04+概率统计.pdf

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1、MATLAB6.0 数学手册 第第 4 章章 概率统计概率统计 本章介绍 MATLAB 在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12ToolboxStats 中。4.1 随机数的产生随机数的产生 4.1.1 二项分布的随机数据的产生二项分布的随机数据的产生 命令 参数为 N，P 的二项随机数据 函数 binornd 格式 R=binornd(N,P)%N、P 为二项分布的两个参数，返回服从参数为 N、P 的二项分布的随机数，N、P 大小相同。R=binornd(N,P,m)%m 指定随机数的个数，与 R 同维数。R=binornd(N,P,m,n)%m,n 分别表示 R

2、的行数和列数 例 4-1 R=binornd(10,0.5)R=3 R=binornd(10,0.5,1,6)R=8 1 3 7 6 4 R=binornd(10,0.5,1,10)R=6 8 4 6 7 5 3 5 6 2 R=binornd(10,0.5,2,3)R=7 5 8 6 5 6 n=10:10:60;r1=binornd(n,1./n)r1=2 1 0 1 1 2 r2=binornd(n,1./n,1 6)r2=0 1 2 1 3 1 4.1.2 正态分布的随机数据的产生正态分布的随机数据的产生 命令 参数为、的正态分布的随机数据 函数 normrnd 格式 R=normrn

3、d(MU,SIGMA)%返回均值为 MU，标准差为 SIGMA 的正态分布的 134 第 4 章 概率统计 随机数据，R 可以是向量或矩阵。R=normrnd(MU,SIGMA,m)%m 指定随机数的个数，与 R 同维数。R=normrnd(MU,SIGMA,m,n)%m,n 分别表示 R 的行数和列数 例 4-2 n1=normrnd(1:6,1./(1:6)n1=2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827 n2=normrnd(0,1,1 5)n2=0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462 n3=normrnd(1 2

4、3;4 5 6,0.1,2,3)%mu 为均值矩阵 n3=0.9299 1.9361 2.9640 4.1246 5.0577 5.9864 R=normrnd(10,0.5,2,3)%mu 为 10，sigma 为 0.5 的 2 行 3 列个正态随机数 R=9.7837 10.0627 9.4268 9.1672 10.1438 10.5955 4.1.3 常见分布的随机数产生常见分布的随机数产生 常见分布的随机数的使用格式与上面相同 表 4-1 随机数产生函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifrnd unifrnd(A,B,m,n)A,B上均匀分布(连续)随机数 Unidrnd un

5、idrnd(N,m,n)均匀分布（离散）随机数 Exprnd exprnd(Lambda,m,n)参数为 Lambda 的指数分布随机数 Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n)参数为 MU，SIGMA 的正态分布随机数 chi2rnd chi2rnd(N,m,n)自由度为 N 的卡方分布随机数 Trnd trnd(N,m,n)自由度为 N 的 t 分布随机数 Frnd frnd(N1,N2,m,n)第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数 gamrnd gamrnd(A,B,m,n)参数为 A,B 的分布随机数 betarnd betarnd(A,B,m,n)参数为

6、 A,B 的分布随机数 lognrnd lognrnd(MU,SIGMA,m,n)参数为 MU,SIGMA 的对数正态分布随机数 nbinrnd nbinrnd(R,P,m,n)参数为 R，P 的负二项式分布随机数 ncfrnd ncfrnd(N1,N2,delta,m,n)参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数 nctrnd nctrnd(N,delta,m,n)参数为 N，delta 的非中心 t 分布随机数 ncx2rnd ncx2rnd(N,delta,m,n)参数为 N，delta 的非中心卡方分布随机数 raylrnd raylrnd(B,m,n)参数为 B 的瑞利分布随

7、机数 weibrnd weibrnd(A,B,m,n)参数为 A,B 的韦伯分布随机数 binornd binornd(N,P,m,n)参数为 N,p 的二项分布随机数 geornd geornd(P,m,n)参数为 p 的几何分布随机数 hygernd hygernd(M,K,N,m,n)参数为 M，K，N 的超几何分布随机数 Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n)参数为 Lambda 的泊松分布随机数 4.1.4 通用函数求各分布的随机数据通用函数求各分布的随机数据 命令 求指定分布的随机数 函数 random 135 MATLAB6.0 数学手册 格式 y=rando

8、m(name,A1,A2,A3,m,n)%name 的取值见表 4-2；A1，A2，A3 为分布的参数；m，n 指定随机数的行和列 例 4-3 产生 12（3 行 4 列）个均值为 2，标准差为 0.3 的正态分布随机数 y=random(norm,2,0.3,3,4)y=2.3567 2.0524 1.8235 2.0342 1.9887 1.9440 2.6550 2.3200 2.0982 2.2177 1.9591 2.0178 4.2 随机变量的概率密度计算随机变量的概率密度计算 4.2.1 通用函数计算概率密度函数值通用函数计算概率密度函数值 命令 通用函数计算概率密度函数值 函数

9、 pdf 格式 Y=pdf(name，K，A)Y=pdf(name，K，A，B)Y=pdf(name，K，A，B，C)说明 返回在 X=K 处、参数为 A、B、C 的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name 为分布函数名，其取值如表 4-2。表 4-2 常见分布函数表 name 的取值 函数说明 beta 或 Beta Beta 分布 bino 或 Binomial 二项分布 chi2 或 Chisquare 卡方分布 exp 或 Exponential 指数分布 f 或 F F 分布 gam 或 Gamma GAMMA 分布 geo 或 Geometric 几何分布 hyge 或

10、 Hypergeometric 超几何分布 logn 或 Lognormal 对数正态分布 nbin 或 Negative Binomial 负二项式分布 ncf 或 Noncentral F 非中心 F 分布 nct 或 Noncentral t 非中心 t 分布 ncx2 或 Noncentral Chi-square 非中心卡方分布 norm 或 Normal 正态分布 poiss 或 Poisson 泊松分布 rayl 或 Rayleigh 瑞利分布 t 或 T T 分布 unif 或 Uniform 均匀分布 unid 或 Discrete Uniform 离散均匀分布 weib 或

11、 Weibull Weibull 分布 例如二项分布：设一次试验，事件 A 发生的概率为 p，那么，在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 K 次的概率 P_K 为：P_K=PX=K=pdf(bino，K，n，p)例 4-4 计算正态分布 N（0，1）的随机变量 X 在点 0.6578 的密度函数值。136 第 4 章 概率统计 解：pdf(norm,0.6578,0,1)ans=0.3213 例 4-5 自由度为 8 的卡方分布，在点 2.18 处的密度函数值。解：pdf(chi2,2.18,8)ans=0.0363 4.2.2 专用函数计算概率密度函数值专用函数计算概率密度函数值 命

12、令 二项分布的概率值 函数 binopdf 格式 binopdf(k,n,p)%等同于)p,n,Kobin(pdf，p 每次试验事件 A 发生的概率；K事件 A 发生 K 次；n试验总次数 命令 泊松分布的概率值 函数 poisspdf 格式 poisspdf(k,Lambda)%等同于)Lamda,K,spois(pdf 命令 正态分布的概率值 函数 normpdf(K,mu,sigma)%计算参数为=mu，=sigma 的正态分布密度函数在K 处的值 专用函数计算概率密度函数列表如表 4-3。表 4-3 专用函数计算概率密度函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifpdf unifpdf(

13、x,a,b)a,b上均匀分布(连续)概率密度在 X=x 处的函数值 unidpdf Unidpdf(x,n)均匀分布（离散）概率密度函数值 Exppdf exppdf(x,Lambda)参数为 Lambda 的指数分布概率密度函数值 normpdf normpdf(x,mu,sigma)参数为 mu，sigma 的正态分布概率密度函数值 chi2pdf chi2pdf(x,n)自由度为 n 的卡方分布概率密度函数值 Tpdf tpdf(x,n)自由度为 n 的 t 分布概率密度函数值 Fpdf fpdf(x,n1,n2)第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值 gampdf g

14、ampdf(x,a,b)参数为 a,b 的分布概率密度函数值 betapdf betapdf(x,a,b)参数为 a,b 的分布概率密度函数值 lognpdf lognpdf(x,mu,sigma)参数为 mu,sigma 的对数正态分布概率密度函数值 nbinpdf nbinpdf(x,R,P)参数为 R，P 的负二项式分布概率密度函数值 Ncfpdf ncfpdf(x,n1,n2,delta)参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值 Nctpdf nctpdf(x,n,delta)参数为 n，delta 的非中心 t 分布概率密度函数值 ncx2pdf ncx2pdf(x,

15、n,delta)参数为 n，delta 的非中心卡方分布概率密度函数值 raylpdf raylpdf(x,b)参数为 b 的瑞利分布概率密度函数值 weibpdf weibpdf(x,a,b)参数为 a,b 的韦伯分布概率密度函数值 binopdf binopdf(x,n,p)参数为 n,p 的二项分布的概率密度函数值 geopdf geopdf(x,p)参数为 p 的几何分布的概率密度函数值 hygepdf hygepdf(x,M,K,N)参数为 M，K，N 的超几何分布的概率密度函数值 poisspdf poisspdf(x,Lambda)参数为 Lambda 的泊松分布的概率密度函数值

16、 例 4-6 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为 1、5、15 的图形 x=0:0.1:30;y1=chi2pdf(x,1);plot(x,y1,:)hold on 137 MATLAB6.0 数学手册 y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,+)y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,o)axis(0,30,0,0.2)%指定显示的图形区域 则图形为图 4-1。4.2.3 常见分布的密度函数作图常见分布的密度函数作图 1二项分布 例 4-7 x=0:10;图 4-1 y=binopdf(x,10,0.5);plot(x,y,+)2卡方分布 例 4-8 x=0:0.2

17、:15;y=chi2pdf(x,4);plot(x,y)024681000.050.10.150.20.25 05101500.050.10.150.2 图 4-2 3非中心卡方分布 例 4-9 x=(0:0.1:10);p1=ncx2pdf(x,4,2);p=chi2pdf(x,4);plot(x,p,-,x,p1,-)4指数分布 例 4-10 x=0:0.1:10;y=exppdf(x,2);plot(x,y)024681000.050.10.150.2 024681000.10.20.30.40.5 图 4-3 138 第 4 章 概率统计 5F 分布 例 4-11 x=0:0.01:1

18、0;y=fpdf(x,5,3);plot(x,y)6非中心 F 分布 例 4-12 x=(0.01:0.1:10.01);p1=ncfpdf(x,5,20,10);p =fpdf(x,5,20);plot(x,p,-,x,p1,-)024681000.20.40.60.8 02468101200.20.40.60.8 图 4-4 7分布 例 4-13 x=gaminv(0.005:0.01:0.995),100,10);y=gampdf(x,100,10);y1=normpdf(x,1000,100);plot(x,y,-,x,y1,-.)8对数正态分布 例 4-14 x=(10:1000:1

19、25010);y=lognpdf(x,log(20000),1.0);plot(x,y)set(gca,xtick,0 30000 60000 90000 120000)set(gca,xticklabel,str2mat(0,$30,000,$60,000,$90,000,$120,000)7008009001000110012001300012345x 103 0$30,000$60,000$90,000$120,00000.511.522.533.5x 10-5 图 4-5 139 MATLAB6.0 数学手册 9负二项分布 例 4-15 x=(0:10);y=nbinpdf(x,3,0

20、.5);plot(x,y,+)10正态分布 例 4-16 x=-3:0.2:3;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y)024681000.050.10.150.2 -3-2-1012300.10.20.30.4 图 4-6 11泊松分布 例 4-17 x=0:15;y=poisspdf(x,5);plot(x,y,+)12瑞利分布 例 4-18 x=0:0.01:2;p=raylpdf(x,0.5);plot(x,p)05101500.050.10.150.2 00.511.5200.511.5 图 4-7 13T 分布 例 4-19 x=-5:0.1:5;y=tpdf(x,5)

21、;z=normpdf(x,0,1);plot(x,y,-,x,z,-.)14威布尔分布 140 第 4 章 概率统计 例 4-20 t=0:0.1:3;y=weibpdf(t,2,2);plot(y)-50500.10.20.30.4 0510152025303500.511.5 图 4-8 4.3 随机变量的累积概率值随机变量的累积概率值(分布函数值分布函数值)4.3.1 通用函数计算累积概率值通用函数计算累积概率值 命令 通用函数 cdf 用来计算随机变量KX 的概率之和（累积概率值）函数 cdf 格式 )A,K,enam(cdf)B,A,K,enam(cdf)C,B,A,K,enam(c

22、df 说明 返回以 name 为分布、随机变量 XK 的概率之和的累积概率值，name 的取值见表 4-1 常见分布函数表 例 4-21 求标准正态分布随机变量 X 落在区间(-，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。解：cdf(norm,0.4,0,1)ans=0.6554 例 4-22 求自由度为 16 的卡方分布随机变量落在0，6.91内的概率 cdf(chi2,6.91,16)ans=0.0250 4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量专用函数计算累积概率值（随机变量KX 的概率之和）的概率之和）命令 二项分布的累积概率值 函数 binocdf 格式

23、binocdf(k,n,p)%n 为试验总次数，p 为每次试验事件 A 发生的概率，k 为 n次试验中事件 A 发生的次数，该命令返回 n 次试验中事件 A恰好发生 k 次的概率。141 MATLAB6.0 数学手册 命令 正态分布的累积概率值 函数 normcdf 格式 normcdf()%返回 F(x)=的值，mu、sigma 为正态分布的两个参数 sigma,mu,xxdt)t(p例 4-23 设XN（3,22）（1）求3XP,2XP,10X4P,5X2P（2）确定 c，使得 cXPcXP解（1）p1=52 XP p2=104XPXP p4=3XP13XP=则有：p1=normcdf(5

24、,3,2)-normcdf(2,3,2)p1=0.5328 p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)p2=0.9995 p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)p3=0.6853 p4=1-normcdf(3,3,2)p4=0.5000 专用函数计算累积概率值函数列表如表 4-4。表 4-4 专用函数的累积概率值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifcdf unifcdf(x,a,b)a,b上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=PXx unidcdf unidcdf(x,n)均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=PXx e

25、xpcdf expcdf(x,Lambda)参数为 Lambda 的指数分布累积分布函数值 F(x)=PXx normcdf normcdf(x,mu,sigma)参数为 mu，sigma 的正态分布累积分布函数值 F(x)=PXx chi2cdf chi2cdf(x,n)自由度为 n 的卡方分布累积分布函数值 F(x)=PXx tcdf tcdf(x,n)自由度为 n 的 t 分布累积分布函数值 F(x)=PXx fcdf fcdf(x,n1,n2)第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值 gamcdf gamcdf(x,a,b)参数为 a,b 的分布累积分布函数值 F(x)

26、=PXx betacdf betacdf(x,a,b)参数为 a,b 的分布累积分布函数值 F(x)=PXx logncdf logncdf(x,mu,sigma)参数为 mu,sigma 的对数正态分布累积分布函数值 nbincdf nbincdf(x,R,P)参数为 R，P 的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=PXx ncfcdf ncfcdf(x,n1,n2,delta)参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值 nctcdf nctcdf(x,n,delta)参数为 n，delta 的非中心 t 分布累积分布函数值 F(x)=PXx ncx2cdf ncx2cdf(

27、x,n,delta)参数为 n，delta 的非中心卡方分布累积分布函数值 raylcdf raylcdf(x,b)参数为 b 的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=PXx weibcdf weibcdf(x,a,b)参数为 a,b 的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=PXx binocdf binocdf(x,n,p)参数为 n,p 的二项分布的累积分布函数值 F(x)=PXx geocdf geocdf(x,p)参数为 p 的几何分布的累积分布函数值 F(x)=PXx hygecdf hygecdf(x,M,K,N)参数为 M，K，N 的超几何分布的累积分布函数值 poisscdf pois

28、scdf(x,Lambda)参数为 Lambda 的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=PXx 142 第 4 章 概率统计 说明 累积概率函数就是分布函数 F(x)=PXx在 x 处的值。4.4 随机变量的逆累积分布函数随机变量的逆累积分布函数 MATLAB 中的逆累积分布函数是已知xXP)x(F=，求 x。逆累积分布函数值的计算有两种方法 4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值通用函数计算逆累积分布函数值 命令 icdf 计算逆累积分布函数 格式 )a,a,a,P,enam(icdf321 说明 返回分布为 name，参数为，累积概率值为 P 的临界值，这里 name 与前面表 4.1

29、相同。321a,a,a如果)a,a,a,x,enam(cdfP321=，则)a,a,a,P,enam(icdfx321=例 4-24 在标准正态分布表中，若已知)x(=0.975，求 x 解：x=icdf(norm,0.975,0,1)x=1.9600 例 4-25 在分布表中，若自由度为 10，2=0.975，求临界值 Lambda。解：因为表中给出的值满足，而逆累积分布函数 icdf 求满足的临界值。所以，这里的取为 0.025，即=P2=Lambda=icdf(chi2,0.025,10)Lambda=3.2470 例 4-26 在假设检验中，求临界值问题：已知：05.0=，查自由度为

30、10 的双边界检验 t 分布临界值 lambda=icdf(t,0.025,10)lambda=-2.2281 4.4.2 专用函数专用函数-inv 计算逆累积分布函数计算逆累积分布函数 命令 正态分布逆累积分布函数 函数 norminv 格式 X=norminv(p,mu,sigma)%p 为累积概率值，mu 为均值，sigma 为标准差，X为临界值，满足：p=PXx。例 4-27 设，确定 c 使得)2,3(NX2cXPcXP。解：由cXPcXP得，cXPcXP=0.5，所以 X=norminv(0.5,3,2)X=3 关于常用临界值函数可查下表 4-5。143 MATLAB6.0 数学手

31、册 表 4-5 常用临界值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifinv x=unifinv(p,a,b)均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=PXx，求 x）unidinv x=unidinv(p,n)均匀分布（离散）逆累积分布函数，x 为临界值 expinv x=expinv(p,Lambda)指数分布逆累积分布函数 norminv x=Norminv(x,mu,sigma)正态分布逆累积分布函数 chi2inv x=chi2inv(x,n)卡方分布逆累积分布函数 tinv x=tinv(x,n)t 分布累积分布函数 finv x=finv(x,n1,n2)F 分布逆累积分布函数 gami

32、nv x=gaminv(x,a,b)分布逆累积分布函数 betainv x=betainv(x,a,b)分布逆累积分布函数 logninv x=logninv(x,mu,sigma)对数正态分布逆累积分布函数 nbininv x=nbininv(x,R,P)负二项式分布逆累积分布函数 ncfinv x=ncfinv(x,n1,n2,delta)非中心 F 分布逆累积分布函数 nctinv x=nctinv(x,n,delta)非中心 t 分布逆累积分布函数 ncx2inv x=ncx2inv(x,n,delta)非中心卡方分布逆累积分布函数 raylinv x=raylinv(x,b)瑞利分布

33、逆累积分布函数 weibinv x=weibinv(x,a,b)韦伯分布逆累积分布函数 binoinv x=binoinv(x,n,p)二项分布的逆累积分布函数 geoinv x=geoinv(x,p)几何分布的逆累积分布函数 hygeinv x=hygeinv(x,M,K,N)超几何分布的逆累积分布函数 poissinv x=poissinv(x,Lambda)泊松分布的逆累积分布函数 例 4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过 1%设计的。设男子身高 X（单位：cm）服从正态分布 N（175，36），求车门的最低高度。解：设 h 为车门高度，X 为身高 求满足条件的

34、 h，即01.0hXP99.0hXPh=norminv(0.99,175,6)h=188.9581 例 4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用 在 MATLAB 的编辑器下建立 M 文件如下：n=5;a=0.9;%n 为自由度，a 为置信水平或累积概率 x_a=chi2inv(a,n)；%x_a 为临界值 x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,n)；%计算的概率密度函数值，供绘图用)5(2plot(x,yd_c,b),hold on%绘密度函数图形 xxf=0:0.1:x_a;yyf=chi2pdf(xxf,n)；%计算0，x_a上的密度函数值，供填色用 fill(xxf,x_

35、a,yyf,0,g)%填色，其中：点(x_a,0)使得填色区域封闭 text(x_a*1.01,0.01,num2str(x_a)%标注临界值点 图 4-9 text(10,0.10,fontsize16Xchi2(4)%图中标注 text(1.5,0.05,fontsize22alpha=0.9)%图中标注 结果显示如图 4-9。144 第 4 章 概率统计 4.5 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.5.1 平均值、中值平均值、中值 命令 利用 mean 求算术平均值 格式 mean(X)%X 为向量，返回 X 中各元素的平均值 mean(A)%A 为矩阵，返回 A 中各列元素的平均

36、值构成的向量 mean(A,dim)%在给出的维数内的平均值 说明 X 为向量时，算术平均值的数学含义是=n1iixn1x，即样本均值。例 4-30 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A=1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 mean(A)ans=1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 mean(A,1)ans=1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 命令 忽略 NaN 计算算术平均值 格式 nanmean(X)%X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的算术平均值。nanmean(A)%A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元

37、素的算术平均值向量。例 4-31 A=1 2 3;nan 5 2;3 7 nan A=1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN nanmean(A)ans=2.0000 4.6667 2.5000 命令 利用 median 计算中值（中位数）格式 median(X)%X 为向量，返回 X 中各元素的中位数。median(A)%A 为矩阵，返回 A 中各列元素的中位数构成的向量。median(A,dim)%求给出的维数内的中位数 例 4-32 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A=1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 median(A)ans=145 MATLAB6

38、.0 数学手册 1 3 4 5 命令 忽略 NaN 计算中位数 格式 nanmedian(X)%X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的中位数。nanmedian(A)%A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元素的中位数向量。例 4-33 A=1 2 3;nan 5 2;3 7 nan A=1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN nanmedian(A)ans=2.0000 5.0000 2.5000 命令 利用 geomean 计算几何平均数 格式 M=geomean(X)%X 为向量，返回 X 中各元素的几何平均数。M=geomean(A)%A 为矩阵，返回 A 中各列元素的几

39、何平均数构成的向量。说明 几何平均数的数学含义是n1)x(Mn1ii=，其中：样本数据非负，主要用于对数正态分布。例 4-34 B=1 3 4 5 B=1 3 4 5 M=geomean(B)M=2.7832 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A=1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 M=geomean(A)M=1.2599 3.0000 2.5198 5.3133 命令 利用 harmmean 求调和平均值 格式 M=harmmean(X)%X 为向量，返回 X 中各元素的调和平均值。M=harmmean(A)%A 为矩阵，返回 A 中各列元素的调和平均值构成的向

40、量。说明 调和平均值的数学含义是=n1iix1nM，其中：样本数据非 0，主要用于严重偏斜分布。例 4-35 B=1 3 4 5 B=1 3 4 5 M=harmmean(B)M=146 第 4 章 概率统计 2.2430 A=1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5 A=1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 M=harmmean(A)M=1.2000 3.0000 2.0000 5.2941 4.5.2 数据比较数据比较 命令 排序 格式 Y=sort(X)%X 为向量，返回 X 按由小到大排序后的向量。Y=sort(A)%A 为矩阵，返回 A 的各列按由小到大排序后的矩阵。

41、Y,I=sort(A)%Y 为排序的结果，I 中元素表示 Y 中对应元素在 A 中位置。sort(A,dim)%在给定的维数 dim 内排序 说明 若 X 为复数，则通过|X|排序。例 4-36 A=1 2 3;4 5 2;3 7 0 A=1 2 3 4 5 2 3 7 0 sort(A)ans=1 2 0 3 5 2 4 7 3 Y,I=sort(A)Y=1 2 0 3 5 2 4 7 3 I=1 1 3 3 2 2 2 3 1 命令 按行方式排序 函数 sortrows 格式 Y=sortrows(A)%A 为矩阵，返回矩阵 Y，Y 按 A 的第 1 列由小到大，以行方式排序后生成的矩阵。

42、Y=sortrows(A,col)%按指定列 col 由小到大进行排序 Y,I=sortrows(A,col)%Y 为排序的结果，I 表示 Y 中第 col 列元素在 A 中位置。说明 若 X 为复数，则通过|X|的大小排序。例 4-37 A=1 2 3;4 5 2;3 7 0 A=1 2 3 4 5 2 147 MATLAB6.0 数学手册 3 7 0 sortrows(A)ans=1 2 3 3 7 0 4 5 2 sortrows(A,1)ans=1 2 3 3 7 0 4 5 2 sortrows(A,3)ans=3 7 0 4 5 2 1 2 3 sortrows(A,3 2)ans

43、=3 7 0 4 5 2 1 2 3 Y,I=sortrows(A,3)Y=3 7 0 4 5 2 1 2 3 I=3 2 1 命令 求最大值与最小值之差 函数 range 格式 Y=range(X)%X 为向量，返回 X 中的最大值与最小值之差。Y=range(A)%A 为矩阵，返回 A 中各列元素的最大值与最小值之差。例 4-38 A=1 2 3;4 5 2;3 7 0 A=1 2 3 4 5 2 3 7 0 Y=range(A)Y=3 5 3 4.5.3 期望期望 命令 计算样本均值 函数 mean 格式 用法与前面一样 例 4-39 随机抽取 6 个滚珠测得直径如下：（直径：mm）14

44、.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32 试求样本平均值 解：X=14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32；mean(X)%计算样本均值 148 第 4 章 概率统计 则结果如下：ans=15.0600 命令 由分布律计算均值 利用 sum 函数计算 例 4-40 设随机变量 X 的分布律为：X-2-1 0 1 2 P 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3 求E(X)E(X2-1)解：在 Matlab 编辑器中建立 M 文件如下：X=-2-1 0 1 2;p=0.3 0.1 0.2 0.1 0.3;EX=sum(X.*p)Y=X.2-1

45、 EY=sum(Y.*p)运行后结果如下：EX=0 Y=3 0 -1 0 3 EY=1.6000 4.5.4 方差方差 命令 求样本方差 函数 var 格式 D=var(X)%var(X)=n1i2i2)Xx(1n1s,若X为向量，则返回向量的样本方差。D=var(A)%A 为矩阵，则 D 为 A 的列向量的样本方差构成的行向量。D=var(X,1)%返回向量（矩阵）X 的简单方差（即置前因子为n1的方差）D=var(X,w)%返回向量（矩阵）X 的以 w 为权重的方差 命令 求标准差 函数 std 格式 std(X)%返回向量（矩阵）X 的样本标准差（置前因子为1n1）即：=n1iiXx1n

46、1std std(X,1)%返回向量（矩阵）X 的标准差（置前因子为n1）std(X,0)%与 std(X)相同 std(X,flag,dim)%返回向量（矩阵）中维数为 dim 的标准差值，其中 flag=0时，置前因子为1n1；否则置前因子为n1。149 MATLAB6.0 数学手册 例 4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差 14.70 15.21 14.90 15.32 15.32 解：X=14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32;DX=var(X,1)%方差 DX=0.0559 sigma=std(X,1)%标准差 sigma=0.2364

47、 DX1=var(X)%样本方差 DX1=0.0671 sigma1=std(X)%样本标准差 sigma1=0.2590 命令 忽略 NaN 的标准差 函数 nanstd 格式 y=nanstd(X)%若 X 为含有元素 NaN 的向量，则返回除 NaN 外的元素的标准差，若 X 为含元素 NaN 的矩阵，则返回各列除 NaN 外的标准差构成的向量。例 4-42 M=magic(3)%产生 3 阶魔方阵 M=8 1 6 3 5 7 4 9 2 M(1 6 8)=NaN NaN NaN%替换 3 阶魔方阵中第 1、6、8 个元素为 NaN M=NaN 1 6 3 5 NaN 4 NaN 2 y

48、=nanstd(M)%求忽略 NaN 的各列向量的标准差 y=0.7071 2.8284 2.8284 X=1 5;%忽略 NaN 的第 2 列元素 y2=std(X)%验证第 2 列忽略 NaN 元素的标准差 y2=2.8284 命令 样本的偏斜度 函数 skewness 格式 y=skewness(X)%X 为向量，返回 X 的元素的偏斜度；X 为矩阵，返回 X 各列元素的偏斜度构成的行向量。y=skewness(X,flag)%flag=0 表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的数据比均值右边的数据更

49、散；如果偏斜度为正，说明均值右边的数据比均值左边的数据更散，因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的：33)x(Ey=150 第 4 章 概率统计 其中：为 x 的均值，为 x 的标准差，E(.)为期望值算子 例 4-43 X=randn(5,4)X=0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686 -1.3362 1.2540 0.6900 1.1908 0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025 1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198 -0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567 y=skewness(X)y=-0.0040

50、-0.3136 -0.8865 -0.2652 y=skewness(X,0)y=-0.0059 -0.4674 -1.3216 -0.3954 4.5.5 常见分布的期望和方差常见分布的期望和方差 命令 均匀分布（连续）的期望和方差 函数 unifstat 格式 M,V=unifstat(A,B)%A、B 为标量时，就是区间上均匀分布的期望和方差，A、B 也可为向量或矩阵，则 M、V 也是向量或矩阵。例 4-44 a=1:6;b=2.*a;M,V=unifstat(a,b)M=1.5000 3.0000 4.5000 6.0000 7.5000 9.0000 V=0.0833 0.3333