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1、关于不定积分凑微分法和换元法第1页，讲稿共47张，创作于星期一问题问题解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令1、第一换元积分法第2页，讲稿共47张，创作于星期一在一般情况下：在一般情况下：设设则则如果如果（可微）（可微）由此可得换元法定理由此可得换元法定理第3页，讲稿共47张，创作于星期一第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明:使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数左式不易求出原函数，转化后右式能求出原函数.定理定理7.2.17.2.1第4页，讲稿共47张，创作于星期一例例1
2、1 求求解解第5页，讲稿共47张，创作于星期一例例2 2解解第6页，讲稿共47张，创作于星期一求求解解第7页，讲稿共47张，创作于星期一例例3 求求解解第8页，讲稿共47张，创作于星期一求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）第9页，讲稿共47张，创作于星期一例例4 4 求求解解一般地一般地第10页，讲稿共47张，创作于星期一书中例书中例4 4 求求解解第11页，讲稿共47张，创作于星期一求求解解第12页，讲稿共47张，创作于星期一例例5 5 求求解解说明说明 当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘或幂时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.第13页，讲稿共47
3、张，创作于星期一附例附例 求求解解第14页，讲稿共47张，创作于星期一例例6 6 求求解解第15页，讲稿共47张，创作于星期一例例7 7 求求解解（一）（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）第16页，讲稿共47张，创作于星期一解解（二）（二）类似地可推出类似地可推出第17页，讲稿共47张，创作于星期一例例8 8 求求解解第18页，讲稿共47张，创作于星期一例例9 9 求求解解第19页，讲稿共47张，创作于星期一解解例例1010 设设 求求 .令令第20页，讲稿共47张，创作于星期一例例1111 求求解解第21页，讲稿共47张，创作于星期一例例1212 求求解解第22页，讲稿
4、共47张，创作于星期一例例1313 求求解：原式解：原式第23页，讲稿共47张，创作于星期一例例1414 求求解解第24页，讲稿共47张，创作于星期一作业作业第25页，讲稿共47张，创作于星期一问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）2、第二换元积分法第26页，讲稿共47张，创作于星期一定理定理7.2.2 7.2.2（第二换元积分法）（第二换元积分法）第27页，讲稿共47张，创作于星期一证明证明证毕证毕第28页，讲稿共47张，创作于星期一例例1515 书中例书中例7求求解解令令第29页，讲稿共47
5、张，创作于星期一例例16 16 书中例书中例8 求求解解第30页，讲稿共47张，创作于星期一例例1717 求求解解令令第31页，讲稿共47张，创作于星期一例例1818 求求解解令令第32页，讲稿共47张，创作于星期一说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令第33页，讲稿共47张，创作于星期一说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用还可用双曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可
6、以化掉根式例例 中中,令令第34页，讲稿共47张，创作于星期一 积分中为了化掉根式是否一定采用三角积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解第35页，讲稿共47张，创作于星期一例例1919 求求解解令令第36页，讲稿共47张，创作于星期一说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例2020 求求令令解解第37页，讲稿共47张，创作于星期一例例2121 求求解解令令（分母的阶较高）
7、（分母的阶较高）第38页，讲稿共47张，创作于星期一第39页，讲稿共47张，创作于星期一说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例2222 求求解解令令第40页，讲稿共47张，创作于星期一第41页，讲稿共47张，创作于星期一基基本本积积分分表表第42页，讲稿共47张，创作于星期一第43页，讲稿共47张，创作于星期一三、小结两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)第44页，讲稿共47张，创作于星期一思考题思考题求积分求积分第45页，讲稿共47张，创作于星期一思考题解答思考题解答第46页，讲稿共47张，创作于星期一感谢大家观看第47页，讲稿共47张，创作于星期一