《概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第6章 数.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第6章 数.pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、11数理统计的基本概念数理统计的基本概念第第6章章数理统计数理统计数理统计数理统计收集、整理数据收集、整理数据收集、整理数据收集、整理数据统计推断统计推断统计推断统计推断概率论：概率论：从已知分布出发，研究从已知分布出发，研究r.v.X 的性质、规的性质、规律、数字特征等等律、数字特征等等演绎演绎数理统计：数理统计：X 的分布不知道或不完全知道，观察它的分布不知道或不完全知道，观察它的取值（采集数据），通过分析数据来推断的取值（采集数据），通过分析数据来推断 X 服服从什么分布或确定未知参数从什么分布或确定未知参数归纳归纳2数理统计的基本概念总体与样本总体与样本常用统计量常用统计量统计抽样分布
2、统计抽样分布36.2 总体与样本1.总体总体：研究对象的全体：研究对象的全体（如：一批灯泡的寿命）（如：一批灯泡的寿命）试验的全部可能的观察值试验的全部可能的观察值通常指研究对象的某项数量指标通常指研究对象的某项数量指标从本质上讲，总体就是所研究的随机变量从本质上讲，总体就是所研究的随机变量个体个体：组成总体的元素：组成总体的元素（如（如:某一个灯泡的寿命）某一个灯泡的寿命）总体对应一个总体对应一个总体对应一个总体对应一个r.vr.v.X.X，笼统，笼统称称总体总体，笼统，笼统称称总体总体X X（或（或（或（或Y Y、Z Z大写表示大写表示）大写表示大写表示）每每个可能的观察值个可能的观察值每
3、每个可能的观察值个可能的观察值如：如：考考察某察某大学大大学大一一如：如：考考察某察某大学大大学大一一20002000名男生名男生的的身高身高名男生名男生的的身高身高如：如：测测量一量一湖泊任湖泊任一一地点地点的的深度深度如：如：测测量一量一湖泊任湖泊任一一地点地点的的深度深度有限有限总体总体无限无限总体总体4(1)简单随机简单随机抽样抽样 随机随机性性:每每个个体个个体被被抽抽到到的的机会均机会均等等独立独立性性:每次每次抽取抽取后后不不改变改变总体的成分总体的成分同同分布性分布性 Xi与总体与总体X 同同分布分布独立独立性性X1,Xn相互独立相互独立(2)对总体对总体作作n次次“简单随机简
4、单随机抽样抽样”，得到得到n个个体：个个体：X1,X2,Xn，称为称为总体的一个总体的一个样本样本容容量量为为n的样本的样本,简称简称样本样本。(3)把把（X1,Xn）的观察值）的观察值(x1,xn)为称为为称为样本观察值样本观察值(或或样本值样本值)2.样本样本5来自总体X的样本X1，Xn可记为1,(),(),.iidnXXXf xF x或L显然，样本联合分布函数或概率密度为=niinxFxxxF121*)(),(L或或=niinxfxxxf121*)(),(L63.3.总体、样本、样本观察值的总体、样本、样本观察值的关系关系总体总体样本样本样本观察值样本观察值理论分布理论分布统计统计是是从
5、从手中手中已已有有的的资料资料样本观察值，样本观察值，去去推断总体的推断总体的情况情况总体分布总体分布。12,nX XXL12,nx xxL276.4 统计量与抽样分布定定义义：设设(X1,Xn)是是来来自自总体总体X 的样本，的样本，称称不不含含未知参数的样本未知参数的样本函函数数 g(X1,Xn)为为总体总体 X 的一个的一个统计量统计量。注注:统计量统计量是是一个一一个一维维随机变随机变量量，统计量的分布统计量的分布称为称为抽样分布抽样分布.8例例：设设nXXX,21L是是来来自自总体总体),(2N的样本，的样本，其中其中2,为为未知参数，未知参数，则则 11niiXXn=1X iniX
6、X=1)1(min ininXX=1)(max =niiXXn112,)(1 是统计量是统计量为最小顺序统计量为最小顺序统计量为最大顺序统计量为最大顺序统计量不是统计量不是统计量是统计量是统计量9几个常用的统计量几个常用的统计量几个常用的统计量几个常用的统计量：1.样本样本均均值值2.样本样本方差方差11niiXXn=niiXXnS122)(11反映反映总体总体方差方差D(X)的的信息信息反映反映总体总体均均值值E(X)的的信息信息样本标样本标准差准差2SS=反映反映总体标总体标准差准差的的信息信息3.样本样本k阶阶(原点原点)矩矩=nikikXnA11反映反映总体总体k阶矩阶矩E(Xk)的的
7、信息信息()()E XE X=2()()E SD X=(),1,2,PkkE Xk=L()PkkEXE Xm=样本样本k阶中心矩阶中心矩11()nkkiiBXXn=k=1,2,反映反映总体总体k 阶中心矩阶中心矩E(X-EX)k的的信息信息,104.最小顺序最小顺序统计量统计量X(1)=min(X1,X2,Xn)最大顺序最大顺序统计量统计量X(n)=max(X1,X2,Xn)注注注注1 1：观察值用观察值用小写表示小写表示,记为记为2(1)(),kknx ss abxx注注注注2 2：22221111()()11nniiiiSXXXnXnn=注注注注3 3：()(),E XE X=2()()E
8、 SD X=()(),D XD Xn=(),1,2,PkkkAE Xk=L11例例：1）设设总体总体)(，样本，样本nXXX,21L，则则)(XE ；)(XD 2）设设总体总体 U(1，5)，样本，样本1021,XXXL，则则)(XE ，)(XD 12（一）（一）2分布分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布：2 2分布分布、t t 分布分布 和和 F F分布分布构造构造：设设，则则)1,0(,1NXXiidnL)(.2222212nXXXn+=称为自由度为称为自由度为称为自由度为称为自由度为 n n 的的的的2分布分布注注：若若来来自正自正态态总体总体，则则222211ni
9、i(X)(n)=nXXX,21L),(2N3131.1.2 2分布的密度函数分布的密度函数f(y)f(y)曲线曲线=0,00,)2/(21)(2122/yyeynyfynn14设设设设且且且且相互独立相互独立，相互独立相互独立，则则则则2.2.2 2分布具有分布具有可加性可加性2221212()nn+22221122(),()nn2212,推推广广：若若且且相互独立相互独立,则则22()iin:2(1,2,)iik=L22221212()kknnn+L:L153.3.分布的数字特征分布的数字特征22(),()2EnDn=证：证：222212nXXX=+L,X1,X2,Xn为为N(0,1)的样本
10、的样本,E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)2=1,于是于是221()()niiEE Xn=又又 D(Xi2)=E(Xi4)-E(Xi2)2,而而2222443223222211()()2211()|(3)03()322xxixxiE Xxedxx dex ex edxE X+=+=+=D(Xi2)=2，22()()2iDnD Xn=2164.4.分布分布的分位点的分位点的分位点的分位点22()Pn45,n45,有有近似公式近似公式有有近似公式近似公式221()(21)2nun+220.10.75(20)(25)=01,对对若若若若2()n满足满足满足满足则称则称则称则称2()n为为为为的的的
11、的分分位位数数分分位位数数22()n例例12.44329.339例例20.95(50)20.5(1.64599)67.2206+=17构造构造：若若 XN(0,1),Y 2(n),且且 X 与与 Y 独立独立，则则)(/ntnYXT=称为自由度为称为自由度为 n 的的 t 分布分布。（二）（二）t 分布分布1.t(n)的概率的概率密密度为度为+=+tntnnnthn,)1()2()21()(212182.h(t)基基本性质本性质(p171):(1)关关于于t=0(纵轴纵轴)对对称。称。(2)极极限为限为N(0,1)的的密密度函度函数，数，即即=tetthtn,21)()(lim22419()P
12、 Ttn45,n45,有有近似公式近似公式有有近似公式近似公式()tnu0.5()tn=(01)+=+0,00,)1)(2()()/)(2()(2/)(2122122/212121111yyynnnynnnnypnnnnn构造构造:若若，且，且U、V 独立，则独立，则)(),(2212nVnU1.概率密度为概率密度为212.F 分布的性质分布的性质1)若若 FF(n1,n2)，则，则),(112nnFF2)若若 Tt(n),则则 T2 F(1,n)3.F 分布的分位点分布的分位点)10(),(21nnFFP注：注：),(1),(12211nnFnnF=),(21nnF22=1),(211nnF
13、FP证明证明:设设 F F(n1,n2),则则),(1),(12211nnFnnF=注：注：=),(11211nnFFP=),(112nnFFP得证得证!23例例 设设 X1,X10 是取自是取自N(0,0.32)的样本的样本,求求=101244.1iiXP设设1521,XXXL是来自总体是来自总体 N(0，1)的一个简单随的一个简单随机样本，则机样本，则 Y)(22152122112102221XXXXXX+LL服从服从 分布分布例例24正态总体的抽样分布定理正态总体的抽样分布定理定理一、二、三设设nXX,.,1是来总体是来总体),(2N的样本，的样本，2,SX分别为样分别为样本均值和样本方
14、差，则本均值和样本方差，则),(12nNXo 即即 )1,0(/NnX)1()1(2222nSno Xo3与与2S相互独立相互独立 )1(/4ntnSXo 525证明证明:=niiXnX11是是n 个独立的正态个独立的正态 r.v.的线性组合的线性组合=niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(=),(2nNX)1,0(/NnX故服从正态分布故服从正态分布),(12nNXo)1,0(/NnX即即26)1(/4ntnSXo证明证明:)1,0(/NnX且两者独立且两者独立,根据根据t 分布的构造分布的构造)1()1(222nSn)1(/)1()1(/22=ntnSXnSnnX2
15、7定理四设设212111,:),(,.,1SXNXXiidn 222221,:),(.,2SYNYYiidn 且两样本独立，则且两样本独立，则)1,1(12122212221nnFSSoo2进一步，假定进一步，假定22221=，就有，就有)2(11)(212121+nntnnSYXw 其中其中 2)1()1(212222112+=nnSnSnSw称为称为混合样本方差混合样本方差 22)(=wSE28例例 在总体在总体中抽取容量为中抽取容量为100的样本的样本,求样本均值与总体均值差的绝对值大于求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概率的概率.)20,80(2NX例例 已知某种蔬已知某种蔬菜菜的单的单棵重棵重量量),(2NX，其中，其中标准标准差差2g=。今。今随机抽随机抽出出 12 棵棵.用用2S记这记这 12 棵棵蔬蔬菜重菜重量的量的样本方差样本方差.求：求：（1）22.7578P S,（2）)(2SD.