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1、2014年第10期 福建中学数学 29 变式变式 1 已知O为ABC内一点，且2OAOB+?3OC=0?，则AOB，AOC，BOC的面积之比为（）A9:4:1 B1:4:9 C3:2:1 D1:2:3 解法解法 1 如图 2，设D E，分别为ACBC，中点，由23OAOBOC+=0?，得2()OAOCOBOC+=0?，故有24ODOE+=0?，O D E，三点共线，且|:|2:3ODDE=?，同上可知，2133AOCAECABCSSS=，1136BOCBDCABCSSS=，12AOBABCSS=，故1 1 1:3:2:12 3 6AOBAOCBOCSSS=选 C 解法解法 2 延长OB至B，使
2、2OBOB=?，延长OC至C使3OCOC=?，则O为AB C 的重心，OABOACOB CSSS=，又12AOBAOBSS=，13AOCAOCSS=，16BOCB OCSS=，所以1 1 1:3:2:12 3 6AOBAOCBOCSSS=，选 C 变式变式 2 已知点P是ABC的中位线EF上任意一点，且/EFBC，实数xy，满足PAxPByPC+=?0，设ABC，PBC，PCA，PAB的面积分别为123SSSS，记11SS=，22SS=，33SS=，则23 取最大值时，2xy+的值为（）A32 B12 C1 D2 解解 11112xy=+，12xy+=，1xy+=，22x=，32y=，2231
3、11()44216xyxy+=，当且仅当12xy=时取等号，此时322xy+=反思反思 通常情况下，我们所接触的问题或教材所呈现的数学知识往往是经过丰富的理性思考和整理之后，再依托封闭式的演绎方式处理的，这样一来，便把生动活泼的思维过程过滤掉了因此教材所呈现的例题、习题都基本缺乏一个提出问题的过程 这就需要教师对问题进行再设计，如对问题进行逆向探索、特例分析、推广或类比等等 本题涉及知识是学生熟悉的三角形重心的向量形式，在设计中实现一题多解、一题多变、多题归一，可谓“一石激起千层浪”这样不仅开阔了学生的视野，也让他们在彼此的思维碰撞中逐步加深理解、把握问题实质、还原问题被设计的过程，甚至主动尝
4、试设计问题只有学生的思维热情被充分调动，我们的课堂才能焕发生机活力 从高考阅卷看概率统计教学中存在的问题及对策分析 从高考阅卷看概率统计教学中存在的问题及对策分析 李利欣 福建省平潭第三中学（350403）1 高考试题分析高考试题分析（2014 年高考福建卷文 20）根据世行 2013年新标准，人均GDP低于 1035 美元为低收入国家；人均GDP为 10354085 美元为中等偏下收入国家；人均GDP低于 408512616 美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于 12616 美元为高收入国家某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区 区人口占城市人口比例
5、区人均GDP（单位：美元）A 25%8000 B 30%4000 C 15%6000 D 10%3000 E 20%10000（I）试判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（II）现从该城市的 5 个行政区中随机抽取2 个，求抽到的 2 个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家的标准的概率 1.1 试题评价试题评价 本题主要考查学生数据处理能力、运算求解能力、必然与或然的思想；注重数学本质的考查，突30 福建中学数学 2014年第10期 出应用意识注重体现课标的基本理念，以能力立意，设计新颖，较为全面地考查了学生概率统计的基本知识、基本技能和基本思想试题重视数学本质的建构，注重考查
6、学生对概率统计本质的认识和理解，强化了学生对所学知识的应用，从而有效地检测了学生对概率统计知识的掌握情况，符合考试说明对概率统计的要求 1.2 常见错误常见错误 第一问出现的错误：（1）用比例求解（根据题意人均GDP在 408512616 美元范围所占比例为60%，所以判断该城市人均GDP达到了中等偏上收入标准）；（2）列示计算15（8000+4000+6000+3000+10000）或15（800025%+400030%+600015%+3000 10%+1000020%）；（3）列示计算 400025%+2000 30%+300015%+150010%+500020%或（10.25）800
7、0+（10.30）4000+（10.15）6000+（10.10）3000+（10.20）10000；（4）列示计算 800025%+600015%+1000020%=4900(部分代整体)；（5）求方差或利用条形图、直方图求解；（6）列式正确，但计算结果出现 5400、4600、6300等等 第二问出现的错误：（1）“怎样抽取，做什么”不理解，导致“有序、无序”不清楚；（2）解题过程不规范，表述不当，用树状图表示时，用“”或画横线，出现“AA，BB”等表示；（3）用排列组合知识求解；（4）列举不完整（认为所有的基本事件有 8个、9 个）；（5）事件包含的基本事件没列出或列出的是错误的（0 个
8、、1 个9 个、10 个），求得0p=或1p=等等；（6）列出了 10 个基本事件，却写共12种或明明列出了所有的基本事件10个及事件包含的基本事件 3 个，但计算时写710p=，甚至出现62205=、310=033、31105=类似的错误 2 概率统计教学中存在的问题概率统计教学中存在的问题 亚里士多德说：“思维自疑问和惊奇开始”高中数学课程标准（实验）中突出强调概率统计思想，注重让学生体会用统计的思想方法处理问题的全过程，即抽样、数据整理、数字特征的提取、得出统计结论、对结论进行分析重视让学生经历发现问题和解决问题的过程，提高学生的数学素养和数学本质结合概率统计课程的特点：联系案例介绍概率
9、的实际应用、注重统计思想和计算结果的解释、重视统计图与统计表的应用、注重现代信息技术手段的应用 在概率统计教学中存在如下问题亟需解决：（1）概念性问题由于对概率统计概念理解不清、领悟不深刻、本质把握不准确，导致对数字特征求解、图表解读、有序与无序的界定等问题出错；（2）计算性问题在求解过程中运用的公式和方法都正确但计算出错，以及出现非智力因素的计算错误很普遍，计算问题年年提，年年出问题的现象严重；（3）规范性问题对概率问题语言的严谨性认识不足、阅读能力欠缺，使得解题过程步骤不全、不严密、不完整，出现过多的常规失分 3 对策分析对策分析 3.1 授人以业授人以业重视基础知识的夯实重视基础知识的夯
10、实 3.1.1 抓课标，立足课本基本内容抓课标，立足课本基本内容 高三概率统计的复习，应以本为本，注重课本“四题”（例题、练习题、习题、复习题）的分析讲解，从而让学生完善概率统计的知识体系，强化“三基”实际上，高考的概率统计试题基本上都是课本“四题”的变式题，所以，教师讲评时，应注重一定的方法和技巧，做到：陈题新解、熟题重温在课标的要求下，教师必须重视教材的作用，不能随心所欲在重视基础知识理解和掌握的前提下，查找知识缺漏，不断总结规律，提高学生分析问题、解决问题的能力 3.1.2 抓落实，注重基本概念教学抓落实，注重基本概念教学 数学概念的形成是一个有层次的递进过程，概率统计中的每一个概念都是
11、相辅相成、相互渗透的，因此，复习时绝不能“淡化概念”，更不能做“简单的说明”，在复习概率统计时要以课本概念为主，以熟练技能、巩固概念为目标，在理解相应概念的实质上下工夫通过对概念的学习，使学生在解决一系列数学问题时，不但能“知其然”，也可以“知其所以然”，进而把握概念的实质内涵 3.1.3 抓联系，强化典型问题的训练抓联系，强化典型问题的训练 通过近几年福建高考概率统计解答题的分析，不难发现，题型基本的考点分布是相对稳定的，因此，应充分发挥典型试题的针对性和功能性，并及时关注各地的考试信息，以点代面，减少学生的无效学习，提升效率概率统计的选题，不能片面追2014年第10期 福建中学数学 31
12、求“新、难、奇”，应更重视那些既基础又富有内涵的典型试题，在此基础上，教师还要配备一些同类型的题目，让学生多次练习、巩固强化，并切实掌握，做到：多题一法、一题多变，提高学生的解题能力 同时，还应重视概率统计知识的横向联系以及与其他章节间的交叉整合，体现知识间彼此渗透 3.2 授人以法授人以法重视基本技能的训练重视基本技能的训练 3.2.1 强化计算能力，优化算法算理强化计算能力，优化算法算理 计算能力的欠缺是学生普遍存在的一个弊病，在高考试题中，往往由于计算的粗心大意，使得整个试题“挂彩”在概率统计中，对运算求解能力的要求还是很高的，如果其中的某个环节出错或逻辑不清等，均会导致“严重失分”，因
13、此，注重学生运算能力的培养、训练，强化算法算理的指导是必须的工作对学生平时易出现的错误计算以及公式记忆不准确等情况，应及时加以分析、指正 3.2.2 提升审题意识，避免无谓失分提升审题意识，避免无谓失分 在教学中，经常会遇到学生抱怨“看错题”等现象，针对这种情况，教师应在课堂上结合具体的题目指导学生如何审题，理清已知给了什么，需要求解什么，以及如何把已知和未知用所学的知识联系起来，并最终解决问题，减少无谓失分在概率统计的题目中，会出现多个已知条件，因此，在审题过程中，要求学生必须认清每一个条件，并能从题目中提炼有用的信息，联想可能会使用到的概念、公式，避免不必要的干扰 3.2.3 注重解题规范
14、，掌握应试技巧注重解题规范，掌握应试技巧 概率统计的复习，应加强对学生解题的书写规范性训练以及语言的规范表达训练，避免出现：会而不对、对而不全、全而不优，规范的解答体现规范的思维，只有规范的思维才有规范的解答同时，在平时的规范训练中，还应注重解题方法的指导，提升学生的应试能力，力争做到：容易题得满分、中档题得高分、高档题能拿分因此，复习中要经常提醒学生对于会做的题目一定要注意考虑的周全、书写的规范、表达的准确、语言的严谨 3.3 授人以道授人以道重视基本思想的培养重视基本思想的培养 3.3.1 注重通性通法注重通性通法 所谓通性通法是指具有某些普遍意义或规律性的常规解题模式以及常用的数学思想方
15、法在概率统计复习中，教师应选择一些难度适中，具有典型性、基础性和开放性的题目加以剖析，特别要注重常见问题的解法，抓住通性通法这样，既体现了解题的思路，又渗透了相应的数学思想，启发了学生的思维，进而调到了学生的积极性和主动性思想方法的渗透是数学教与学的本源，体现了数学价值、数学理念和数学文化 3.3.2 落实课程理念落实课程理念 高中的数学教学，应注重落实基础知识、扎实基本技能以及数学基本思想方法的培养，特别是在高三复习中，必须以课程标准、考试说明为依据，不搞偏题、怪题，不能随意对标准中的知识点进行删减、补充，违背考试说明 概率统计的学习，重在让学生体会“收集数据、整理数据、分析数据、应用数据”
16、的统计思想，复习时要注重挖掘知识间的内在联系，从数学特征、形式结构、图形图表的位置特点等方面进行试验，找到知识的“结点”，培养学生的应用能力G波利亚指出：学习最好的途径是自己去发现，所以，指导学生养成“学而后思”的习惯是十分必要的同时，教学也不能忽视学科知识间的逻辑性、抽象性和严谨性，教师要准确理解教材的重、难点，分析不同层次学生的能力及群体的差异性，落实课程理念，尊重教学规律 3.3.3 回归数学本质回归数学本质 高三的复习，重要的是能把各章节的知识体系综合起来，抓住数学问题的本质，授人以“鱼”（数学题目），不如授人以“渔”（数学本质），因此，在抓“鱼”的同时，更应该重视抓“渔”数学从本质上
17、说是一个从客观事物中抽象出来的理性思辨系统，通过运用数学符号和逻辑推理对抽象的模式进行严密的演绎、论证，进而构成严格的学科体系，可以说，只有对数学的本质特征有比较清晰的认识，才能在教学中把握正确的方向从新课程标准对概率统计的“内容与要求”看，新课程突出了概率统计的本质，教学中，必须关注学生对概率统计本质的理解，通过精选、精练、精讲试题，强化学生的基础知识和基本技能，培养学生应用意识和创新意识数学是思考型的，复习时，应更多地重视“一题多变”、“多题归一”，以此抓住题目的核心，即数学本质的问题 4 结语结语 在高三数学复习中，教师应通过知识整合，挖掘问题间的内部联系，让学生真正领悟到数学知识的发生
18、过程，抓住问题的本质特别是在概率统计教学中更应注重引导学生领会知识产生、发展的顺32 福建中学数学 2014年第10期 序与联系，让学生通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等手段，明确解决问题的方法和步骤在新课程理念下，如何强化数学教育的基础性和大众性，让不同层次的学生均有所收获，以及如何用哲学的观点看待高三概率统计的复习，处理好多与少、快与慢、取与舍、难与易的辩证关系，这是作为教育工作者值得思考的问题 高中数学概念难点教学的若干策略 高中数学概念难点教学的若干策略 陈 志 福建省福州鼓山中学（350014）高中数学的概念主要分布在必修1-必修 5 和（文科）选修1-1、2，（理科）选修
19、2-1、2、3、选修4-1、2、3、4、5中，大约554个概念，其中大部分的概念特点是具有高度的抽象性和概括性，难以与现实生活的原始对象有着密切联系，例如函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作()yf x=，xA定义域：x的取值范围A叫做函数的定义域；值域：函数值的集合()|f xxA叫做函数的值域从整个定义中可以看出，它与实际事物中几乎找不到相通点，学生在自我阅读中，很难理解和消化这只是高中概念教学中的冰山一角，类似的概念还有很多很多，本文拟
20、从三个方面阐述笔者对高中概念难点教学策略的一些思考与认识 1 备足课，用好课本和教参，做到教师对概念备足课，用好课本和教参，做到教师对概念胸有成竹胸有成竹 课本教材的编写是以课程标准为主要依据，是经过教育部门和教育专家综合考虑我国学情和时下热点、学生兴趣等多方面因素汇编而成的，里面对数学的概念都有严谨科学的定义，是教师教学的出发点，是学生学习知识和技能的主要源泉因此如果要想在概念的教学中找到突破点，作为教师对教材和教参的理解和挖掘就必不可少尤其是教学参考都会对教师提出很好的教学建议，从中也能准确的把握到重要信息，对我们在概念的教学中都起到不少的作用概念分析能够更深入，更能寻找符合学生认知结构的
21、切入点例如在人教版高中数学必修 2的教学参考中，对课程与学习目标就有如下说明“在本章教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题”，这其实就给教师提供了很清晰的上课构思和引入方式，对倾斜角这个概念上就可以通过初中的一次函数作为切入点，使学生从熟知的事物向新事物平稳过渡，从代数的角度中引申到解析几何，避免学生认知过程中出现突然性和抽象性 2 设计好课，注重概念的历史背景和形成过程，设计好课，注重概念的历史背景和形成过程，激发学生学习兴趣激发学生学习兴趣 数学来源于自然，但数学又有着自身强烈的科学性和严谨性在高
22、中所涉及到所有概念中，基本都有其相应的历史背景，因此教师在一堂概念课中，就很有必要主要好以下环节：概念的背景引入概念的形成概念的总结概念的应用认知概念 案例案例 1 复数的概念 背景引入：解下列方程：（1）10 x+=；（2）21x=；（3）21x=；（4）210 xx+=其实学生在现有认知中发现（3）和（4）两个方程无解，利用好学生的求知欲，此时教师引入复数形成的历史背景，让学生从历史的角度上认识到复数概念形成的重要性接着师生趁热打铁对复数中的相关知识进行探索和概括，形成条理性知识便于掌握，最后通过随堂习题和练习，对所学知识进行实际应用，加深对复数概念的认知，由感性认知深化成理性认知 这样的概念课设计，充分调动学生的好奇心和求知欲，激发的学生学习的浓厚兴趣，让学生真正对复数的概念有一个全方位的认知，不仅仅只是死记硬背形成的概念，记忆时间明显增加 3 讲好概念，对症下药选择教学方式，简化学讲好概念，对症下药选择教学方式，简化学生对概念的理解生对概念的理解