《2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.3导数的实际应用课件新人教B版选修2_2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.3导数的实际应用课件新人教B版选修2_2.ppt（66页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.3.3导数的实际应用类型一平面几何中的最值问题类型一平面几何中的最值问题【典例典例】1.1.如图如图,某工厂拟建一座平面图为矩形某工厂拟建一座平面图为矩形,且面且面积为积为200 m200 m2 2的三级污水处理池的三级污水处理池,由于地形限制由于地形限制,长、宽长、宽都不能超过都不能超过16 m,16 m,如果池外周壁建造单价为每米如果池外周壁建造单价为每米400400元元,中间两条隔墙建造单价为每米中间两条隔墙建造单价为每米248248元元,池底建造单池底建造单价为每平方米价为每平方米8080元元(池壁厚度忽略不计池壁厚度忽略不计,且池无盖且池无盖).).(1)(1)试写出总造价试写出
2、总造价y(y(元元)与污水处理池长与污水处理池长x(m)x(m)的函数关的函数关系式系式,并指出其定义域并指出其定义域.(2)(2)污水处理池的长和宽各为多少时污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总污水处理池的总造价最低造价最低?并求出最低总造价并求出最低总造价.2.2.某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图如图,圆形广场的圆心为圆形广场的圆心为O,O,半径为半径为100 m,100 m,并与北京路并与北京路一边所在直线一边所在直线l相切于点相切于点M.M.点点A A为上半圆弧上一点为上半圆弧上一点,过过点点A A作作l的垂线的垂线,垂
3、足为点垂足为点B.B.市园林局计划在市园林局计划在ABMABM内进内进行绿化行绿化.设设ABMABM的面积为的面积为S(S(单位单位:m:m2 2),AON=(),AON=(单位单位:弧度弧度).).(1)(1)将将S S表示为表示为的函数的函数.(2)(2)当绿化面积当绿化面积S S最大时最大时,试确定点试确定点A A的位置的位置,并求最大并求最大面积面积.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1的解题思路是怎样的的解题思路是怎样的?提示提示:写出函数解析式及函数定义域写出函数解析式及函数定义域,然后对函数求导然后对函数求导,讨论函数的单调性讨论函数的单调性,求出最值求出最值.2.(1)2
4、.(1)典例典例2 2中要表示阴影三角形的面积中要表示阴影三角形的面积,需要求出的需要求出的量有哪些量有哪些?提示提示:需要求出三角形的两条直角边需要求出三角形的两条直角边AB,BM.AB,BM.(2)(2)点点A A位置由哪个量决定位置由哪个量决定?怎样求面积的最大值怎样求面积的最大值?提示提示:点点A A位置由角位置由角的大小决定的大小决定;表示出表示出S()S()后利用后利用导数求最值导数求最值.【解析解析】1.(1)1.(1)设长为设长为x m,x m,则宽为则宽为 m.m.据题意据题意 解得解得 x16,x16,y=y=400+400+248+16 000248+16 000=800
5、 x+16 000 =800 x+16 000 .(2)(2)令令y=800-y=800-=0,=0,解得解得x=18.x=18.当当x(0,18)x(0,18)时时,函数函数y y为减函数为减函数;当当x(18,+)x(18,+)时时,函数函数y y为增函数为增函数.又因为又因为 x16,x16,所以当所以当x=16x=16时时,y,yminmin=45 000.=45 000.所以当且仅当长为所以当且仅当长为16 m16 m、宽为、宽为12.5 m12.5 m时时,总造价最低总造价最低,为为45 00045 000元元.2.(1)BM=AOsin 2.(1)BM=AOsin=100sin=
6、100sin,AB=MO+AOcos AB=MO+AOcos=100+100cos=100+100cos,(0,(0,).).则则S=MBS=MBAB=AB=100sin 100sin(100+100cos(100+100cos)=5 000(sin=5 000(sin+sin+sin cos cos),),(0,(0,).).(2)S=5 000(2cos(2)S=5 000(2cos 2 2+cos+cos-1)-1)=5 000(2cos=5 000(2cos-1)(cos-1)(cos+1).+1).令令S=0,S=0,得得cos cos=或或cos cos=-1(=-1(舍去舍去),
7、),此时此时=.=.当当变化时变化时,S,S,S,S的变化情况如表的变化情况如表:SS+0 0-S S极大值极大值所以所以,当当=时时,S,S取得最大值取得最大值S Smaxmax=3 750 m=3 750 m2 2,此时此时AB=150 m,AB=150 m,即点即点A A到北京路一边到北京路一边l的距离为的距离为150 m.150 m.【方法技巧】【方法技巧】1.1.利用导数解决优化问题的基本思路利用导数解决优化问题的基本思路2.2.关于平面图形中的最值问题关于平面图形中的最值问题平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形形等图形
8、,主要研究与面积相关的最值问题主要研究与面积相关的最值问题,一般将面一般将面积用变量表示出来后求导数积用变量表示出来后求导数,求极值求极值,从而求最值从而求最值.【变式训练变式训练】如图所示如图所示,某厂需要围建一个面积为某厂需要围建一个面积为512512平方米的矩形平方米的矩形堆料场堆料场,一边可以利用原有的墙壁一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新其他三边需要砌新的墙壁的墙壁,当砌墙壁所用的材料最省时当砌墙壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽堆料场的长和宽分别为分别为_._.【解析解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短短,设场地宽为设场地宽为x
9、 x米米,则长为则长为 米米,因此新墙壁总长度因此新墙壁总长度L=2x+(x0),L=2x+(x0),则则L=2-,L=2-,令令L=0,L=0,得得x=x=16.16.因为因为x0,x0,所以所以x=16.x=16.当当x16x16时时,L0,L,L0,L递增递增,当当0 x160 x16时时,L0,L,L0,L递减递减,所以当所以当x=16x=16时时,L,Lminmin=64,=64,此时堆料场的长为此时堆料场的长为3232米米.答案答案:3232米米,16,16米米类型二立体几何中的最值问题类型二立体几何中的最值问题【典例典例】1.1.做一个容积为做一个容积为256 dm256 dm3
10、 3的方底无盖水箱的方底无盖水箱,它它的高为的高为_dm_dm时最省材料时最省材料.2.2.某企业拟建造如图所示的容器某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度不计厚度,长度单位长度单位:米米),),其中容器的中间为圆柱形其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为按照设计要求容器的体积为 立方米立方米.假设该容器假设该容器的建造费用仅与其表面积有关的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平已知圆柱形部分每平方米建造费用为方米建造费用为3 3千元千元,半球形部分每平方米建造费用半球形部分每平方米建造费用为为4 4千元千元.设该容器的总建造费用为设该容器的
11、总建造费用为y y千元千元.世纪世纪金榜导学号金榜导学号(1)(1)将将y y表示成表示成r r的函数的函数,并求该函数的定义域并求该函数的定义域.(2)(2)确定确定r r和和l为何值时为何值时,该容器的建造费用最小该容器的建造费用最小,并求并求出最小建造费用出最小建造费用.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中容器的体积与哪些量有关中容器的体积与哪些量有关?提示提示:因为底面是正方形因为底面是正方形,所以体积与底面边长、高有所以体积与底面边长、高有关关.2.(1)2.(1)该组合体是哪些简单几何体构成的该组合体是哪些简单几何体构成的?提示提示:该组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的该
12、组合体是由两个半球和一个圆柱体构成的.(2)(2)怎样表示该容器的建造费怎样表示该容器的建造费?提示提示:两个半球合成一个球的表面积乘以造价两个半球合成一个球的表面积乘以造价+圆柱的圆柱的侧面积乘以造价侧面积乘以造价.【解析解析】1.1.设水箱底面边长为设水箱底面边长为x dm,x dm,则高为则高为 dm,dm,用用料总面积料总面积S=xS=x2 2+4+4 x=xx=x2 2+,+,S=2x-,S=2x-,令令S=0S=0得得x=8,x=8,当当0 x80 x8时时,S0,S8x8时时,S0,S0,所以当所以当x=8x=8时时,S,S取得最小值取得最小值,则高为则高为4 dm.4 dm.答
13、案答案:4 42.(1)2.(1)因为容器的体积为因为容器的体积为 立方米立方米,所以所以 +r r2 2l=,=,解得解得l=,=,所以圆柱的侧面积为所以圆柱的侧面积为2r2rl=2r ,=2r ,两端两个半球的表面积之和为两端两个半球的表面积之和为4r4r2 2,所以所以y=y=3+43+4r r2 24=+84=+8r r2 2.又又l=,=,所以定义域为所以定义域为 .(2)(2)因为因为y=,y=,所以令所以令y0y0得得2r ;2r ;令令y0y0得得0r2,0r0y0得得2r ;2r ;令令y0y0得得0r2,0r2,故当故当r r 时时,函数单调递减函数单调递减,故当故当r=r
14、=时时,y,y最小值最小值=.=.【方法技巧方法技巧】关于立体几何中的最值问题关于立体几何中的最值问题(1)(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积积、体积,在此基础上解决与实际相关的问题在此基础上解决与实际相关的问题.(2)(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式积公式,如果已知图形是由简单几何体组合而成如果已知图形是由简单几何体组合而成,则要则要分析其组合关系分析其组合关系,将图形进行拆分或组合将图形进行拆分或组合,以便简化求以便简化求值过程值过程.【补偿训练补偿训练】请你设计
15、一个包装盒请你设计一个包装盒,如图所示如图所示,ABCD,ABCD是是边长为边长为60 cm60 cm的正方形硬纸片的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起再沿虚线折起,使得使得A,B,C,A,B,C,D D四个点重合于图中的点四个点重合于图中的点P,P,正好形成一个正四棱柱形正好形成一个正四棱柱形状的包装盒状的包装盒,E,F,E,F在在ABAB上上,是被切去的一个等腰直角三是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点角形斜边的两个端点,设设AE=FB=x(cm).AE=FB=x(cm).若广告商要求包装盒的侧面积若广告商
16、要求包装盒的侧面积S(cmS(cm2 2)最大最大,试问试问x x应取应取何值何值?【解析解析】设包装盒的高为设包装盒的高为h(cm),h(cm),底面边长为底面边长为a(cm),a(cm),由由已知得已知得a=(30-x),0 x30.a=(30-x),0 x30.所以所以S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2 2+1 800,+1 800,所以当所以当x=15x=15时时,S,S取得最大值取得最大值.类型三实际生活中的优化问题类型三实际生活中的优化问题角度角度1:1:实际应用中的最大值问题实际应用中的最大值问题【典例典例】已知一家公司
17、生产某种品牌服装的年固定成已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为本为1010万元万元,每生产每生产1 1千件需另投入千件需另投入2.72.7万元万元.设该公司设该公司一年内生产该品牌服装一年内生产该品牌服装x x千件并全部销售完千件并全部销售完,每千件的每千件的销售收入为销售收入为R(x)R(x)万元万元,且且R(x)=R(x)=(1)(1)求年利润求年利润W(W(万元万元)关于年产量关于年产量x(x(千件千件)的函数解析的函数解析式式.(2)(2)当年产量为多少千件时当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大生产中所获得的年利润最大,并求出
18、最大值并求出最大值.【解题探究解题探究】1.1.根据销售收入的表达式根据销售收入的表达式,年利润关于年利润关于年产量的函数解析式有什么特点年产量的函数解析式有什么特点?提示提示:由于销售收入是分段函数由于销售收入是分段函数,因此年利润的解析式因此年利润的解析式也是分段函数也是分段函数.2.2.怎样求分段函数的最大值怎样求分段函数的最大值?提示提示:分段函数的最大值要分段求分段函数的最大值要分段求,比较每一段上最大比较每一段上最大值的大小确定最大值值的大小确定最大值.【解析解析】(1)(1)当当0 x10010 x10时时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98-2.7x,W=xR(x)-(1
19、0+2.7x)=98-2.7x,所以所以W=W=(2)(2)当当0 x1000;x(9,10,W0;x(9,10时时,W0.,W10 x10时时,W=98-,W=98-98-=38,98-=38,当且仅当当且仅当 =2.7x,=2.7x,即即x=x=时时,W,W取得最大值取得最大值38.38.综合综合知知:当当x=9x=9时时,W,W取得最大值为取得最大值为38.638.6万元万元.答答:故当年产量为故当年产量为9 9千件时千件时,该公司在这一品牌服装的该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大生产中所获得的年利润最大.角度角度2:2:实际应用中的最小值问题实际应用中的最小值问题【典例典例
20、】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建某幢建筑物要建造可使用造可使用2020年的隔热层年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本每厘米厚的隔热层建造成本为为6 6万元万元.该建筑物每年的能源消耗费用该建筑物每年的能源消耗费用C(C(单位单位:万元万元)与隔热层厚度与隔热层厚度x(x(单位单位:cm):cm)满足关系满足关系:C(x)=:C(x)=(0 x(0 x10),10),若不建隔热层若不建隔热层,每年能源消耗费用为每年能源消耗费用为8 8万元万元.设设f(x)f(x)为隔热层建
21、造费用与为隔热层建造费用与2020年的能源消耗费用之和年的能源消耗费用之和.(1)(1)求求k k的值及的值及f(x)f(x)的表达式的表达式.(2)(2)隔热层修建多厚时隔热层修建多厚时,总费用总费用f(x)f(x)达到最小达到最小,并求最并求最小值小值.【解题探究解题探究】1.1.不建隔热层时不建隔热层时,厚度厚度x x的取值是多少的取值是多少?提示提示:不建隔热层时不建隔热层时,厚度厚度x=0.x=0.2.2.总费用包含哪些费用总费用包含哪些费用?提示提示:总费用包含每年能源消耗费用总和总费用包含每年能源消耗费用总和+建造费用建造费用.【解析解析】(1)(1)设隔热层厚度为设隔热层厚度为
22、x cm,x cm,由题设由题设,每年能源消耗费用为每年能源消耗费用为C(x)=,C(x)=,再由再由C(0)=8,C(0)=8,得得k=40,k=40,因此因此C(x)=,C(x)=,而建造费用为而建造费用为C C1 1(x)=6x.(x)=6x.最后得隔热层建造费用与最后得隔热层建造费用与2020年的能源消耗费用之和为年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+Cf(x)=20C(x)+C1 1(x)=20(x)=20 +6x=+6x(0 x10).+6x=+6x(0 x10).(2)f(x)=6-,(2)f(x)=6-,令令f(x)=0f(x)=0即即 =6.=6.解得解得x=5,x=
23、-(x=5,x=-(舍去舍去),),当当0 x50 x5时时,f(x)0,f(x)0,当当5x105x0,f(x)0,故故x=5x=5时时,为为f(x)f(x)的最小值点的最小值点,对应的最小值为对应的最小值为f(5)=6f(5)=65+=70.5+=70.当隔热层修建当隔热层修建5 cm5 cm厚时厚时,总费用达到最小值总费用达到最小值7070万元万元.【方法技巧方法技巧】解决优化问题时应注意的问题解决优化问题时应注意的问题(1)(1)列函数关系式时列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域即函数的定义域.(2)(2)一般地一般地,通过函数的极值
24、来求得函数的最值通过函数的极值来求得函数的最值.如果如果函数函数f(x)f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)f(x)在在开区间上只有一个点使开区间上只有一个点使f(x)=0,f(x)=0,则只要根据实际意则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点不必再与端点处的函数值进行比较处的函数值进行比较.【补偿训练补偿训练】某商场销售某种商品的经验表明某商场销售某种商品的经验表明,该商品该商品每日的销售量每日的销售量y(y(单位单位:千克千克)与销售价格与销售价格x(x(单位单位:元元/千千克克)满足关系式满
25、足关系式y=y=+10(x-6)+10(x-6)2 2,其中其中3x6,a3x6,a为常数为常数,已知销售价格为已知销售价格为5 5元元/千克时千克时,每日可售出该商品每日可售出该商品1111千克千克.(1)(1)求求a a的值的值.(2)(2)若该商品的成本为若该商品的成本为3 3元元/千克千克,试确定销售价格试确定销售价格x x的的值值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解题指南解题指南】本题主要考查函数、导数等基础知识本题主要考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、应用意识考查运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、考查函数与方程思想、数
26、形结合思想、化归与转化思想数形结合思想、化归与转化思想.【解析解析】(1)(1)因为因为x=5x=5时时,y=11,y=11,所以所以 +10=11,a=2.+10=11,a=2.(2)(2)由由(1)(1)可知可知,该商品每日的销售量该商品每日的销售量y=+10(x-6)y=+10(x-6)2 2,所以商场每日销售该商品所获得的利润所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)=2+10(x-3)(x-6)2 2,3x6,3x0),b(b0),固定部分为固定部分为a a元元.(1)(1)把全程运输成本把全程运输成本y(y(元元)表示为
27、速度表示为速度v(v(千米千米/时时)的函的函数数,并指出这个函数的定义域并指出这个函数的定义域.(2)(2)为了使全程运输成本最小为了使全程运输成本最小,汽车应以多大的速度行汽车应以多大的速度行驶驶?【错解案例错解案例】(1)(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为地所用时间为 ,全程运输成本为全程运输成本为y=ay=a +bv+bv2 2 =,故所求函数及其定义域为故所求函数及其定义域为y=y=,v(0,c.v(0,c.(2)(2)由题意知由题意知s,a,b,vs,a,b,v均为正数均为正数.由由y=y=0,=0,得得v=v=,因为因为v(0,c,v(
28、0,c,所以所以v=v=时全程运输成本时全程运输成本y y最小最小.错误错误原因原因防范措施防范措施第第(2)(2)问中问中 与与c c未进行比较大小而未进行比较大小而直接得出结论直接得出结论.解决解决实际应实际应用用问题时问题时,要注意要注意问题问题中某些关中某些关键键量的量的实际实际限限制条件或制条件或隐隐含条件含条件【正解正解】(1)(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为用时间为 ,全程运输成本为全程运输成本为y=ay=a +bv +bv2 2 =,=,故所求函数及其定义域为故所求函数及其定义域为y=,y=,v(0,c.v(0,c.(2)(2)由题意知由题意知s,a,b,vs,a,b,v均为正数均为正数.由由y=0,y=0,得得v=,v(0,c.v=,v(0,c.若若 c,c,则则v=v=是极值点是极值点,即当即当v=v=时时,全程运输成本全程运输成本y y最小最小.若若 c,c,因为因为v(0,c,v(0,c,此时此时y0,ycc时时,行驶速度行驶速度v=c.v=c.