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1、第2章连续系统的时域分析1第1页，本讲稿共56页对于微分方程对于微分方程 算子形式算子形式微分算子方程：微分算子方程：它它是是微微分分方方程程的的一一种种表表示示，含含义义是是在在等等式式两两边边分分别别对对变变量量y(t)和和f(t)进进行行相相应应的的微微分分运运算算。形形式式上上是是代代数数方方程程的的表表示示方方法法。可可用用来来在在时时域域中中建建立立与与变变换域换域相一致的分析方法。相一致的分析方法。2第2页，本讲稿共56页微分算子的运算性质：微分算子的运算性质：性质性质1 1 以以p的正幂多项式出现的运算式，在形式的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因
2、式分解。上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。性质性质2 2 设设A(p)和和B(p)是是p的正幂多项式，则的正幂多项式，则 如：如：性质性质3 3 微分算子方程等号两边微分算子方程等号两边p的公因式不能的公因式不能 随便消去随便消去。例如：例如：p y(t)=p f(t)y(t)=f(t)+c(c为常数为常数)y(t)=f(t)性质性质4 4 设设A(p)、B(p)和和D(p)都是都是p的正幂多项式的正幂多项式3第3页，本讲稿共56页但是但是：例如：例如：函函数数乘乘、除除算算子子p的的顺顺序序不不能能随随意意颠颠倒倒，对对函函数数进进行行“先先除除后后乘乘”算算子子p的的运运算算时时，
3、分分式式的的分分子与分母中子与分母中公共公共p算子算子(或或p算式算式)才允许消去才允许消去。4第4页，本讲稿共56页二、二、LTILTI连续系统的算子方程与系统的传输算子连续系统的算子方程与系统的传输算子 电路元件伏安关系电路元件伏安关系(VAR)的微分算子形式称为的微分算子形式称为 算算子模型子模型，电压、电流比为，电压、电流比为算子感抗算子感抗和和算子容抗算子容抗 元件名称 电路符号 ui关系(VAR)VAR的算子形式 算子模型 电阻 电感 电容 电路元件的算子模型电路元件的算子模型 i(t)Ri(t)Ri(t)Li(t)1/pCi(t)Ci(t)pL5第5页，本讲稿共56页电路系统微分
4、算子方程的建立方法电路系统微分算子方程的建立方法:LpL;C 1/pC画出算子模型，按照电路理论画出算子模型，按照电路理论中的列写方程方法列写。中的列写方程方法列写。例例1 1：电电路路如如图图(a)所所示示，激激励励为为f(t)，响响应应为为i2(t)。试列写其微分算子方程。试列写其微分算子方程。(a)1+f(t)-i153Fi22H4H1+f(t)-i15 1 3pi22p4p(b)i1i2解：解：画出其画出其算子模型电路算子模型电路如如图图(b)所示。由所示。由回路回路法法可列出方程为可列出方程为：6第6页，本讲稿共56页 化简微分方程组化简微分方程组时要时要考察电路的阶数考察电路的阶数
5、以便确定以便确定公共因子是否可消去。公共因子是否可消去。化简后化简后所求微分算子方程为：所求微分算子方程为：对对于于激激励励为为f(t)，响响应应为为y(t)的的n阶阶LTI连连续续系系统统，其微分算子方程为：其微分算子方程为：7第7页，本讲稿共56页将其在形式改写为将其在形式改写为式中：式中：它代表了系统将激励转变为响应的作用，或它代表了系统将激励转变为响应的作用，或系统对输入的传输作用，故将系统对输入的传输作用，故将H(p)称为称为响应响应y y(t t)对激励对激励f f(t t)的传输算子的传输算子或或系统的传输算子系统的传输算子 系系统统传传输输算算子子与与系系统统微微分分算算子子方
6、方程程是是对对系系统统的等价表示。它们之间可以可以转化。的等价表示。它们之间可以可以转化。8第8页，本讲稿共56页222 LTI2 LTI连续系统的零输入响应连续系统的零输入响应 LTILTI的全响应可作如下分解：的全响应可作如下分解：1、y(t)=自由响应自由响应+强制响应；强制响应；2、y(t)=零输入响应零输入响应yx(t)+零状态响应零状态响应yf(t)零输入响应零输入响应:是指输入激励为零，仅由系统的是指输入激励为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。初始状态单独作用而产生的输出响应。零状态响应零状态响应:是指系统的初始状态为零，仅由是指系统的初始状态为零，仅由系统的输入激
7、励单独作用而产生的输出响应。系统的输入激励单独作用而产生的输出响应。9第9页，本讲稿共56页一、系统初始条件一、系统初始条件 y(0-)=yx(0-)+yf(0-)y(0+)=yx(0+)+yf(0+)对于对于因果系统：因果系统：yf(0-)=0 对于对于时不变系统：时不变系统：yx(0+)=yx(0-)y(0-)=yx(0-)=yx(0+)；y(0+)=y(0-)+yf(0+)y(j)(0-)=y(j)x(0-)=y(j)x(0+)；y(j)(0+)=y(j)(0-)+y(j)f(0+)10第10页，本讲稿共56页二、通过系统微分算子方程求零输入响应二、通过系统微分算子方程求零输入响应零输入
8、下零输入下LTI连续系统的微分算子方程为连续系统的微分算子方程为:要使上式成立，需满足要使上式成立，需满足D(p)=0（特征方程）（特征方程）针对针对特征根特征根两种情况来求两种情况来求yx(t)1特征根为特征根为n个单根个单根p1,p2,pn(可为实根、虚可为实根、虚根或复根根或复根)将将yx(0-)、yx(0-)、yx(n-1)(0-)代入上式，代入上式，确定积分常数确定积分常数A1、A2、An。共轭复根时欧拉公式共轭复根时欧拉公式cos t=0.5(ej t+e j t)及及sin t=j0.5(e j t ej t)化简为三角化简为三角实函数实函数 11第11页，本讲稿共56页2 2特
9、征根含有重根特征根含有重根 设特征根设特征根p1为为r重根，其余特征根为单根，重根，其余特征根为单根，则则yx(t)的通解表达式为：的通解表达式为：确定积分常数的方法同前。确定积分常数的方法同前。12第12页，本讲稿共56页3求解零输入响应求解零输入响应yx(t)的基本步骤：的基本步骤：(1)通过微分算子方程得通过微分算子方程得D(p)求系统的特征根求系统的特征根;(2)写出写出yx(t)的通解表达式的通解表达式;(3)由由系系统统的的0-状状态态值值与与0-瞬瞬时时的的零零输输入入系系统统求求得得初始条件初始条件yx(j)(0-),j=0,1,2,n-1。(4)将将0-初始条件代入初始条件代
10、入yx(t)的通解表达式的通解表达式,求得积分常求得积分常数数A1,A2,An。(5)写出所得的解写出所得的解yx(t)，画出，画出yx(t)的波形。的波形。13第13页，本讲稿共56页例：已知某线性时不变系统的输入输出方程为系统的初始状态为求系统的零输入响应。14第14页，本讲稿共56页例例2 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知uC(0-)=1V，iL(0-)=-1A，求，求t0时的零输入响应时的零输入响应uCx(t)。1H12F解解 (1)画出算子模型电路画出算子模型电路,由节点法列出方程由节点法列出方程为为 15第15页，本讲稿共56页uC x(t),V0t,s4130.5 1化
11、简可得化简可得:解得特征根解得特征根:p1=-2，p2=-3(2)0-瞬时的等效电路瞬时的等效电路 代入初始条件代入初始条件16第16页，本讲稿共56页作业：2-22-3（3）（4）2-6（a）（b）17第17页，本讲稿共56页223 LTI3 LTI连续系统的零状态响应连续系统的零状态响应 一、一、零状态响应零状态响应 零状态LTI连续系统H(p)一般情况下一般情况下零状态响应零状态响应可通过将可通过将f(t)分解为更分解为更为简单的单元信号为简单的单元信号，将各，将各单元激励下的响应进行单元激励下的响应进行叠加叠加来求解。来求解。18第18页，本讲稿共56页 任意信号任意信号f(t)用一系
12、列宽度为用一系列宽度为 的矩形窄脉冲近似。的矩形窄脉冲近似。信号的时域分解：信号的时域分解：19第19页，本讲稿共56页 任意信号任意信号f(t)可以可以分解为不同时刻出现的受分解为不同时刻出现的受该时刻该时刻f(t)加权的门信号的无穷级数和。加权的门信号的无穷级数和。任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的冲任意信号可分解为无穷多个不同时刻出现的冲激强度为该时刻函数值的冲激信号之和激强度为该时刻函数值的冲激信号之和20第20页，本讲稿共56页零状态响应的求解过程零状态响应的求解过程零状态零状态LTI零状态零状态LTI零状态零状态LTI零状态零状态LTI冲激响应冲激响应时不变性时不变性齐次性齐次
13、性叠加性叠加性21第21页，本讲稿共56页二、冲激响应h(t)h(t)定义定义：零状态LTI H(p)单位冲激响应：系统在单位冲激函数激励下的零状态响应，简称冲激响应，统一以符号h(t)表示。22第22页，本讲稿共56页 据据D D(p p)的根的不同有理真分式的根的不同有理真分式H(p)可展开为不可展开为不同的部分分式同的部分分式 1当当D D(p p)有有n个个单单特特征征根根p1,p2,pn(可可为为实根、虚根或复根实根、虚根或复根)23第23页，本讲稿共56页令第令第j项为项为 24第24页，本讲稿共56页冲激响应h(t)为为25第25页，本讲稿共56页2当当D D(p p)特征根有重
14、根时：特征根有重根时：设设p1为为r重重根根，其其余余(n-r)个个为为单单根根pj(j=r+1,r+2,n)，则有理真分式，则有理真分式H(p)可展开为：可展开为：26第26页，本讲稿共56页重根相关的部分分式项的冲激响应重根相关的部分分式项的冲激响应 3 3、H H(p p)为某个关于为某个关于p pj j多项式时：多项式时：27第27页，本讲稿共56页求解单位冲激的步骤：求解单位冲激的步骤：（1）据算子微分方程求出传输算子）据算子微分方程求出传输算子H(p)（2）长除法化为长除法化为多项式与有理真分式之和。多项式与有理真分式之和。（3）有理真分式部分分式展开；）有理真分式部分分式展开；（
15、4）据）据D(p)根的不同根的不同确定确定分式中的分式中的系数；系数；（5）对照不同情况写出单位冲激响应。表）对照不同情况写出单位冲激响应。表2-228第28页，本讲稿共56页例：求系统的单位冲激响应：例：求系统的单位冲激响应：29第29页，本讲稿共56页三、阶跃响应g(t)g(t)定义定义：零状态LTI H(p)根据根据LTI系统的积分性，通过对冲激响应系统的积分性，通过对冲激响应h(t)进行积分而求得：进行积分而求得：30第30页，本讲稿共56页作业：2-7（2）（3）2-8（b）31第31页，本讲稿共56页三三 卷积积分卷积积分 定义:卷积积分简称卷积.32第32页，本讲稿共56页卷积积
16、分上下限的确定是关键，讨论如下：卷积积分上下限的确定是关键，讨论如下：(1)若若f(t),h(t)都为因果信号都为因果信号积分上下限积分上下限为为(0-,t)(2)若若f(t)为因果信号为因果信号,h(t)为无时限信号为无时限信号,积分上积分上下限下限为为(0-,)(3)若若f(t)为无时限信号为无时限信号,h(t)为因果信号为因果信号,积分上积分上下限下限为为(-,t)(4)若若f(t),h(t)都为时限信号则都为时限信号则卷积后仍为时限信卷积后仍为时限信号，其号，其左边界为原两左边界之和，右边界为原两左边界为原两左边界之和，右边界为原两右边界之和右边界之和 33第33页，本讲稿共56页（1
17、 1）卷积的运算规律）卷积的运算规律 据卷积的定义和积分的性质，可推知卷积有如下据卷积的定义和积分的性质，可推知卷积有如下的运算规律的运算规律:1 1交换律交换律:2 2分配律分配律:3 3结合律结合律 34第34页，本讲稿共56页（2）卷积的主要性质）卷积的主要性质1 1f(t t)与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积(1)(1)f(t)*(t)=f(t),即即f(t)与与(t)卷积等于卷积等于f(t)本身本身(2)(2)f(t)*(t)=f(t),即即f(t)与与(t)卷积等于卷积等于f(t)导数。导数。(3(3)2 2卷积的微分和积分：卷积的微分和积分：(1)(1)积分积分 f1(t)*f2
18、(t)-1=f1-1(t)*f2(t)=f1(t)*f2-1(t)35第35页，本讲稿共56页(3)(3)微分微分-积分积分:f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2-1(t)=f1-1(t)*f2(t)(2)(2)微分微分 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(t)3 3卷积时移：卷积时移：设设f1(t)*f2(t)=y(t)，则：，则：f1(t)*f2(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=y(t-t0)f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2);推论：推论：f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1-t2)(t-t1)*(t-t2)=(t-t
19、1-t2);利用卷积性质求解较复杂的卷积利用卷积性质求解较复杂的卷积（表表2-3）条件：条件：36第36页，本讲稿共56页例例7:例例3已知已知:解：解：1.把信号写成标准的延时信号把信号写成标准的延时信号2.分配律写出各项卷积分配律写出各项卷积3.查查P45表表2-337第37页，本讲稿共56页012313y(t)t38第38页，本讲稿共56页 若若f1(t)，f2(t)收敛，收敛，将被卷积的一个信号尽将被卷积的一个信号尽量化为量化为冲激信号以及其延时冲激信号以及其延时，可使计算简化。，可使计算简化。39第39页，本讲稿共56页例例8 8 试计算常数试计算常数K K与信号与信号f(t t)的
20、卷积积分的卷积积分 解解 直接按卷积定义，可得直接按卷积定义，可得：用微分用微分-积分性质来求解将积分性质来求解将导致错误结果导致错误结果 常数常数K 不收敛不收敛且任意信号且任意信号f(t)也并非一定也并非一定收敛。收敛。40第40页，本讲稿共56页例例9 9 已已知知某某系系统统的的冲冲激激响响应应h(t)=sint(t)，激激励励f(t)的的波波形形如如图图所所示示，试试求求系系统统的的零零状状态态响应响应yf(t)。可用微分可用微分-积分性来求积分性来求解：解：系统的零状态响应求解系统的零状态响应求解f(t)0t24241第41页，本讲稿共56页f”(t)0t24（1）（2）（1）42
21、第42页，本讲稿共56页+-f(t)i(t)uc(t)+-p1/p例例10:图示电路图示电路,激励激励求求:零状态响应零状态响应uc(t)解：解：列方程列方程+-f(t)i(t)uc(t)+-1H1F43第43页，本讲稿共56页44第44页，本讲稿共56页图示电路，其输入电压图示电路，其输入电压us(t)波形如波形如图示，试用卷积积分法求零状态响图示，试用卷积积分法求零状态响应应uc(t)0.1M10Fuc(t)us(t)解：解：us(t)(V)t(s)3210145第45页，本讲稿共56页利用卷积的性质利用卷积的性质46第46页，本讲稿共56页47第47页，本讲稿共56页四、系统全响应的求解
22、方法：四、系统全响应的求解方法：（1）求单位冲激响应）求单位冲激响应h(t)（2）求卷积积分）求卷积积分（3 3）求零输入响应）求零输入响应yX(t)零状态响应零状态响应yf(t)（4）全响应：）全响应：48第48页，本讲稿共56页例例11 图图示示电电路路已已知知i1(0-)=i2(0-)=1A，f1(t)=t (t)，f2(t)=(t)-(t-1)，求求全全响应响应y(t)。1i1(t)+f1(t)-+f2(t)-11+y(t)-i2(t)1H1H解：解：1)先求系统的传输算子及冲激响应。先求系统的传输算子及冲激响应。49第49页，本讲稿共56页50第50页，本讲稿共56页2）卷积积分求零状态响应）卷积积分求零状态响应yf(t)51第51页，本讲稿共56页52第52页，本讲稿共56页3)求零输入响应求零输入响应yX(t)：p1=1，p2=3 53第53页，本讲稿共56页4)求全响应求全响应y(t)：54第54页，本讲稿共56页例12：已知某系统的微分方程为当激励试求零输入响应与零状态响应、时，系统的全响应解：解：55第55页，本讲稿共56页零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应56第56页，本讲稿共56页