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1、4-3 刚体的角动量定理刚体的角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律l研究质点绕定点的圆周运动，研究质点绕定点的圆周运动，用角动量描述比较方便用角动量描述比较方便l当刚体绕定轴转动时，刚体当刚体绕定轴转动时，刚体上各质点都在围绕转轴做半上各质点都在围绕转轴做半径不同的圆周运动径不同的圆周运动转动的刚体具有角动量转动的刚体具有角动量如何表示刚体绕定轴如何表示刚体绕定轴转动的角动量呢？转动的角动量呢？刚体对转轴刚体对转轴Oz的转动惯量的转动惯量J刚体对刚体对定定轴轴的角动量的角动量一一 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量在定轴转动的刚体上，每个质元对在定轴转动的刚体上，每个质元对转轴都有确定
2、的角动量转轴都有确定的角动量O描写刚体绕定轴转描写刚体绕定轴转动状态的物理量动状态的物理量如何改变刚体的角动量？如何改变刚体的角动量？整个刚体对转轴的角动量等于刚体整个刚体对转轴的角动量等于刚体上所有质元对转轴角动量的和上所有质元对转轴角动量的和合外力矩的冲量矩合外力矩的冲量矩刚体角动量的增量刚体角动量的增量O刚体对定轴的转动惯量不变刚体对定轴的转动惯量不变根据转根据转动定律动定律作用在刚体上的合外力对转轴的力矩作用在刚体上的合外力对转轴的力矩等于刚体对转轴的角动量变化率等于刚体对转轴的角动量变化率二二 定轴转动刚体的定轴转动刚体的角动量定理角动量定理两边做积分两边做积分作用在绕定轴转动刚体上
3、的合外力矩在某段时间作用在绕定轴转动刚体上的合外力矩在某段时间内的冲量距等于刚体在同一时间内角动量的增量内的冲量距等于刚体在同一时间内角动量的增量反映了力矩对时间的累积效果反映了力矩对时间的累积效果定轴转动刚体角动量定理的积分形式定轴转动刚体角动量定理的积分形式定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理力矩是改变刚体角动量的原因力矩是改变刚体角动量的原因三三 刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律刚体所受外力矩为零刚体所受外力矩为零当作用在定轴转动刚体上的合外力当作用在定轴转动刚体上的合外力矩为零时，刚体的角动量保持不变矩为零时，刚体的角动量保持不变根据根据l由于刚体绕定轴转动的转动惯
4、量为一常量，所以当由于刚体绕定轴转动的转动惯量为一常量，所以当刚体所受合外力矩为零时，刚体转动的角速度不变刚体所受合外力矩为零时，刚体转动的角速度不变地球近似为一刚体，所以地球的自转周期基本恒定，但活跃的地球近似为一刚体，所以地球的自转周期基本恒定，但活跃的地壳运动可以改变地球的转动惯量，从而影响地球的自转周期地壳运动可以改变地球的转动惯量，从而影响地球的自转周期讨论：讨论：l对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下物对绕定轴转动的可变形物体而言，在不同状态下物体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所受合体对转轴的转动惯量可能不同，但是如果它所受合外力矩为零，那么它的角动量也将保持不变外力矩
5、为零，那么它的角动量也将保持不变花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的花样滑冰运动员利用四肢的伸缩改变自身的转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度转动惯量，可以改变绕自身竖直轴的角速度l合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的合外力矩为零不仅是绕定轴转动刚体角动量守恒的条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件条件，也是任何质点系对角动量守恒的条件对于由几个物体组成的系统，如果它们都围绕同对于由几个物体组成的系统，如果它们都围绕同一定轴转动，那么当该系统所受合外力矩为零时，一定轴转动，那么当该系统所受合外力矩为零时，系统对该定轴的合角动量不变系统对该定轴的合角动量不变如果该系统原来是静止的，则
6、总角动量为零。当如果该系统原来是静止的，则总角动量为零。当通过内力使系统的一部分转动时，另一部分必会通过内力使系统的一部分转动时，另一部分必会沿反方向转动，而系统的总角动量仍将保持为零沿反方向转动，而系统的总角动量仍将保持为零当直升机上方的旋翼转动时，它必然引起机身反向打当直升机上方的旋翼转动时，它必然引起机身反向打转，以维持总角动量为零，而直升机侧向的尾桨可以转，以维持总角动量为零，而直升机侧向的尾桨可以提供一个附加的水平力，保证机身不打转提供一个附加的水平力，保证机身不打转双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺双旋翼直升机不需要尾桨，它通过一对转向相反的螺旋桨，保持系统的总角动量仍
7、然为零旋桨，保持系统的总角动量仍然为零并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装并轴双旋翼直升机通过在同轴心的内外两轴上安装一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转一对对转的螺旋桨来防止机身反向打转鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是鱼雷在其尾部也装有对转螺旋桨，其目的也是为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题为了消除单螺旋桨造成鱼雷自身的反转问题腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频腿臂的动作正确、协调配合，对加大步长、提高步频都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响都有一定作用，因而对提高跑步速度有明显影响当一侧的腿向前跨出时，另当一侧的腿向前跨出时，另一侧的臂必须同时向前摆出，
8、一侧的臂必须同时向前摆出，这样躯干的上端（肩）和下这样躯干的上端（肩）和下端（髋）彼此向相反方向扭端（髋）彼此向相反方向扭转，而躯干的中段和头部则转，而躯干的中段和头部则大体保持在原来位置上，才大体保持在原来位置上，才可以保证整个身体对于竖直可以保证整个身体对于竖直轴的角动量保持为零轴的角动量保持为零为什么同手同脚地走路或为什么同手同脚地走路或跑步会使人觉得别扭呢？跑步会使人觉得别扭呢？l角动量守恒定律并不包含在动量守恒或能量守恒定律角动量守恒定律并不包含在动量守恒或能量守恒定律中，所以它是自然界一个独立的基本定律，不仅适用中，所以它是自然界一个独立的基本定律，不仅适用于经典力学于经典力学领域
9、，领域，也适用于微观和高速领域也适用于微观和高速领域例例1 一长为一长为l、质量为质量为M的均质棒，放在水平光滑桌面上，的均质棒，放在水平光滑桌面上，棒可绕通过其一端的固定光滑轴棒可绕通过其一端的固定光滑轴O转动。初始时棒静止，转动。初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端并留在棒今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端并留在棒中，如果子弹的质量为中，如果子弹的质量为m，速率为，速率为v0，求棒开始和子弹，求棒开始和子弹一起转动时角速度一起转动时角速度 取棒和子弹为一系统取棒和子弹为一系统由于转轴由于转轴O处有冲力作用，处有冲力作用，所以系统的动量不守恒！所以系统的动量不守恒！由
10、于由于O处的冲力通过转轴，处的冲力通过转轴，所以系统受外力矩为零，系所以系统受外力矩为零，系统的角动量守恒统的角动量守恒系统的角动量守恒系统的角动量守恒棒的转棒的转动惯量动惯量子弹的转子弹的转动惯量动惯量例例1 一质量为一质量为M，长为，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的的均质细棒，可绕过其顶端的水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以水的子弹以水平速度平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损失射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度，求子弹穿出后棒的角速度 取子弹和细杆作为系统，在子弹射入取子弹和细杆作为系统，在子弹
11、射入棒端并从棒中穿出的过程中，棒端并从棒中穿出的过程中，子弹与子弹与细杆之间的作用力为内力，转轴上的细杆之间的作用力为内力，转轴上的作用力和重力不产生力矩，系统所受作用力和重力不产生力矩，系统所受外力矩为零，系统外力矩为零，系统角动量守恒角动量守恒例例2 一长为一长为l 的的轻质细杆轻质细杆，两端分别固定质量为，两端分别固定质量为m 和和2m 的小球，杆可绕水平光滑轴的小球，杆可绕水平光滑轴O转动，转轴转动，转轴O距杆的两端距杆的两端分别为分别为l/3和和2l/3，今有一质量为，今有一质量为m点小球以水平速度点小球以水平速度v0与杆下端小球与杆下端小球m做对心碰撞后以做对心碰撞后以v0/2的速
12、率返回，求碰的速率返回，求碰撞后细杆获得的角速度撞后细杆获得的角速度两端带小球的轻质细杆对两端带小球的轻质细杆对转轴的转动惯量转轴的转动惯量整个系统受外力矩为零，所以角动量守恒整个系统受外力矩为零，所以角动量守恒细杆获得的角速度细杆获得的角速度例例3 一长度为一长度为L、质量为、质量为m的均质细棒的一端悬于的均质细棒的一端悬于O点，点，并可绕过并可绕过O点的水平轴自由转动。在点的水平轴自由转动。在O点又有一轻绳，悬点又有一轻绳，悬挂一质量也为挂一质量也为m的小球。当小球偏离竖直方向某一角度的小球。当小球偏离竖直方向某一角度由静止开始释放，并与静止的细杆发生弹性碰撞，问当由静止开始释放，并与静止
13、的细杆发生弹性碰撞，问当绳为多长时，碰后小球刚好静止绳为多长时，碰后小球刚好静止以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合外以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒力矩为零，系统角动量守恒弹性碰撞，弹性碰撞，机械能守恒机械能守恒设小球绳长为设小球绳长为l，根据角动量守恒根据角动量守恒例例4一质量为一质量为M、半径为、半径为R的圆形水平转台可绕通过其中的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台上距转轴的人站在转台上距转轴为为R/2处，设开始时转台与人相对于地面以角速度处，设开始时转台与人相对于地面以角速度 0匀匀速转动
14、，求此人走到转台边缘时，人和转台一起转动的速转动，求此人走到转台边缘时，人和转台一起转动的角速度角速度 取人与转台为一系统，由于转取人与转台为一系统，由于转台和人的重力以及转轴对转台台和人的重力以及转轴对转台的支承力都平行于转轴，这些的支承力都平行于转轴，这些力对转轴的力矩为零，所以该力对转轴的力矩为零，所以该系统对转轴的角动量守恒系统对转轴的角动量守恒例例5 一质量为一质量为M、半径为、半径为R的圆形水平转台可绕通过其的圆形水平转台可绕通过其中心的光滑竖直轴转动。质量为中心的光滑竖直轴转动。质量为m的人站在转台边缘。的人站在转台边缘。开始时人和转台都相对于地面静止。求当人沿转台边缘开始时人和
15、转台都相对于地面静止。求当人沿转台边缘走完一周时，转台对地面转过的角度走完一周时，转台对地面转过的角度取人和转台作为系统，在人走取人和转台作为系统，在人走动过程中，人和转台之间的作动过程中，人和转台之间的作用力为内力，系统所受外力方用力为内力，系统所受外力方向都与转轴平行，对轴不产生向都与转轴平行，对轴不产生力矩，系统角动量守恒力矩，系统角动量守恒人在转台上走一周，对台走过人在转台上走一周，对台走过2 对地走过的角度对地走过的角度一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反如图射来两个质量相同，速度大小相同
16、，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 A.增大增大B.不变不变C.减小减小D.不能确定不能确定例例6 AB两飞轮的轴杆在同一直线上，设两轮的转动惯量两飞轮的轴杆在同一直线上，设两轮的转动惯量分别为分别为 JA10 kgm2 和和 JB20kgm2。开始时。开始时A轮转速轮转速为为600 rev/min，B轮静止。当轮静止。当A和和B啮合时，啮合时，B轮加速而轮加速而A轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求：轮减速，直到两轮的转速相等为止。设轴光滑，求：1)
17、两轮啮合后的转速；两轮啮合后的转速；2)两轮各自所受的冲量矩两轮各自所受的冲量矩选择选择A、B 两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，两轮为系统，啮合过程中只有内力矩作用，系统角动量守恒系统角动量守恒A 轮受的冲量矩轮受的冲量矩B 轮受的冲量矩轮受的冲量矩两圆柱两圆柱A、B分别绕自身的中心轴分别绕自身的中心轴O1和和O2转动，如果开转动，如果开始时两圆柱分别以角速度始时两圆柱分别以角速度 10、20同向旋转，然后缓缓同向旋转，然后缓缓使它们相互接触，当接触处无相对滑动时，两圆柱各使它们相互接触，当接触处无相对滑动时，两圆柱各自的角速度分别为多少？自的角速度分别为多少？取两圆柱为一系统，该系统受
18、到的合外力矩为零，而取两圆柱为一系统，该系统受到的合外力矩为零，而两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是否角动量守恒呢？否角动量守恒呢？刚体的定轴转动刚体的定轴转动速度速度质点的运动质点的运动加速度加速度质量质量转动转动惯量惯量角速度角速度角加速度角加速度力矩力矩力力运动规律运动规律转动定律转动定律刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量动量质点的运动质点的运动时间时间累积累积角动量定理角动量定理动量定理动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量角动量刚体的定轴转动刚体的定轴转动质点的运动质点的运动空空间间累累积积力的功力的功动能定理动能定理机械能守恒定律机械能守恒定律力矩力矩的功的功动能动能转动转动动能动能动能定理动能定理