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1、高等数学高等数学_二重积分二重积分第一页，本课件共有29页柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出第二页，本课件共有29页播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第三页，本课件共有29页步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲
2、顶柱体的体积第四页，本课件共有29页求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量第五页，本课件共有29页二、二重积分的概念二、二重积分的概念第六页，本课件共有29页积积积积分分分分区区区区域域域域积积分分和和被被被被积积积积函函函函数数数数积积分分变变量量被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式面面积积元元素素第七页，本课件共有29页对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零
3、时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值第八页，本课件共有29页 在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区于坐标轴的直线网来划分区域域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D则面积元素为则面积元素为第九页，本课件共有29页性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质第十页，本课件共有29页性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质若若 为为D的面积，的面积，
4、性质性质若在若在D上上特殊地特殊地则有则有第十一页，本课件共有29页性质性质性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第十二页，本课件共有29页解解第十三页，本课件共有29页解解第十四页，本课件共有29页解解第十五页，本课件共有29页解解第十六页，本课件共有29页二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结第十七页，本课件共有29页思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找将二重积分定义与定积分定义进行比较，
5、找出它们的相同之处与不同之处出它们的相同之处与不同之处.第十八页，本课件共有29页 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数思考题解答思考题解答第十九页，本课件共有29页练练 习习 题题第二十页，本课件共有29页第二十一页，本课件共有29页第二十二页，本课件共有29页练习题答案练习题答案第二十三页，本课件共有29页