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1、第一章第一章 分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学基础分析力学分析力学 从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱从十八世纪开始，出现与矢量力学并驾齐驱的另一力学体系的另一力学体系 特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的特点是对能量与功的分析代替对力与力矩的分析分析 分析力学基础分析力学基础分析力学的两个基本原理分析力学的两个基本原理达朗贝尔原理达朗贝尔原理利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时问题利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时问题虚位移原理虚位移原理利用虚位移原理处理静力学的问题利用虚位移原理处理静力学的问题在此基础上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗日在此基础上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗日
2、第二类方程第二类方程分析力学基础分析力学基础实际中遇到的问题：实际中遇到的问题：汽车减震问题汽车减震问题结构设计的结构设计的CAD分析力学基础分析力学基础航天器飞行的姿态动力学问题航天器飞行的姿态动力学问题分析力学基础分析力学基础 结构特点结构特点-研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）-结构复杂结构复杂 运动特点运动特点-刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动 实验手段的特点实验手段的特点-不仅有物理实验还有计算机仿真实验不仅有物理实验还有计算机仿真实验 研究方法的特点研究方法的特点 -多学科交叉（数学、物理、力学、计算
3、机）多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）1-1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数：描述质点系在空间中位置的独立参数自自自自 由由由由 度度度度：广义坐标的数目：广义坐标的数目 在双侧、完整约束的条件下，确在双侧、完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数目定质点系位置的独立参数的数目xyzN自由度数自由度数S完整约束数完整约束数坐标：坐标：用来表示某个点的空间位置 1-1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标确定系统的自由度数确定系统的自由度数12两个约束方程：两个约束方程：1-1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 1-1 自
4、由度和广义坐标自由度和广义坐标确定系统的自由度数确定系统的自由度数 1-1 自由度和广义坐标自由度和广义坐标 考虑由考虑由n个质点组成的系统受个质点组成的系统受s个完整双侧约束个完整双侧约束为系统的一组广义坐标为系统的一组广义坐标各质点坐标表示为：各质点坐标表示为：由等时变分运算确定第由等时变分运算确定第 i 个质点的虚位移：个质点的虚位移：广义虚位移广义虚位移广义虚位移广义虚位移：为广义坐标为广义坐标 的变的变分，称为广义虚位移分，称为广义虚位移坐标数：坐标数：2*2=4个个自由度数：自由度数：1个个广义坐标，可选为广义坐标，可选为完整约束数：完整约束数：3个个坐标数：坐标数：2*2=4个个
5、自由度数：自由度数：1个个广义坐标，可选为广义坐标，可选为完整约束数：完整约束数：3个个思考：思考：OA杆不垂直杆不垂直自由度数：自由度数：1个个广义坐标，可选为广义坐标，可选为完整约束数：完整约束数：3个个则：则：思考：最多可以选取多少个思考：最多可以选取多少个普通坐标描述系统位置，坐普通坐标描述系统位置，坐标的数量和选取方法不同是标的数量和选取方法不同是否影响广义坐标的数量和形否影响广义坐标的数量和形式？式？自由度数：自由度数：1个个广义坐标，可选为广义坐标，可选为 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件主动力所作虚功的和为：主动力所作虚功的和为：变换求和顺序变换
6、求和顺序考虑功是力与位移的乘积，考虑功是力与位移的乘积，因此称因此称Qk为对应于广义坐标为对应于广义坐标qk的广的广义力义力。Qk的量纲的量纲 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件根据虚功原理：对于具有理想约束的质点系，在给定位置平衡根据虚功原理：对于具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，主动力系在质点系的任意虚位移中所作的必要和充分条件是，主动力系在质点系的任意虚位移中所作虚功之和等于零。虚功之和等于零。具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，具有理想约束的质点系，在给定位置
7、平衡的必要和充分条件是，具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是，对应于每个广义坐标的广义力都等于零。对应于每个广义坐标的广义力都等于零。对应于每个广义坐标的广义力都等于零。对应于每个广义坐标的广义力都等于零。结结 论论系统所受约束越多，广义坐标数越少，求解方便。系统所受约束越多，广义坐标数越少，求解方便。系统所受约束越多，广义坐标数越少，求解方便。系统所受约束越多，广义坐标数越少，求解方便。1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件求广义力的方法：求广义力的方法：法一：解析法法一：解析法将主动力系的各力将主动力系的各力将主动力系的各力将主动力系的各力F F
8、i i的作用点的坐标的作用点的坐标的作用点的坐标的作用点的坐标x xi i，y yi i，z zi i写成广义坐标写成广义坐标写成广义坐标写成广义坐标q qk k（k k=1=1，2 2，N N）的函数，对）的函数，对）的函数，对）的函数，对q qk k求偏导数后代入上式，即求偏导数后代入上式，即求偏导数后代入上式，即求偏导数后代入上式，即可求得广义力，这种方法即可求得广义力，这种方法即可求得广义力，这种方法即可求得广义力，这种方法即解析法解析法解析法解析法。求广义力的方法：求广义力的方法：法二：几何法法二：几何法 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件可单一求某个广
9、义力，如可单一求某个广义力，如Q1，给质点系一组特殊的虚位移，其，给质点系一组特殊的虚位移，其中只令广义坐标中中只令广义坐标中Q1变更，而其余的广义坐标保持不变，变更，而其余的广义坐标保持不变，即令即令 这样就可以求出所有主动力相应于广义虚位移这样就可以求出所有主动力相应于广义虚位移 所作的虚功所作的虚功之和，之和，用同样的方法可求出用同样的方法可求出 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件例：匀质杆例：匀质杆OA和和AB用铰链用铰链A连接，铰链连接，铰链O固定。两杆的长度分固定。两杆的长度分别为别为l1和和l2，重量为，重量为P1和和P2，在杆的，在杆的AB的的B端
10、受一水平力端受一水平力F作用，作用，求平衡时两杆与铅垂直线所成的夹角求平衡时两杆与铅垂直线所成的夹角和和。OA=l1AB=l2解：本系统有两个自由度，选角解：本系统有两个自由度，选角 和和 为广义坐标。为广义坐标。1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件解：本系统有两个自由度，选角解：本系统有两个自由度，选角 和和 为广义坐标。为广义坐标。（1）解析法：）解析法：OA=l1AB=l2对上面三式取变分：对上面三式取变分：1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件将它们代入下式并整理：将它们代入下式并整理：1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表
11、示的质点系平衡条件由由可见，对应于广义坐标可见，对应于广义坐标 和和 的广义力为的广义力为由用广义由用广义力表示的质点系的平衡条件可知：力表示的质点系的平衡条件可知：1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件解析法的另一解法：解析法的另一解法：求出上式各项，并令求出上式各项，并令Q Q等于零，得：等于零，得：1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件用几何法求解：用几何法求解：求广义力求广义力QB：1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件求广义力求广义力Q：得得：作业作业作业作业：习题：习题1-1，1-3广义坐标广义坐标广义坐
12、标广义坐标：描述质点系在空间中位置的独立参数：描述质点系在空间中位置的独立参数自自自自 由由由由 度度度度：广义坐标的数目：广义坐标的数目各质点坐标表示为：各质点坐标表示为：由等时变分运算确定第由等时变分运算确定第 i 个质点的虚位移：个质点的虚位移：广义虚位移广义虚位移广义虚位移广义虚位移：为广义坐标为广义坐标 的变的变分，称为广义虚位移分，称为广义虚位移作业作业作业作业：习题：习题1-1，1-3考虑功是力与位移的乘积，因此称考虑功是力与位移的乘积，因此称Qk为对应于广义坐为对应于广义坐标标qk的广义力的广义力。求广义力的方法：求广义力的方法：法一：解析法法一：解析法法二：几何法法二：几何法
13、作业作业作业作业：习题：习题1-1，1-3 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件例：匀质杆例：匀质杆AB长为长为l，重为，重为P，被约束在一固定光滑的圆柱容器，被约束在一固定光滑的圆柱容器中，在铅直面内平衡，设圆柱的半径为中，在铅直面内平衡，设圆柱的半径为R，求平衡位置。，求平衡位置。解一：系统只有一个自由度。解一：系统只有一个自由度。取杆质心纵坐标取杆质心纵坐标yC为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：但但 ，故必须，故必须 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件因为因为 ，故必须，故必须 ，得：，得：即杆在
14、水平位置保持平衡。即杆在水平位置保持平衡。当当 ，即杆在下水平位置时，即杆在下水平位置时，稳定平衡稳定平衡当当 ，即杆在上水平位置时，即杆在上水平位置时，不稳定平衡不稳定平衡思考思考:是广义虚位移吗？是广义虚位移吗？P 是广义力吗？是广义力吗？1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件解二：系统只有一个自由度。解二：系统只有一个自由度。取取 为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：为广义坐标，平衡时由虚功方程，有：即即因为因为 ，故必须，故必须 ，得：，得：必须必须得得 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件保守系的平衡条件保守系的平衡条件质点在有势力
15、作用下，当由一位置质点在有势力作用下，当由一位置 M M 经任意轨迹运动经任意轨迹运动到某一选定位置（到某一选定位置（M M0 0）时，该有势力所作的功称为质）时，该有势力所作的功称为质点在点在 M M 处的势能，即处的势能，即在微小的实位移在微小的实位移dr中，势能的微小增量为中，势能的微小增量为因为是保守系统，实位移是虚位移中的一个，因为是保守系统，实位移是虚位移中的一个，将实位移换成虚位移，得将实位移换成虚位移，得 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件对于由对于由n个质点所组成的保守系统，个质点所组成的保守系统，而而结论：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡
16、条结论：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。件为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。系统平衡系统平衡 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件保守系统保守系统而而因系统的势能因系统的势能V仅与质点系的各质点的位置有关，是仅与质点系的各质点的位置有关，是位置的函数，若用广义坐标位置的函数，若用广义坐标 描述描述 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件其变分有其变分有 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件对于保守系统，其广义力等于质点系的势能对应于广对于保守系统，其广义力等
17、于质点系的势能对应于广义坐标的一次偏导数冠以负号。义坐标的一次偏导数冠以负号。在保守系统情形下，质点系平衡的充分必要条件在保守系统情形下，质点系平衡的充分必要条件Qj=0等价于等价于 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件稳定平衡稳定平衡 随遇平衡随遇平衡 不稳定平衡不稳定平衡势能极小势能极小 势能不变势能不变 势能极大势能极大一个自由度系统一个自由度系统平衡时平衡时可求出平衡位置可求出平衡位置为极小值，平衡是稳定的为极小值，平衡是稳定的为极大值，平衡是不稳定的为极大值，平衡是不稳定的 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件例：一个倒置的摆，
18、摆锤重为例：一个倒置的摆，摆锤重为P，摆杆长度为，摆杆长度为l，在摆杆的点，在摆杆的点A连有一刚度系数为连有一刚度系数为k的水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形。的水平弹簧，摆在铅直位置时弹簧未变形。设设OA=a，摆杆重量不计，试确定摆杆的平衡位置及稳定平衡，摆杆重量不计，试确定摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。时所应满足的条件。1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件解：系统为一个自由度系统，摆角解：系统为一个自由度系统，摆角 为广义坐标。为广义坐标。势能零点：摆的铅垂位置（重力和弹性力）势能零点：摆的铅垂位置（重力和弹性力）系统的平衡位置为系统的平衡位置为 1-2 用广义力表示的质点系平衡条件用广义力表示的质点系平衡条件判断系统是否处于稳定的平衡位置判断系统是否处于稳定的平衡位置对于稳定的平衡位置对于稳定的平衡位置