《《股票指数基金管理的优化策略》(博时基金)(2011年5月).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《股票指数基金管理的优化策略》(博时基金)(2011年5月).pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、股票指数基金管理的优化策略股票指数基金管理的优化策略上海证券交易所博时基金管理有限公司联合课题组 课题主持人：王政、卢涛 课题组成员：黄仕宇、王政，卢涛 内容提要内容提要 本文的目的在于探讨如何采用优化技术来构建指数基金。我们首先介绍刻画投资者风险规避和交易费用的效用函数，再深入说明风险和交易费用模型的结构，并简要地讨论优化中约束条件的作用。我们以上证 A 股指数为例，演示优化策略在创建跟踪上证 A 股指数的指数基金中的实际应用，并通过抽样调查不同资产管理公司中指数基金的管理策略，指出优化策略不仅应用在组合管理中，在指数构建里也扮演着重要角色。目录目录股票指数基金管理的优化策略股票指数基金管理
2、的优化策略.11.效用函数效用函数公式和直观性公式和直观性.42.1 风险模型.62.2 交易成本模型.72.3 约束和惩罚.83.利用优化策略创建上证指数投资组合利用优化策略创建上证指数投资组合.103.1 上证综合指数.103.2优化指数投资组合股票数和跟踪误差间的权衡.103.3时间序列表现测试包含 100 只股票的组合.124.不同资产管理公司指数基金经理管理应用回顾不同资产管理公司指数基金经理管理应用回顾.135.优化复制在指数构建中的应用优化复制在指数构建中的应用.156.结论结论.171.引言引言本文所指的优化策略是指运用数学方法构建和管理股票型指数投资组合的策略，它在因无法买入
3、某些股票或流动性较差带来高额交易费用而无法完全复制指数时尤其适用。优化策略本质上是遵循一系列的约束条件，将目标函数最大化（或最小化）的一种技术手段。优化策略应用于投资组合管理时，其目标用“效用”函数来描述，即通过构建数学模型来权衡投资组合中股票的收益与风险以及组合构建成本之间的关系，同时满足投资者和市场对于证券持有的限制等约束条件。给定以上参数，优化过程搜寻出能够实现最大效用的投资组合。在使用优化策略之前，基金经理只能使用数学方法模拟投资组合构建过程。必须承认的是模拟过程可能非常困难，但一经建立，将使得投资组合构建可以通过更加连贯和系统的方式实现。1.效用函数效用函数公式和直观性公式和直观性指
4、数基金经理希望构建一个跟基准指数表现接近的投资组合。他们并不太关心基金的绝对收益，而更关注相对标的指数的表现。基金经理不在乎组合中个股的贡献(预期收益)，但希望能够尽量的减少持有股票权重与基准权重的差异带来的主动风险(跟踪误差)并保持较低的交易成本。主动风险或跟踪误差通常使用组合回报与基准回报的差的年化标准差来衡量。基金经理需要利用风险模型估计跟踪误差，利用交易成本模型估计用构建目标投资组合产生的固定成本和可变成本。另外，基金经理需要遵循组合构建时的某些约束条件。基金经理的优化策略问题可以简单的用以下形式表示：最大化 U(h)=风险交易费用=hTVh(hh0)TT(hh0)(1)限制:95%证
5、券持有+5%现金持有 只做多 其中:U(h)-效用函数，标量；h-投资域中各资产的主动权重向量；h0-投资域中各资产的初始主动权重向量；(h-h0)-由于交易主动权重的变化；V-资产协方差矩阵；T-各种资产交易成本的相关系数的对角矩阵；-基金经理用来平衡更高的主动风险或更高的交易成本容忍度的风险规避参数；上标“T”-矩阵转置符号。公式显示风险随主动权重的增加而呈二次曲线增加（正向或反向）。同样，交易成本模型反映了交易成本随交易量（买进或卖出）的增加亦呈二次曲线增加。风险或交易成本的增加降低了投资者的效用；相反，风险或交易成本的减少，可以使投资者效用增加，也就是，减少了负面效用。基金经理可以在某
6、种程度上控制预期的跟踪误差水平满足投资者的预期，使用优化器找到最有效的交易来建立这样一个投资组合。基金经理可以通过将其投资组合紧贴指数的方法降低跟踪误差，但同时他需要支付更高的交易费用。为了更深入的了解效用函数，我们做如下的假设:1.等式中的目标函数(1)没有约束条件。2.投资域中的资产之间不相关。协方差矩阵 V 可以简化成对角线上为方差，其余项为 0 的对角矩阵。最大效用来自于对矩阵等式(1)一阶求导，设定导数值为 0。U(h)/h=2Vh2T(hh0)=0(2)重新整理后，提取 h，将其当做最佳主动权重向量，hopt表示为，hopt=(V+T)1(Th0)(3)我们可以从等式(3)直观的看
7、出最佳主动权重随着交易费用和风险如何变化。当矩阵 T 中的交易费用系数越高，也就是交易费用越贵时，hopt 接近 h0。就是我们不太可能交易该资产。如果交易费用非常低（交易费用的相关系数趋近为 0），主动权重趋于 0，则更可能持有接近指数的权重。股票的波动（对角矩阵 V 的变化）对主动权重有反向的影响。因为主动权重 hopt 与 V 的逆矩阵成比例，我们更可能对风险高（低）的股票持有更少的（更多的）主动权重。2.1 风险模型风险模型为了更适当确定效用函数，选定风险模型非常重要。风险模型的作用是用来估计基金经理在投资时间内股票和投资组合的总风险和/或主动风险。风险通常使用收益的标准差或方差进行测
8、量。金融行业中，风险的替代测度方法包括测量半方差（下降风险），损失概率和风险价值（VaR），但这些风险测度都因为计算困难和不如方差的概念直观而没有被广泛的使用。目前风险模型的起源可以追溯到 1952 年哈里马克维茨发表的论文资产组合选择。马克维茨在文中引入了预期回报，用标准方差测量风险，协方差和投资者偏好的概念，及其在投资组合选择中的作用。威廉夏普在此基础上于 1964 年建立了资本资产定价模型（CAPM），模型中引入了市场组合，用 Beta 系数将预期回报和任意证券的风险分解为市场因素和单个证券的特殊风险组成。1973 年尤金法玛和肯尼思弗兰奇提出了三因素模型，模型用市场组合，市值和市净率来
9、测量股票收益。斯蒂芬罗斯 1976 年提出的套利定价模型（APT）进一步概括了资产定价的概念，认为证券回报可能受到多个因子影响，但未明确什么因子和需要多少个因子。由巴尔罗森伯格创立的 Barra 公司，利用证券可以使用多重因子模拟的想法，在 1975 年，开发并提供了最早的商业上可用的多因子风险预测模型。Barra 和他的竞争对手仍在提供各种风险模型用以估计股票，固定收益和衍生品市场的风险。为了计算多元资产风险模型，需要估计投资域中的所有股票的方差和协方差。这需要在数据收集、数据整理和计算方面的大量工作。如果有 1000 只股票，资产的协方差矩阵的维数会达到1000 x1000，所以需要估计
10、1000 个方差和 499500 个协方差。即便能估计，考虑到其巨大的数量和存在无法计算逆矩阵的问题，使用这样的矩阵进行优化投资组合仍有计算上的困难。早期学术上关于股票回报和风险可以通过多因子来模拟的研究为简化协方差矩阵估计提供了突破口。估计资产的协方差可以简化为如下：1.挑选一组适当的共同风险因子。2.计算资产对于这些因子的曝光度。3.估计因子的协方差矩阵。4.估计资产中未被共同风险因子解释的剩余风险（特殊风险）。实际使用中，共同因子的选择通常分成三个种类-股票基本面特征，宏观经济或外部因素，和统计因子。股票基本面特征包括公司规模，股票估值比率，股价波动性，公司杠杆和公司所处的行业。以宏观经
11、济或外部因素为基础的风险模型试图在一组简单的股票特征（估值，行业）之外，通过宏观经济因素（如利率，商品价格和汇率等）模拟风险。统计风险模型利用数据和某个数学模型（如主成分分析法）测定一组因子，用来说明大部分的股票回报的变化。通过计算获得的统计因子很难联系到股票特征和经济因素，所以很难有合理的经济解释。比较重要的统计因子可能随时间发生变化，这就更进一步限制了该风险模型的直观性。计算方面，多因子风险模型的计算强度远低于直接从资产估算风险模型。例如，基本面风险模型，可能用到 70 个因子来表现股票的共同风险特征，而统计模型使用到的会更少。要计算股票对基本面因素的曝光度，就要计算一组衡量股票的变量，并
12、用来标准化和评价每一只股票。对于70 x70 的对称矩阵，只需估计 2485 个元素的协方差矩阵。特殊风险需要分别对投资域中的每只股票进行计算，但对于 1000 只股票的投资域只需 1000 个估计值。综上，等式(1)中的效用函数中的风险可以写作如下：风险=hTVh=hT(XFXT+)h(4)资产协方差矩阵 V 表述为因子协方差矩阵 F 和证券特殊风险的对角矩阵 X，X 是反映证券对模型中各因子的曝光度矩阵。2.2 交易成本模型交易成本模型交易成本模型非常重要，尤其是当基金经理需要从一组股票中进行选择，而其中部分股票的流动性较差时。在等式(1)中，当我们将效用函数公式化时，我们使用了简化的交易
13、成本模型，仅用二次项代表了交易带来的影响。更全面的模型应当具有以下形式：交易费用=TFix|(hh0)|+(hh0)TTImp(hh0)(5)TFix 是固定交易成本向量，和交易量（h h0）成线性关系。固定成本通常因股票而不同，通常反映了佣金，印花税，和每只股票的买卖价差。TImp 是成本冲击系数的对角矩阵，用来衡量交易成本随每笔交易量的指数式增长。它用来捕捉大笔交易的机会成本，这是因为这些交易可能不能立刻执行，而执行价格可能与下单价格有偏差。另外，他还能捕捉交易时向市场的信息泄露的成本，也就是其他投资者在此交易完成前，提前进行他们的交易所带来的成本。当交易量占该股票的日均交易量较小时，冲击
14、成本通常可以忽略不计，较高的交易成本会对投资组合的收益有绝对和相对的减损。2.3 约束和惩罚约束和惩罚效用函数利用惩罚风险和成本，提供了简洁的公式来表示投资者偏好。尽管如此，绝大部分情况，它并不能得出投资者能够真正持有的投资组合。在优化中使用约束条件可以帮助解决这个问题。比如，基金经理构建了一个只做多的投资组合，附带某些变化的需要，避免投资受限证券。添加限制条件可能使优化问题更加复杂，其结果是构建了一个与单纯使用风险和交易成本相比“次优”的投资组合。投资经理还可以针对投资者特殊的需要构建组合。约束条件需要谨慎使用。基金经理使用过多的限制，会碰到约束有冲突，导致不能实际构建优化投资组合。比如，基
15、金经理对某一只股票或在一个行业内规定了投资上限，并对持有某一特定股票有限制。如果他不允许持有某只股票，则需要将这部分投资转移其他公司上；然而，再调整后，他的组合可能超过了任何一家公司或行业的投资上限，将面临限制冲突。如果允许，基金经理会选择使用惩罚代替限制。限制条件可以视为硬规定，在组合构建过程中必须遵守的规定，如“只做多”限制或预算限制。相反，惩罚则可以视为是软规定。在组合构建中，可以违反这些规定，但会以背离规定越多，组合的效用越低的方式对存在的背离进行惩罚。举个简单的例子，基金经理需要同时考虑组合中行业权重以及所跟踪的基准。下面两图演示了用限制和惩罚两种方法对组合效用的影响。图一：限制的影
16、响图一：限制的影响图二：线性惩罚的影响图二：线性惩罚的影响如果基金经理决定使用限制，当主动行业权重超出允许范围时，组合效用将骤减。但如果使用惩罚的方式，当主动行业权重超出允许范围，其组合的效用会逐步减少。限制会导致效用函数中断，在优化器寻找解决方案时增设了更多的阻碍。数学上，惩罚的处理与限制不同，但可归为相似的形式。我们首先考虑如何将惩罚加在效用函数中。如果基金经理希望保持组合的 beta 值贴近，但又不完全等于基准的 beta（控制主动 beta 接近0）。我们使用简化的效用函数，U(h)=hTVh(hh0)TTImp(hh0)(6)我们把风险模型一般化为资产协方差矩阵 V，将交易成本模型简
17、化为冲击模型。如果希望在组合中惩罚主动 beta，我们可以在效用函数中引入第三个项。U(h)=hTVh(hh0)TTImp(hh0)P|hT|(7)函数中最后一项 P，是基于投资组合主动 beta 绝对值的惩罚（主动权重向量 h，乘以证券 beta向量）。主动 beta 的偏离越大会使组合效用降低。基金管理人需要根据目标中组合对偏离基准反映的厌恶程度，选择适当的惩罚 P。我们先考虑一个有限制的优化方法，投资组合受限于仅有 95%的组合可以投资在风险证券上。优化策略试图实现，MaxU(h)=hTVh(hh0)TTImp(hh0)(8)其中wTi i=0.95我们在这里引进两个新向量，w 即基金中
18、资产权重的向量，i i是 1 的向量。因为 h 为主动权重向量(h=wwBmk)，而基准的权重在给定时间又为定值，值得注意的是该效用函中并未引进其他的自由度。用拉格朗日法把约束带入效用函数，令wTi i=0.95，得到wTi i0.95=0。把后一项加入到效用函数中，得到一个不影响函数值的公式，MaxU(h)=hTVh(hh0)TTImp(hh0)L(wTi i0.95)(9)其中 L是拉格朗日乘数，也可解释为是约束的成本。功能上来讲，约束和惩罚都是效用函数的延伸。但是在使用惩罚时，基金经理需要决定惩罚的值，即 P，和他需要控制主动偏离的程度。在使用约束时，基金经理需要决定主动偏离容忍度的绝对
19、限制，以及优化方案中由于约束带来的成本。3.利用优化策略创建上证指数投资组合利用优化策略创建上证指数投资组合用前文中讨论的概念，我们会构建一个优化投资组合来跟踪上证 A 股指数。我们会研究股票数对基金跟踪误差的影响。然后，我们会选定一种投资组合并分析其在不同时间的表现。3.1 上证综合指数上证综合指数截止 2010 年 3 月 5 日，上证综合指数包含了在上海证券交易所交易的 906 只 A 股和 B 股。成分股按其总市值设定权重，上证综指的总市值约为 17.26万亿。其中最大的 5 只股票权重均超过3%，总权重超过 31%。上证 A 股指数包含了 853 只在上海证券交易所交易的 A 股，是
20、上证综指的子集。上证 A 股指数也使用市值权重的方法，总市值为 17.20 万亿。由于我们手头上只有上证 A 股指数的数据，我们会着重于研究如何创建一个优化投资组合跟踪上证 A 股指数。我们所用的方法和和结论可以应用在构建优化投资组合来跟踪上证综合指数。3.2优化指数投资组合优化指数投资组合股票数和跟踪误差间的权衡股票数和跟踪误差间的权衡我们通过优化方法构建指数组合来跟踪上证 A 股指数。使用 Barra 的多因子基本面风险模型，用简单的交易成本模型反映固定成本，而且不考虑冲击成本。我们采用的是 2010 年 3 月 5 日的数据。首先我们考察了构建组合的股票数量和组合预期跟踪误差之间的平衡。
21、图1.组合的股票数量和组合预期跟踪误差间的平衡.可以看出用指数中的子集构建一个投资组合复制上证 A 股指数是可行的。在仅使用 50 只股票时，投资组合与指数有 2.00%的跟踪误差，将股票数量增加到 250 只，跟踪误差会显著地下降77%至 0.46%。如果优化方法对股票数没有任何限制，并平衡跟踪误差和交易成本，则优化器选定了 894 只股票，与指数的跟踪误差仅为 0.05%。随着组合中股票数量越来越多，组合对指数的跟踪也越来越紧密，股票的权重也和在标的指数中的权重越来越接近。而且，组合的风险因子曝光度和指数的偏差也越来越小。下面的表格(1)显示了随着优化组合中的持有的股票数的变化，基本面风险
22、和行业因子的偏差。组合中允许持有的股票数组合中允许持有的股票数50Stocks100Stocks250Stocks预期跟踪误差预期跟踪误差2.00%1.15%0.46%风险因子，标准化的偏差风险因子，标准化的偏差规模0.130.070.03波动性0.090.040.01下行波动0.100.050.01交易活动0.050.010.01动量0.140.060.01价值0.080.040.00成长0.020.030.00行业因子，组合权重的平均绝对偏差行业因子，组合权重的平均绝对偏差0.73%0.27%0.11%表1.股票数和风险与行业因子偏差的权衡3.3时间序列表现时间序列表现测试包含测试包含 1
23、00 只股票的组合只股票的组合我们通过回测测试，检验了通过 100 只股票的投资组合来跟踪上证 A 股指数的可行性。每个月，我们允许组合中持有 100 只股票。我们的回测检验覆盖了从 2007 年 7 月到 2009 年 11 月的两年半时间跨度。以下两图中总结了回测结果。图 2.模拟 100 只股票跟踪上证 A 股指数的预期年化跟踪误差图 3.模拟 100 只股票跟踪上证 A 股指数每月表现和累积表现从图(2)中，我们能够看出预期跟踪误差每个月变化很大。尽管我们的优化组合维持 100 只股票，跟踪误差与当前市场的风险环境有很大的相关性。从图(3)中可以看出，跟踪误差越高，回报的偏离度也越高(
24、包括正的和负的)。随着跟踪误差在 2009 年降低，每月组合和指数的回报偏离度也随之降低。4.不同资产管理公司指数基金经理管理应用回顾不同资产管理公司指数基金经理管理应用回顾不同资产管理人运用优化方法构建管理指数基金。在表 2 中，我们回顾了一系列指数基金（包括共同基金和 ETF），并截取其招募说明书或市场宣传手册上的内容来观察这些基金的管理方法。表表2基金和投资策略基金和投资策略代码代码/名称名称基金管理基金管理公司公司资产等资产等级级基金类型基金类型基金包含基金包含股票数股票数基准基准基准包含基准包含股票数股票数VFINX/S&P500IndexFundVanguardUSEquities
25、MutFd5041S&P500500招募说明书中的管理方法：“本基金试图跟踪基准指数的投资业绩，基准指数衡量了大盘招募说明书中的管理方法：“本基金试图跟踪基准指数的投资业绩，基准指数衡量了大盘股的回报，本基金复制基准指数，意味着持有与目标指数相同比例的相同股票“股的回报，本基金复制基准指数，意味着持有与目标指数相同比例的相同股票“VTSMX/TotalStockMarketIndexVanguardUSEquitiesMutFd3,381aMSCIUSBroadMarketIndex3,500招募说明书中的管理方法：“该基金使用指数抽样方法，基金管理人运用复杂的计算机程招募说明书中的管理方法：
26、“该基金使用指数抽样方法，基金管理人运用复杂的计算机程序，从目标函数中选取具有代表性的股票，具有像目标函数一样的主要风险因子和其他特序，从目标函数中选取具有代表性的股票，具有像目标函数一样的主要风险因子和其他特征。这些特征包括：行业权重，国家权重，市值，和股票具有的其他特征。”征。这些特征包括：行业权重，国家权重，市值，和股票具有的其他特征。”BTAEX/DWSEAFEEquityIndexFundDeutscheBankGroupNonUSEquitiesMutFd9762MSCIEAFEIndex966c招募说明书中的管理方法：“该基金运用优化策略，按照比例购买指数中最大的股票，再招募说明
27、书中的管理方法：“该基金运用优化策略，按照比例购买指数中最大的股票，再抽样购买小股票，这个步骤旨在生成一个与指数特征（行业权重，市值，基本面特征）相抽样购买小股票，这个步骤旨在生成一个与指数特征（行业权重，市值，基本面特征）相近的投资组合，该方法试图最大化基金流动性和收益，最小化交易费用。近的投资组合，该方法试图最大化基金流动性和收益，最小化交易费用。EEM/MSCIEmergingMarketsIndexBlackRock EmgMktEquitiesETF6533MSCIEmergingMarketsI,asof2010/8/,asof2010/6/,asof2010/6/30.招募说明书
28、中的管理方法：“招募说明书中的管理方法：“BFA运用具有代表性的抽样复制策略进行管理，”代表性抽运用具有代表性的抽样复制策略进行管理，”代表性抽样“是指投资在与标的指数具有相同特征，由基准中挑选出股票的投资策略。被挑选出的样“是指投资在与标的指数具有相同特征，由基准中挑选出股票的投资策略。被挑选出的股票应具有以下特征：综合投资特征（基于因子的如市值和行业权重，基于基本面的特股票应具有以下特征：综合投资特征（基于因子的如市值和行业权重，基于基本面的特征）与标的指数接近。征）与标的指数接近。GMM/SPDRS&PEmergingMarketsETFSSGAEmgMktEquitiesETF5894
29、S&PEmergingBMIIndex2,420d招募说明书中的管理方法：“跟踪标普新兴市场招募说明书中的管理方法：“跟踪标普新兴市场BMI指数，基金运用抽样策略管理，不要指数，基金运用抽样策略管理，不要求基金持有指数中的所有股票，只需要购买指数组合的一个子集，该组合与指数有相同的求基金持有指数中的所有股票，只需要购买指数组合的一个子集，该组合与指数有相同的风险和收益特征。风险和收益特征。LAG/SPDRBarclaysCapitalAggregateBondETFSSGAUSFixedIncomeETF307dBarclaysCapitalUSAggregateIndex8,249d招募说明
30、书中的管理方法：“跟踪巴克莱美国综合指数，基金运用抽样方法管理，不要求招募说明书中的管理方法：“跟踪巴克莱美国综合指数，基金运用抽样方法管理，不要求基金持有指数中的所有股票，只需要购买指数组合的一个子集，该组合与指数有相同的风基金持有指数中的所有股票，只需要购买指数组合的一个子集，该组合与指数有相同的风险和收益特征。险和收益特征。FR0010282533/LYXORIndexFundLPX50PartSLYXORGlobalPrivateEquityMutFdn/aLPX50550招募说明书中的管理方法：“运用招募说明书中的管理方法：“运用SGAM公司开发的指数管理技术复制公司开发的指数管理技
31、术复制LPX50总收益指总收益指数。使用抽样方法复制，投资在较少的基金和公司，并保持指数的特征。该技术可以在较数。使用抽样方法复制，投资在较少的基金和公司，并保持指数的特征。该技术可以在较低交易成本下贴近指数表现。基金和公司的篮子使用基于跟踪误差的优化模型管理。低交易成本下贴近指数表现。基金和公司的篮子使用基于跟踪误差的优化模型管理。,asof2010/9/24.5“GuidetotheLPXEquityIndices,Version2.8”,TheLPXGroup,Sept2010.TheLPX50isaglobalindexthatconsistsofthe50largestliquidL
32、PE(ListedPrivateEquity)companiescoveredbyLPX.完全复制是最简单直接的构建管理组合的方法。使用完全复制法意味着要按照指数中的权重买入所包含的所有股票。因为基金中的每只股票的权重与基准中权重相等，跟踪误差最小，并大部分来自于交易费用。尽管如此，买入指数中的所有股票并不总是可行。比如，一只全球指数中，在一些国家购买其中一些股票会受限于资产流动或无法进入本地市场。在其他一些情况中，本地股票流动性差会带来高额的交易成本。这些情况下，基金经理会使用抽样复制的方法管理指数基金。这个方法需根据股票特征将指数分层。经常使用的股票特征包括行业、市值和风格（如成长和价值）
33、。对于每一个分类，基金经理会依据一些规则选出一组可以代表这一分类特征的股票。基金经理还会构建投资组合以确保组合整体特征与指数相匹配。基金管理人还会使用优化方法。优化方法可以看作是分层抽样法的特例，即用风险模型定义股票特征，挑选匹配指数特征的股票由用优化过程代替，实现组合与指数的预期跟踪误差最小。通常在基准成分股流动性好且容易获得的情况下，基金经理会使用完全复制法，这是由于完全复制法可以提供最低的跟踪误差和交易费用。当难以获得指数成分股或交易费用过高时，基金经理会考虑使用分层复制法和优化复制法。在表2 中我们可以看到先锋公司（Vanguard）使用完全复制方法管理旗下标普 500 指数基金。标普
34、 500 指数包含覆盖美国股市 75%市值的股票，也包含了美国股市上流动性强的股票。完全复制由于其最小的跟踪误差和低廉的交易成本最为有效。跟踪 MSCIUSBoardMarket指数，先锋公司使用了“抽样法”选取了指数中近 3500 只股票中的 3400 只。随着指数中日益增多的股票数量，完全复制变得越来越困难或费用上涨，基金管理人便依靠抽样法，从指数中选取流动性强的股票。道富全球投资管理（SSgA）和贝莱德资产管理公司（BlackRock）都提供以新兴市场股票为投资方向的 ETF，但道富选择跟踪标普 BMI新兴市场指数，该指数包含更多成分股个数。道富并不能有效地持有指数中所有成分股，根据他们
35、的策略，组合中的股票数量不超过 600 只。固定收益类指数很有可能包含难以交易或交易费用过高的证券。道富 LAGETF 仅用 300 只左右的证券来复制巴克莱美国综合指数。基金经理并不会在招募说明书或市场宣传手册中完全披露复制的过程。多数上述基金反映了他们使用了抽样复制法。尽管如此，用抽样法跟踪像新兴市场指数或美国综合固定收益指数都是相当复杂的。优化复制向基金经理提供了更为系统的方法定义其基金和基准特征，测量多种证券组合的风险值，并在组合构建中设定所需的约束条件。尽管众多指数基金使用抽样复制方法，这些基金经理仍对有效地使用优化策略构建投资组合怀有极大期望。5.优化复制在指数构建中的应用优化复制
36、在指数构建中的应用前文中论述了优化复制在构建投资组合和管理（跟踪市值权重）指数基金中的应用。接下来讨论一下指数本身（基准）是如何用优化方法构建的。近年来，尽管市值权重指数盛行，但仍有一些学者和实践家因种种理由挑战用这些指数作为基准来评估基金管理表现是否适合。许多学术文献反映出市值权重指数并不是均值方差有效。Fama，French（2004）曾提到当 CAMP 模型有效时，但“该模型却缺乏经验数据支持”。由此，ArnottHsu，Moore（2004）提出了基于公司基本面测度（账面价值，收入，红利，利润，销售收入等）的替代权重模式。另外自 2007 年中开始不断增加的波动形势，投资者求助于控制波
37、动策略。这促使了 MSCI 在 2008 年公布一系列波动效率指数。Lo，Patel(2008)指出当基金管理中使越来越多用卖空，尤其是部分多空策略的应用，只做多的市值权重指数已经不再是适合的跟踪基准，因为这种指数不能够反应使用杠杆和只做多约束的放宽。他们还提出了“透明，可投资，被动”的130/30 基准。5.1MSCIBarra 波动有效指数波动有效指数在均值方差框架中，风险资产可以组成不同投资组合，效率前沿给出了对任意给定事前风险水平的一系列最高预期收益的组合。效率前沿通常指从风险收益曲线中沿左下角向右上角抛物线的上半部分。最小方差组合就是效率前沿上有最小事前风险，而不考虑组合收益的组合。
38、最小方差组合位于抛物线最左边顶端，该点的风险小于效率前沿上其他任何位置的投资组合，但其预期收益也最小。在这个框架中，考虑借入或借出的无风险收益率，我们可以从无风险收益率向风险前沿画一条切线。这条线被称作资本市场线，切点代表了特殊的均值方差效率组合，即资本权重市场组合。切线代表了市场组合和无风险资产的线性组合，切线上的组合提供了比位于效率前沿上更好的风险调整组合不幸的是，经验证据并不能支持 CAPM 模型，有证据表明存在最小协方差组合能够实现比资产市场线上的组合更好的风险调整收益的情况。通常使用的市值权重指数并不是均值方差效率，并不适合作为投资回报比较的基准。当近年来最小方差组合概念受到关注，在
39、 2008 年，MSCIBarra 利用这个概念推出了 MSCIGlobalMinimumVolatility 指数。他们根据如下构建该指数，“用 MSCI 母指数和 Barra 全球股票模型（GEM2）作为风险估计输入，执行总风险最小化优化。每半年根据 MSCI 母指数成分股和优化约束（确保可复制和可投资）对指数进行调整，同时实现在给定约束下的最小波动。”完整的构建方法，特征和这些指数的表现在 MSCIBarra 的网站上有详细的描述，在此由于篇幅的原因不再赘述。这个例子可以突出优化策略在计算指数中的应用和组合管理中的应用同样重要。5.2瑞士信贷瑞士信贷 130/30 指数指数截止 2000
40、 年中，量化管理人积极地推销“部分多空”或“130/30”基金替代传统的只做多或市场中性基金。这些 130/30 组合相对市场中性组合有更低的杠杆，这一特征让 130/30 基金受到众多机构投资者青睐。另外，构建 130/30 组合时，基金经理可以放宽只做多约束，可以潜在增强组合的信息比率，对客户和投资者都有利。Hasanhodzic,Lo,Patel(2009)提到“这些特征表明，现有的指数如标普 500 和罗素 1000 指数并不适合作为杠杆动态组合（如 130/30 基金）的业绩比较基准。急需有新的比较基准出现，有与130/30 基金组合相同的杠杆约束和构建原理，并且透明，可投资和被动。
41、”为了给美国股票创造这样的基准，Hasanhodzic,Lo,Patel 优化了一个效用函数，平衡了持有股票的回报（即预期收益）和持有这些股票的风险及交易成本。他们首先在标普 500 指数中选出投资域，预期收益模型来源于一组“瑞士信贷量化研究部开发的因子，他们涵盖了从投资风格到技术指标各种估值模型，这些因子会定期发送给客户。”他们使用 Barra美国股票长期风险模型监控指数风险，并应用简单的交易费用和换手率约束。最后他们将模型和约束整合优化，将多头和空头头寸的杠杆分别设定为 130%和 30%。关于由于篇幅有限，不能列举关于该指数的所有内容，但已足够说明，我们已经得到优化策略在指数构建中也有着
42、重要作用的有力佐证，而不仅是有利于管理基金。6.结论结论本文中，我们讨论了优化策略的理论，解释其在构建投资组合方面的应用，并提供了具体例子说明如何利用优化策略构建投资组合来跟踪上证 A 股指数。在实例中，我们可以看出如果允许增加优化组合中持有的股票的数量，可以有效地减少跟踪误差，并使构建的组合更贴近指数。使用最简单化的交易成本模型，优化器很可能建议持有标的指数中的所有股票。未来的研究中，我们建议使用更全面的交易成本模型，其中包括冲击成本和更真实的约束条件。这些额外的模型参数可以更精确的反映基金经理实际工作的情况，这样的检验能够帮助基金经理更好的判断应使用何种类型的投资组合。我们抽样调查了指数基
43、金经理，观察他们如何管理共同基金和 ETF。我们发现，一般情况下，指数基金经理会在指数流动性强和容易获得时，使用完全复制。在基准包含股票更多，流动性降低，交易费用提高时考虑抽样复制和优化策略。瑞士信贷 130/30 指数和 MSCIBarra 的波动效率指数进一步的展现了优化方法不仅仅可以应用在祝贺构建，在指数开发中也扮演者重要的角色。参考文献参考文献:ArnottR.,HsuJ.,MooreP.,“FundamentalIndexation”,October2004.FamaE.F.,FrenchK.R.,“TheCapitalAssetPricingModel:TheoryandEvide
44、nce”,January2004.FerriR.A.,”BuyingTheMarketIsNotAsSimpleAsItSeems”,Forbes,October6,2010.GrinoldR.,KhanR.,ActivePortfolioManagement,McGrawHill,2000.HasanhodzicJ.,LoA.W.,PatelP.N.,“TheCreditSuisse130/30Index:ASummaryandPerformanceComparison”,September2009.JohnsonD.,“ConstrainedOptimization”,TheConnexi
45、onsProject(cnx.org),July2003.LiuS.,“PracticalConvexQuadraticProgramming:BarraOptimizerforPortfolioOptimization”,Barra,June2004.TheLPXGroup,“GuidetotheLPXEquityIndices,Version2.8”,Sept2010.MarkowitzH.,“PortfolioSelection”,TheJournalofFinance,Vol.7,No.1,March1952,pp7791 QianE.E.,HuaR.H.,SorensenE.H.,QuantitativeEquityPortfolioManagementModernTechniquesandApplications,Chapman&Hall/CRCFinancialMathematicsSeries,2007 SharpeW.F.,AlexanderG.,Investments,FourthEdition,PrenticeHall,1990.SocieteGeneraleAssetManagement,“SGAMIndexLiquidPrivateEquity(LPX50)”,参考数据与网页：参考数据与网页：Bloomberg