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1、一、一、一一 元多项式根与系数的关系元多项式根与系数的关系二、二、n元对称多项式元对称多项式三、一元多项式的判别式三、一元多项式的判别式 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式韦达定理韦达定理设设 若若 在在 上有上有 个根个根 ，则，则 把把展开，与展开，与比较，即得根与系数的关系：比较，即得根与系数的关系：一、一、一一 元多项式根与系数的关系元多项式根与系数的关系 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式（所有可能的（所有可能的 i 个不同的个不同的 的积之和）的积之和），特特别别地地 ，为其根，为其根，则有则有 1.111.11 对称多项式对称多项式
2、对称多项式对称多项式二二、n 元对称多项式元对称多项式定义定义设设 ，若对任意若对任意 ，有，有则称该多项式为则称该多项式为对称多项式对称多项式 如，如，1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式下列下列n个多项式个多项式称称为为 个未定元个未定元 的的初等对称多项式初等对称多项式 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式1对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的和、积仍是对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式对称多项式的多项式仍为对称多项式则则是是 元对称多项式元对称多项式特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式特别地，初等对称多项式的多项式
3、仍为对称多项式若若 为对称多项式，为对称多项式，为任一多项式，为任一多项式，性质性质即，即，1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式2对称多项式基本定理对称多项式基本定理对对任一任一对对称多称多项项式式 ,都有都有 n元多项式元多项式,使得使得为为初等初等对对称多称多项项式式 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式则则必有必有作作对对称多称多项项式式设对设对称多称多项项式式按字典排列法的按字典排列法的首项为首项为证明：证明：再作再作对对称多称多项项式式则则 的首项为的首项为 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式则则 有比有比 较较“小
4、小”的首项的首项对对 重复上述作法，并依此下去重复上述作法，并依此下去.即有一系列即有一系列对称多项式对称多项式它它们们的首的首项项一个比一个一个比一个“小小”，所以必，所以必终终此在有限步此在有限步故存在故存在 ，使，使于是于是这就是一个初等对称多项式的多项式这就是一个初等对称多项式的多项式 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式上述证明过程实际上是上述证明过程实际上是逐步消去首项逐步消去首项.逐步消去首项法的一般步骤：逐步消去首项法的一般步骤：则则一定有一定有第一步第一步：找出找出对对称多称多项项式式 f 的首的首项项 ,第二步第二步：由由 f 的首的首项项写出写出 :
5、说明说明确定它确定它对应对应的指数的指数组组 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式第三步第三步：作作 ，并展开化并展开化简简 如此反复如此反复进进行，直到出行，直到出现现 ，则，则 再对再对 按一按一、二、三步、二、三步骤进骤进行，构造行，构造 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式例例1.把多项式把多项式 f 表成初等表成初等对对称多称多项项式的多式的多项项式式,令令 的首项是的首项是解解:作作对对称多称多项项式式它所它所对应对应的指数的指数组组是是它所对应的数组是它所对应的数组是f 的首的首项项是是 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式
6、对称多项式令令作作对对称多称多项项式式所以，所以，令令于是于是 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式对于对于齐次对称多项式齐次对称多项式还可以采用还可以采用待定系数法待定系数法(设设 f 是是m次齐次对称多项式次齐次对称多项式)第一步第一步：根据对称多项式：根据对称多项式 f 首项对应的指数组写出首项对应的指数组写出所有可能的指数组所有可能的指数组 ，且这些指数组满足：且这些指数组满足：前面的指数组先于后面的指数组前面的指数组先于后面的指数组附：附：待定系数法的一般步骤：待定系数法的一般步骤：1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式的初等对称多项式的方幂
7、的乘积：的初等对称多项式的方幂的乘积：第二步第二步：对每个指数组：对每个指数组 ，写出它对应，写出它对应第三步第三步：设出：设出 f 由所有初等对称多项式的方幂乘积由所有初等对称多项式的方幂乘积的线性表达式，其首项系数即为的线性表达式，其首项系数即为 f 的首项系数，的首项系数，其余各项系数分别用其余各项系数分别用A、B、C、代替代替 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式第四步第四步：分组选取适当的：分组选取适当的 的值，计的值，计 算出算出 及及 f ，性性表达式中，得到关于表达式中，得到关于A、B、C、的线性方程组，的线性方程组，解这个线性方程组求得解这个线性方程组求
8、得A、B、C、的值的值最后写出所求的最后写出所求的 f 的表达式的表达式将之代入第三步中将之代入第三步中设设出的出的线线 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式 例例2用待定系数法把用待定系数法把 表成初等表成初等对对称称多项式的多项式多项式的多项式所有不先于所有不先于 的三次指数组及相应的初等对称的三次指数组及相应的初等对称解解:它所对应的数组是它所对应的数组是f 的首的首项项是是多项式方幂的乘积如下表多项式方幂的乘积如下表:指数组 相应的初等对称多项式方幂的乘积 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式这样，这样，f 可表成可表成(1)及及 f 的的值
9、值如下表如下表:适当适当选选取取 的值，计算出的值，计算出代入（代入（1）式得）式得解之得解之得 ，所以所以 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式三、三、一一 元多项式的判别式元多项式的判别式有特殊的重要性按对称多项式基本定理知，有特殊的重要性按对称多项式基本定理知，对称多项式对称多项式D可表成可表成由根与系数的关系知，由根与系数的关系知，的多的多项项式式是是(2)的根，的根，则则多多项项式（式（2）有重根的充要条件是）有重根的充要条件是 1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式正因正因为为此，此，称称为为多多项项式式(2)的的判别式判别式例例3求求的判的判别别式式解：解：1.111.11 对称多项式对称多项式对称多项式对称多项式求求 的判别式的判别式练习练习