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1、随机分析均方连续第1页，本讲稿共11页2.均方连续准则均方连续准则定理定理 设设X(t),tT是二阶矩过程是二阶矩过程,t0T,则则X(t),tT在在t0处均方连续的充要条件处均方连续的充要条件是其相关函数是其相关函数RX(s,t)在在(t0,t0)处连续处连续.第2页，本讲稿共11页证明证明 由定义由定义 X(t),tT在在t0处均方连续处均方连续 的充要条件是的充要条件是由均方收敛的性质以及均方收敛的充要条件得由均方收敛的性质以及均方收敛的充要条件得即即即即RX(s,t)在在(t0,t0)处连续处连续.第3页，本讲稿共11页说明说明 1.在以上定理中在以上定理中,将将t0换为任意的换为任意
2、的t也成立也成立.即即二阶矩过程二阶矩过程X(t),tT在在任意任意t T处处均方连续的充要条件是均方连续的充要条件是其相关函数其相关函数RX(s,t)在在(t,t)处连续处连续.第4页，本讲稿共11页2.该该定理定理(均方连续准则均方连续准则)的重要性在于的重要性在于二阶矩过程的均方连续性可由它的相关二阶矩过程的均方连续性可由它的相关函数的普通连续性来确定函数的普通连续性来确定.3.对于相关函数对于相关函数RX(s,t)而言而言,它在它在(t,t)处的处的连续连续(t T)也是它在整个也是它在整个TT上连续的上连续的充要条件充要条件.即有以下定理即有以下定理第5页，本讲稿共11页定理定理 如
3、果二阶矩过程如果二阶矩过程上连续上连续的相关函数的相关函数在点在点(t,t)处处连续连续,则它在则它在RX(s,t)对任意的对任意的即对二阶矩过程的即对二阶矩过程的相关函数相关函数RX(s,t)而言而言,它在整个区域它在整个区域TT上连续与它在上连续与它在TT的的对角线上连续是等价的对角线上连续是等价的第6页，本讲稿共11页证明证明 因为对任意的因为对任意的tT,RT,RX X(t)(t)在在(t,t)(t,t)处连续处连续,则由均方连续准则知则由均方连续准则知是均方连续是均方连续.再由均方连续定义得再由均方连续定义得第7页，本讲稿共11页由均方极限的运算性质得由均方极限的运算性质得上式即为上
4、式即为由由s0,t0的任意性知的任意性知,RX(s,t)在在TT上连续上连续.第8页，本讲稿共11页定理定理若二阶矩过程若二阶矩过程均方连续，均方连续，则其均值函数和方差函数也在则其均值函数和方差函数也在T上连续上连续即即证明证明 可由均方极限的运算性质得到可由均方极限的运算性质得到.即即第9页，本讲稿共11页举例举例1 设设N(t),t0是参数是参数为为的的PoissonPoisson过过程程.因为所以所以N(t),t0是均方连续是均方连续.第10页，本讲稿共11页2 设设W(t),t0是参数为是参数为2 2的的Wiener过程过程.因为所以所以W(t),t0是均方连续是均方连续.因而以上两过程的均值函数与方差函数也连续因而以上两过程的均值函数与方差函数也连续.第11页，本讲稿共11页