的处的变化量变化量xx可以是正数可以是正数,也可以是负数也可以是负数,但不能为但不能为0.0.(2)(2).函数函数y=
8、f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率 公式中公式中xx与与yy可能同号可能同号,也可能异号也可能异号.(3)(3).函数值的改变量应是函数值的改变量应是f(xf(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0).).2.2.若已知函数若已知函数f(x)=xf(x)=x2 2-1-1的图象上一点的图象上一点(1,0)(1,0)及附近一及附近一点点(1+x,y),(1+x,y),则则yy的值为的值为_._.【解析解析】y=f(1+x)-f(1)=y=f(1+x)-f(1)=(1+x)(1+x)2 2-1=(x)-1=(x)2 2+2x.+2x.答案答案:(x)(
9、x)2 2+2x+2x3.3.若函数若函数f(x)=3x+1,f(x)=3x+1,则函数在区间则函数在区间1,1+x1,1+x的平均变的平均变化率为化率为_._.【解析解析】y=f(1+x)-f(1)=3(1+x)+1-4=3x,y=f(1+x)-f(1)=3(1+x)+1-4=3x,则则 =3.=3.答案答案:3 3类型一求函数的平均变化率类型一求函数的平均变化率【典例典例】1.1.如图如图,函数函数y=f(x)y=f(x)在在A,BA,B两点间的平均变化两点间的平均变化率等于率等于()A.1A.1B.-1B.-1C.2C.2D.-2D.-22.2.已知函数已知函数f(x)=3xf(x)=3
10、x2 2+5,+5,求求f(x)f(x)(1)(1)从从0.10.1到到0.20.2的平均变化率的平均变化率.(2)(2)在区间在区间 上的平均变化率上的平均变化率.【思路导引思路导引】1.1.由函数的图象可知自变量的改变量是由函数的图象可知自变量的改变量是2 2、函数值的改变量是、函数值的改变量是-2.-2.2.2.计算计算yy的式子是的式子是y=f(xy=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0).【解析解析】1.1.选选B.B.由图可知由图可知f(3)=1,f(1)=3,f(3)=1,f(1)=3,所以所以f(3)-f(1)=1-3=-2,f(3)-f(1)=1-3=-2,所以函数
11、所以函数y=f(x)y=f(x)在在A,BA,B两点间的平均变化率是两点间的平均变化率是 2.(1)2.(1)因为因为f(x)=3xf(x)=3x2 2+5,+5,所以从所以从0.10.1到到0.20.2的平均变化率的平均变化率为为 (2)(2)f(xf(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0)=3=3(x(x0 0+x)+x)2 2+5-(3x+5-(3x0 02 2+5)+5)=3=3x x0 02 2+6x+6x0 0 x+3(x)x+3(x)2 2+5-3x+5-3x0 02 2-5-5 =6x6x0 0 x+3(x)x+3(x)2 2 函数函数f(x)f(x)在区间在区间xx0
12、0,x,x0 0+x+x上的平均变化率为上的平均变化率为 =6x=6x0 0+3x.+3x.【方法技巧方法技巧】1.1.求函数平均变化率的三个步骤求函数平均变化率的三个步骤第一步第一步,求自变量的改变量求自变量的改变量x=xx=x2 2-x-x1 1.第二步第二步,求函数值的改变量求函数值的改变量y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1).).第三步第三步,求平均变化率求平均变化率 .2.2.求平均变化率的一个关注点求平均变化率的一个关注点求点求点x x0 0附近的平均变化率附近的平均变化率,可用可用 的形的形式式.【变式训练变式训练】如图是函数如图是函数y=f(x)y=f(x)的
13、图象的图象,则函数则函数f(x)f(x)在区间在区间0,20,2上上的平均变化率为的平均变化率为_._.【解析解析】由函数由函数f(x)f(x)的图象知的图象知,f(x)=,f(x)=所以函数所以函数f(x)f(x)在区间在区间0,20,2上的平均变化率为上的平均变化率为 .答案答案:类型二平均变化率的比较类型二平均变化率的比较【典例典例】已知函数已知函数y=f(x)=3-xy=f(x)=3-x2 2,计算当计算当x x0 0=1,2,3,=1,2,3,x=x=时时,平均变化率的值平均变化率的值.【思路导引思路导引】函数在函数在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的函数值的改变之间的函数值
14、的改变量是量是y=f(xy=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0).).【解析解析】函数函数y=f(x)=3-xy=f(x)=3-x2 2在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的函数值之间的函数值的改变量的改变量y=f(xy=f(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0)=3-(x)=3-(x0 0+x)+x)2 2-(3-(3-x x0 02 2)=-2x)=-2x0 0 x-(x)x-(x)2 2,=-2x=-2x0 0-x,-x,将将x x0 0=1,x=1,x=代入得代入得 =,=,将将x x0 0=2,x=2,x=代入得代入得 =,=,将将x x0 0=3,x=3,
15、x=代入得代入得 =.=.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件)“)“函数函数y=f(x)=3-xy=f(x)=3-x2 2”变为变为“函数函数y=f(x)=-xy=f(x)=-x2 2”,”,则结论如何则结论如何?【解题指南解题指南】先求函数先求函数f(x)=-xf(x)=-x2 2的平均变化率的平均变化率,看看看看与函数与函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2有何异同有何异同,再确定结论的变化再确定结论的变化.【解析解析】函数函数f(x)=-xf(x)=-x2 2在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化之间的平均变化率为率为 ,同函数同函数f(x)=3-xf(
16、x)=3-x2 2在在x x0 0到到x x0 0+x+x之间的平均变化率相同之间的平均变化率相同,故结论不变故结论不变.2.(2.(改变问法改变问法)比较函数比较函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2在哪一点附近的平在哪一点附近的平均变化率最大均变化率最大?【解析解析】因为因为 所以函数所以函数f(x)=3-xf(x)=3-x2 2在在x x0 0=1=1附近的平均变化率最大附近的平均变化率最大.【方法技巧方法技巧】比较平均变化率的方法步骤比较平均变化率的方法步骤(1)(1)求出两不同点处的平均变化率求出两不同点处的平均变化率.(2)(2)作差作差(或作商或作商),),并对差式并对差式(
17、或商式或商式)作合理变形作合理变形,以以便探讨差的符号便探讨差的符号(或商与或商与1 1的大小的大小).).(3)(3)下结论下结论.【补偿训练补偿训练】一质点做直线运动一质点做直线运动,其位移其位移s s与时间与时间t t的的关系为关系为s(t)=ts(t)=t2 2+1,+1,该质点在该质点在2 2到到2+t(t0)2+t(t0)之间的之间的平均速度不大于平均速度不大于5,5,则则tt的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】质点在质点在2 2到到2+t2+t之间的平均速度为之间的平均速度为 又又 5,5,即即4+t5,4+t5,所以所以t1.t1.又又t0,t0,所以所以tt的取值范围
18、为的取值范围为(0,1.(0,1.答案答案:(0,1(0,1【易错误区案例易错误区案例】求解函数的平均变化率问题求解函数的平均变化率问题【典例典例】函数函数y=2xy=2x2 2+3x+3x在在1,21,2内的平均变化率为内的平均变化率为_._.【错解案例错解案例】当当x=1x=1时时y=5,y=5,当当x=2x=2时时y=14,y=14,所以所以 即函数在即函数在1,21,2上的平均变化率为上的平均变化率为-9.-9.-9-9错误原因错误原因防范措施防范措施求求xx时时,作差时顺序出作差时顺序出错错求求xx和和yy时时,要记清它要记清它们作差时的顺序是一致的们作差时的顺序是一致的【正解正解】
19、当当x=1x=1时时,y=5;,y=5;当当x=2x=2时时,y=14.,y=14.所以自变量的改变量所以自变量的改变量x=2-1,x=2-1,函数值的改变量函数值的改变量y=14-5=9.y=14-5=9.故故 =9.=9.所以函数所以函数y=2xy=2x2 2+3x+3x在在1,21,2内的平均变化率为内的平均变化率为9.9.答案答案:9 9【即时应用即时应用】已知函数已知函数y=3x-xy=3x-x2 2在在x x0 0=2=2处的增量为处的增量为x=0.1,x=0.1,则则 的值为的值为()A.-0.11A.-0.11B.-1.1B.-1.1C.3.89C.3.89D.0.29D.0.
20、29【解析解析】选选B.B.因为因为 y=f(2+0.1)-f(2)=32.1y=f(2+0.1)-f(2)=32.1-2.1-2.12 2-6+4=-0.11.-6+4=-0.11.所以所以 =-1.1.=-1.1.【防范措施防范措施】正确理解平均变化率的两个关键点正确理解平均变化率的两个关键点错误错误原因原因防范措施防范措施对对平均平均变变化率的理化率的理解不透解不透彻彻而致自而致自变变量的改量的改变变量量xx求求错错,实际实际上本上本题题x=2-1=1.x=2-1=1.正确理解两个改正确理解两个改变变量量:对对于函数于函数y=f(x),y=f(x),当自当自变变量由量由x x1 1变变化到化到x x2 2时时,函数函数值值也从也从y y1 1变变化到化到y y2 2,进进而而自自变变量的改量的改变变量量为为x=xx=x2 2-x-x1 1,函函数数值值的改的改变变量量为为y=yy=y2 2-y-y1 1.如本如本例中例中x=xx=x2 2-x-x1 1应为应为1.1.