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1、关于不定积分凑微分法和换元法第一页，本课件共有47页问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令1、第一换元积分法第二页，本课件共有47页在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理第三页，本课件共有47页第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明:使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.定理定理7.2.17.2.1第四页，本课件共有47页例例1 1 求求解解第五页，本课件共有47页例例
2、2 2解解第六页，本课件共有47页求求解解第七页，本课件共有47页例例3 求求解解第八页，本课件共有47页求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）第九页，本课件共有47页例例4 4 求求解解一般地一般地第十页，本课件共有47页书中例书中例4 4 求求解解第十一页，本课件共有47页求求解解第十二页，本课件共有47页例例5 5 求求解解说明说明当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去凑微分去凑微分.第十三页，本课件共有47页附例附例 求求解解第十四页，本课件共有47页例例6 6 求求解解第十五页，本课件共有47页例例7 7 求求解解（一）（
3、一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）第十六页，本课件共有47页解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出第十七页，本课件共有47页例例8 8 求求解解第十八页，本课件共有47页例例9 9 求求解解第十九页，本课件共有47页解解例例1010 设设 求求 .令令第二十页，本课件共有47页例例1111 求求解解第二十一页，本课件共有47页例例1212 求求解解第二十二页，本课件共有47页例例1313 求求解：原式解：原式第二十三页，本课件共有47页例例1414 求求解解第二十四页，本课件共有47页作业作业第二十五页，本课件共有47页问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变
4、中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）2、第二换元积分法第二十六页，本课件共有47页定理定理7.2.2 7.2.2（第二换元积分法）（第二换元积分法）第二十七页，本课件共有47页证明证明证毕证毕第二十八页，本课件共有47页例例1515 书中例书中例7求求解解令令第二十九页，本课件共有47页例例16 16 书中例书中例8 求求解解第三十页，本课件共有47页例例1717 求求解解令令第三十一页，本课件共有47页例例1818 求求解解令令第三十二页，本课件共有47页说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换
5、的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令第三十三页，本课件共有47页说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中,令令第三十四页，本课件共有47页 积分中为了化掉根式是否一定采用三积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解
6、解第三十五页，本课件共有47页例例1919 求求解解令令第三十六页，本课件共有47页说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例2020 求求令令解解第三十七页，本课件共有47页例例2121 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）第三十八页，本课件共有47页第三十九页，本课件共有47页说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2222 求求解解令令第四十页，本课件共有47页第四十一页，本课件共有47页基基本本积积分分表表第四十二页，本课件共有47页第四十三页，本课件共有47页三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)第四十四页，本课件共有47页思考题思考题求积分求积分第四十五页，本课件共有47页思考题解答思考题解答第四十六页，本课件共有47页感感谢谢大大家家观观看看第四十七页，本课件共有47页